2022-2023学年四川省泸县第一中学高二下学期第二学月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省泸县第一中学高二下学期第二学月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义以及两点间的距离公式即可求解.

【详解】，在复平面内对应的点为，

，在复平面内对应的点为，

所以两点之间的距离为.

故选：C

2．设函数，则（    ）

A．-6 B．-3 C．3 D．6

【答案】C

【解析】根据瞬时变化率的求解方法求解即可.

【详解】解：根据导数的定义：

，

故选：C.

【点睛】本题考查函数的瞬时变化率的求解问题，是基础题.

3．某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据散点图据曲线形状判断．

【详解】，，

A中是常数，B中是增函数，C中是减函数，D中是减函数，

散点图所有点所在曲线的切线的斜率随的增大，而增大，而四个选项中，A斜率不变，CD的斜率随的增大而减小，只有B满足．

故选：B．

4．函数的定义域为，导函数在在的图象如图所示，则函数在内极值点有

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【详解】分析：根据极值的定义，观察图象知导数值变化的个数，即为极值点的个数．

详解：

∵函数极值点满足导数为0，且左右两侧导数一正一负，观察导函数图象，可得，满足条件的点为c，d，e，f共4个

故选C

点睛：本题主要是通过导函数的图象研究函数的极值问题．如果是导函数，则需要看导数值的正负变化，如果是原函数，则看的是函数的单调性的变化．

5．已知函数，则的大致图像正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值，即可判断；

【详解】解：因为，所以，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故BD排除；

又，因为，所以，，所以，故排除A；

故选：C

6．已知函数的定义域为，：，：是增函数，则是的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由已知，可根据题意，借助导数和函数为增函数可以求解出的取值范围，然后与命题进行对比从而做出选择.

【详解】由已知，命题：，命题：是增函数，

函数的定义域为，，

若函数为增函数，则在上恒成立，

等价于在上恒成立，所以，

所以命题：是增函数，等价于，

显然，是的充分不必要条件.

故选：B.

7．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为，，则，，3能够构成等腰三角形的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知，先求解基本事件总数，然后再分别列出满足三角形为等腰三角形的情况，然后按照古典概型的计算方法进行计算即可.

【详解】由已知，先后两次抛掷同一个骰子，事件总数为，

当时，时，符合要求，有种情况；

当时，时，符合要求，有种情况；

当时，时，符合要求，有种情况；

当时，时，符合要求，有种情况；

当时，时，符合要求，有种情况；

当时，时，符合要求，有种情况；

所以能够构成等腰三角形的共有种情况，因此所求概率为：.

故选：C.

8．已知函数恰有一个零点，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将恰好有一个零点，转化成这两个函数图像只有一个交点，根据反函数的性质可以分析出只有两个函数都与相切时，即可满足题意，根据导数求切点处的斜率即可求解.

【详解】设，且两个函数互为反函数，则两者的图象关于对称.当两个函数的图象都与相切时，设切点的横坐标为，

，所以有，即当时，两个函数的图象只有一个交点，故只有一个零点.

故选：B

9．若函数取极大值和极小值时的的值分别为0和，则

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由函数极值的性质可知，极值点处的导数为零，且左右两侧导数异号，据此可以列出关于a，b的方程（组），再进行判断．

【详解】设f（x）=ax3+bx2（a≠0），

则f′（x）=3ax2+2bx，

由已知得 且a＞0，即

化简得a+2b=0．

故选D．

【点睛】可导函数在其极值点处的导数为零，且左右两侧的导数值异号，有些学生会忽视导数异号这一条件．在解答题中，在利用导数为零列方程求出待定字母的值后，一般会对极值点异侧的导数异号这一条件进行验证．

10．在正三棱锥中，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取AC的中点F，连结EF.判断出（或其补角）为异面直线与所成角.取DC的中点G，连结AG.分别求出，，，由余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值.

【详解】解：如图：取AC的中点F，连结EF.

因为为中点，所以.所以,（或其补角）为异面直线与所成角.取DC的中点G，连结AG，则，在中，，所以,所以.在中，，由余弦定理得：，所以.在底面正三角形BCD中，因为，为中点，所以.在中，，，，由余弦定理得：.所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：A

11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，实轴的两个端点分别为、，虚轴的两个端点分别为、.以坐标原点为圆心，为直径的圆与双曲线交于点（位于第二象限），若过点作圆的切线恰过左焦点，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作出图形，利用勾股定理得出，利用双曲线的定义得出，计算出，然后在中，利用余弦定理可得出关于、的齐次等式，进而可求得该双曲线的离心率的值.

【详解】由题意作出草图，如下：

与圆切于，，且，，故.

由双曲线的定义知.

在中，，

在中，由余弦定理，得，即，故离心率.

故选：A.

【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也考查了利用双曲线的定义处理焦点三角形的问题，涉及了余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.

12．已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间及最值，再根据已知条件即可得出答案.

【详解】解：设，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，故，

所以，又，

所以，

所以.

故选：C．

二、填空题

13．已知满足约束条件，则目标函数的最大值为      ．

【答案】

【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距最小，利用数形结合的方式可得结果.

【详解】由约束条件可得可行域如下图所示，

当取最大值时，在轴截距最小，

由图象可知：当过时，在轴截距最小，

由得：，即，.

故答案为：.

14．若函数在区间内单调递增，则的取值范围          .

【答案】

【分析】由题意得出导函数在上恒成立，即在上恒成立，求得即可得解.

【详解】在上恒成立，

所以在上恒成立，

当，，

所以，

故答案为：.

15．四面体的四个顶点均在半径为2的球面上，若，，两两垂直，，则四面体体积的最大值为          ．

【答案】

【详解】 由题意得，如图所示，因为，

 因为，所以，

 所以，

所以四面体的体积为，

所以四面体的体积的最大值为．

16．已知定义在上的函数的满足：，，若函数图象与函数图象的交点为，则     ．

【答案】4046

【分析】判断函数和的图象关于点成中心对称，由此利用函数的对称性即可求得答案.

【详解】由题意知定义在上的函数的满足：，

故函数的图象关于点成中心对称，

由可得，

故函数的图象关于点成中心对称，

又函数图象与函数图象的交点为，

则这些交点关于点对称，

故不妨设这些交点从左向右依次排列，

则，

故

，

故答案为：4046

三、解答题

17．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上且满足点的轨迹为.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设点的极坐标为，求面积的最小值.

【答案】（1）：，：； （2）2.

【分析】（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线的极坐标方程；

（2）由,求得，求得面积的表达式，即可求解.

【详解】（1）由曲线的参数方程为 (为参数)，

消去参数，可得普通方程为，即，

又由，代入可得曲线的极坐标方程为，

设点的极坐标为，点点的极坐标为，

则，

因为，所以，即，即，

所以曲线的极坐标方程为.

（2）由题意，可得,

则，

即，

当，可得的最小值为2.

【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.

18．如图，在矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面平面，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析 （2）二面角的平面角余弦值为.

【分析】(1)过点作于,过点作于,连接,证明即可；

(2)以为原点,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,平面的法向量,计算即可.

【详解】解：（1）证明：过点作,垂足为,过点作于,连接,如图所示；

∵平面平面,平面平面,∴平面,,

∴；

由题意知,

∴,

∴四边形是平行四边形,

∴；

又平面,平面,

∴平面；

（2）由已知,、互相垂直,以为原点,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图所示；

则,,,

,,

设平面的法向量为,

则,

即,

令,则,,

∴；

设平面的法向量为,则,

易求得；

又,

∴当二面角的平面角为锐角时,余弦值为,

当二面角的平面角为钝角时,余弦值为.

【点睛】本题考查了空间几何体以及空间向量的应用问题,是中档题.

19．某市交通管理有关部门对年参加驾照考试的岁以下的学员随机抽取名学员，对他们的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明相关知识）进行两轮测试，并把两轮成绩的平均分作为该学员的抽测成绩，记录数据如下：

（1）从年参加驾照考试的岁以下学员中随机抽取一名学员，估计这名学员抽测成绩大于或等于分的概率；

（2）根据规定，科目三和科目四测试成绩均达到分以上（含分）才算合格，从抽测的到号学员中任意抽取两名学员，记为抽取学员不合格的人数，求的分布列和数学期望．

【答案】（1）；（2）见解析.

【分析】（1）根据表格中的数据得出个学员中抽测成绩中大于或等于分的人数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；

（2）先根据表格中的数据得出到号学员合格与不合格的人数，可得知随机变量的可能取值有、、，然后再根据超几何分布的概率公式计算出随机变量在相应取值时的概率，并列出分布列，结合数学期望公式可计算出的值.

【详解】（1）学员抽测成绩大于或等于分的有个，

从年参加驾照考试的岁以下学员中随机抽取一名学员，

估计这名学员抽测成绩大于或等于分的概率；

（2）号至号学员中有个合格，个不合格，的可能取值为、、，

，，，

的分布列为：

因此，随机变量的数学期望为．

【点睛】本题考查利用古典概型概率公式计算事件概率，同时也考查了离散型随机变量分布列与数学期望的计算，解题时要弄清楚随机变量所满足的分布类型，结合相应的概率公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.

20．已知函数在处的切线与轴平行.

(1)求的值；

(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，得到；

（2）令，则问题转化为与轴有三个交点，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性与极值，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】（1）解：因为，所以，

在处的切线与轴平行，

，解得．

（2）解：令，

则原题意等价于图象与轴有三个交点，

由，解得或；

由，解得．

在时取得极大值；在时取得极小值．

故，

．

21．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.

【答案】(1) 椭圆方程为;(2) 直线l的斜率的取值范围为.

【详解】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a的值，由，得，再利用，可解得a的值；（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA的中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.

设，由方程组，消去，整理得.

解得，或，由题意得，从而.

由（Ⅰ）知，，设，有，.

由，得，所以，解得.

因此直线的方程为.

设，由方程组消去，解得.

在中，，即，

化简得，即，解得或.

所以，直线的斜率的取值范围为.

【解析】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程

【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；

（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；

（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

22．已知函数，（）．

(1)若,讨论函数的单调性；

(2)若关于的方程有两个不同实根，，求实数的取值范围，并证明．

【答案】(1)在上单调递增

(2)，证明见解析

【分析】（1）对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间，

（2）设直线与相切，切点坐标为，然后利用导数的几何意义可求出的值，再由题意可知有两解，从而可求出实数的取值范围，不妨设，则，，两式相加，相减化简变形得，则将问题转化为，令，再次转化为在恒成立即可，构造，利用导数求出其最小值大于零即可.

【详解】（1）时，，

故，

∴在上单调递增．

（2）由题意可知有两解，

设直线与相切，切点坐标为，

则，解得，，，

∴，即．

∴实数的取值范围是．

不妨设，则，，

两式相加得：，两式相减得：，

∴，故，

要证，只需证，即证，

令，故只需证在恒成立即可．

令，则，

∴在上单调递增，∴，

即在恒成立．

∴．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，解题的关键是设，则，，然后两式分别相加减化简可得，所以要证，只需证，令，再转化为在恒成立，构造函数，利用导数求最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.