2022-2023学年福建省南平市浦城县高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年福建省南平市浦城县高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可.

【详解】因为，所以.

故选：D

2．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义，即可求切线的斜率，即得切线的倾斜角.

【详解】由题意得，，

所以函数的图象在点处的切线的斜率，则所求切线的倾斜角为．

故选：B．

3．已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.

【详解】命题p：因为，所以，解得，

命题q：，

因为p是q的充分不必要条件，

所以.

故选：C

4．已知随机变量的分布列如表，若，则（    ）

A． B．4 C．6 D．12

【答案】C

【分析】结合分布列的性质，以及期望公式，即可求解.

【详解】由分布列的性质可得：，解得，

∵，解得.

故选：C.

5．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.

【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，

则，且互斥，，，

依题意，，解得，

所以所求近视的概率为.

故选：B

【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.

6．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．若用表示三角形数阵中的第m行第n个数，则（    ）

A．5050 B．4851 C．4950 D．5000

【答案】B

【分析】由二项式展开式系数可知，第行第个数应为，从而可求得结果

【详解】解：由二项式展开式系数可知，第行第个数应为，

所以第100行第3个数为，即4851，

故选：B

7．已知在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意得在恒成立，转化为最值问题求解

【详解】由可得，

由条件只需，即在上恒成立，

由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，

故的最小值为4，只需．

故选：B

8．已知是函数的导函数，且对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据要求解的不等式可变形为，构造函数，并结合已知可得，从而得，利用求得参数c的值，由此可将不等式 化为，即可求得答案.

【详解】令 ①,则 ，

∵，

∴ ，

即 ，

∴（c为常数）②，

由①②知， ，

∴ ，又，

∴ ，即 ，

  ，

不等式 即，

∴ 或，

即不等式的解集为，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解决此类根据导函数的表达式求解不等式解集的问题时，一般方法是要构造函数，利用导数判断函数性质进行求解，关键点就是要根据求解的不等式进行合理变形，并结合已知的导函数表达式进行构造恰当的新函数.

9．盒子中共有个白球和个黑球，从中不放回任取两次，每次取一个，则下列说法正确的是（    ）

A．“取到个白球”和“取到个黑球”是对立事件

B．“第一次取到白球”和“第二次取到白球”是相互独立的事件

C．“在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球”的概率为

D．设随机变量和分别表示取到白球和黑球的个数，则

【答案】D

【分析】对于A选项，根据互斥事件和对立事件的定义进行区分即可；

对于B选项，根据相互独立的事件的概率公式验证即可；

对于C选项，在第一次取到白球的条件下，在除去白球剩下的四个球中讨论即可；

对于D选项，分别计算的取值，相应概率，从而计算数学期望即可.

【详解】对于A选项，“取到个白球”和“取到个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，因为还有可能取到其他情况即“取到1个白球和1个黑球”；

对于B选项，“第一次取到白球”的概率为，“第二次取到白球”的概率为，

第一次取到白球且第二次取到白球的概率为，,所以两者不是相互独立事件；

对于C选项：在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球”的概率为;

对于D选项：，，，

所以；

，，，

所以,所以；

故选：D.

二、多选题

10．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．是的极大值

B．函数有且只有个零点

C．在上单调递减

D．设，则

【答案】BCD

【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极值与零点，即可判断；

【详解】解：函数的定义域为，，

当时，，则函数在上单调递减，

当时，，则函数在上单调递增，

所以当时，函数取得极小值，故A错误，C正确；

对于B，函数，定义域为，

则，

故函数在上单调递减，

又当时，其函数值为，

所以函数有且只有1个零点，故B正确；

对于D，，其定义域为，

则，令，解得，

当时，，则函数在上单调递减，

当时，，则函数在，上单调递增，

所以当时，函数取得极小值即最小值，

所以，故D正确．

故选：BCD．

11．的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．所有项系数和为64 B．常数项为第4项

C．整式共有3项 D．项的系数

【答案】AC

【分析】根据赋值法可求出所有项系数和判断A，由二项展开式的通项公式可判断BCD即可.

【详解】令，由知，所有项系数和为64，故A正确；

二项展开式的通项公式为，令，解得，故展开式第5项为常数项，故B错误；

当时，，展开式为整式，故C正确；

当时，，，故D错误.

故选：AC

12．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．假设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，且p是关于x的方程：的一个最小正实根，则下列说法正确的是（    ）

A．1是方程：的根

B．当时，

C．当时，

D．当时，

【答案】ABD

【分析】根据方程的根的验证，可判断A; 对进行等量代换，然后再进行因式分解，构造函数，由二次函数的性质分析,可判断B,C,D;；

【详解】将 代入中，成立，

即1是方程：的根，故A正确；

由以上分析可知，，则，

所以，变形为，

所以，

即，

即，

令，

若时，则的对称轴为，

注意到， ，

若时， ，

当时， ，的正实根，即原方程的最小正实根，故B,D正确；

当时， ，的正实根，即原方程的最小正实根，故C错误；

故选：ABD

三、填空题

13．已知随机变量，若，则         .

【答案】0.66/

【分析】利用正态分布的对称性以及正态分布图面积为1即可。

【详解】

如上图，概率分布是按照X=1对称的，，

.

故答案为：0.66.

14．展开式中，二项式系数最大的项的系数为           ．（用数字填写答案）

【答案】24

【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式、二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项的系数．

【详解】展开式中的通项公式为，

故第项的二项式系数为，故当时，二项式系数最大，

故二项式系数最大的项的系数为.

故答案为：24．

15．某班宣传小组有3名男生和2名女生.现从这5名同学中挑选2人参加小剧场演出，在已知抽取到有男生的条件下，2名都是男生概率是      .

【答案】

【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.

【详解】设事件A表示“有男生”，事件表示“两名都是男生”，

则，，

故.

故答案为：.

16．若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，．若，则的取值范围           ．

【答案】

【分析】由已知当时，，可构造函数，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，再根据函数的奇偶性和单调性即可求解．

【详解】，，

设，则，

则，为奇函数，

又当时，，在上是减函数，

从而在上是减函数，

又,等价于，

即，，解得,

故的取值范围为，

故答案为：

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要根据当时，的结构特征，发现规律，即构造函数，继而证明该函数为奇函数，再结合单调性解决问题.

四、解答题

17．已知的展开式的所有项的二项式系数和为512.

(1)若，求；

(2)求展开式中系数最大的项.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）由题意，利用二项式系数的性质求得，再利用赋值法求得要求式子的值.

（2）设第项系数最大，则，求得的值，可得展开式中系数最大的项.

【详解】（1）∵的展开式的所有项的二项式系数和为，∴.

∵，

∴令，可得，

∴再令，可得，

即，

∴.

（2）设第项系数最大，则，求得，∴，

故展开式中系数最大的项为.

18．经研究，中小学生户外活动时间太少，长时间看近处是导致近视的主要原因，现通过随机抽样的方式调查某地100名中小学生每天进行户外活动的时间和孩子的视力情况（规定每天户外活动时间不足1小时的为居家型，其余为户外型），经统计得到如下列联表：

(1)请将列联表补充完整，并判断是否有95％以上的把握认为“是否为居家型与近视与否”有关？

(2)从这50名不近视的学生中按是否居家型采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5名学生中随机选取3名做深度采访，求这3名学生中居家型学生人数X的分布列与数学期望.

参考数据：

（参考公式：，其中.）

【答案】(1)列联表见解析，有

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据数据完成列联表，再根据公式求出的值，然后与临界值表对照大小即可求解；

（2）根据分层抽样可得抽取的5人中，居家型有3人，户外型有2人，进而利用超几何分布即可求解X的分布列，最后根据期望公式即可求解期望值.

【详解】（1）解：列联表补充如下：

，

所以有95％以上的把握认为“是否为居家型与近视与否”有关.

（2）解：由题可知，抽取的5人中，居家型有3人，户外型有2人，从5人中再随机抽取3名学生，居家型学生人数X的所有可能取值为1，2，3.

，，，

分布列为：

.

19．已知函数，其中

(1)若函数的极小值为0，求实数m的值；

(2)当时，恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，利用极小值的定义求解；

（2）结合（1）的结论，由求解 .

【详解】（1）解：，

由，得或

当或时，；

当时，，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

所以在时取到极小值．

由，解得

（2）由（1）知，函数在，上单调递增，在上单调递减，

又，

所以区间上的最小值为

由恒成立，知，即

所以

20．成都是全国闻名的旅游城市，有许多很有特色的旅游景区某景区为了提升服务品质，对过去天每天的游客数进行了统计分析，发现这天每天的游客数都没有超出八千人，统计结果见下面的频率分布直方图：

为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了天，统计出这天的游客数千人分别为、、、、，已知这天的最高气温依次为、、、、．

(1)根据以上数据，求游客数关于当天最高气温的线性回归方程系数保留一位小数；

(2)根据（1）中的回归方程，估计该景区这天中最高气温在内的天数保留整数

参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是；其中：，．

本题参考数据：，．

【答案】(1)

(2)天

【分析】（1）先求样本中心，再根据公式和已知数据计算即可得答案；

（2）计算最高气温在内时的值，求出游客人数；再由频率分布直方图求出这个范围内的条形图面积，计算对应天数．

【详解】（1）解：由题意知，计算，

，

又，，

所以，

，

所以关于的线性回归方程是；

（2）解：当最高气温在内时，

根据，得游客数在内；

频率分布直方图中这个范围内的条形图面积为，

所以天数为，

所以这天中最高气温在内的天数约为天．

21．2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；

(2)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；

(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到不少于5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

(3)至少要进行轮测试.

【分析】（1）参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校共4所，从而利用组合知识进行求解；

（2）写出X的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出期望值；

（3）小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，得到平均值，列出不等式，求出答案.

【详解】（1）记“从10所学校中随机选取3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人”为事件A，

参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校共4所，

随机选择3所学校共种，所以.

（2）的所有可能取值为，

参与“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所，

所以，，

，，

所以的分布列如下表：

所以.

（3）记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件B，

则，

由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，

由题意列式，得，

因为，所以的最小值为，

故至少要进行轮测试.

22．已知函数，.

(1)求函数的单调区间；

(2)若，且，证明：.

【答案】(1)递增区间是，递减区间是；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，在给定区间内确定导数值大于0，小于0的不等式的解集作答.

（2）由已知及（1）确定的取值区间，再借助（1）中的单调区间，构造函数，再利用导数讨论函数单调性推理作答.

【详解】（1），，由得，

当时，；当时，，即在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的递增区间是，递减区间是.

（2）由（1）知，因为，且，则不妨令，

要证，只需证明，而，且在上单调递减，

于是只需证明，又，则只需证明，

令函数，，

则，

当时，，，则，因此在上单调递增，

即当时，，从而成立，所以成立.

【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.