2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二下学期第二次月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二下学期第二次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数，则在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数运算法则求的代数形式，再确定其在复平面所对应的点及其象限.

【详解】因为，

所以复数在复平面内所对应的点为，该点在第四象限.

故选：D.

2．已知在处取得极小值，则的值为（   ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】求导，然后通过求出的值，再代入原导函数验证在处取得极小值即可.

【详解】由已知，，

，得，

此时，，

令，得或，

令，得，

故在上单调递减，在上单调递增，

故在处取得极小值，符合题意.

则的值为.

故选：B.

3．已知直线，平面，若，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】判断和之间的逻辑推理关系，即可得答案.

【详解】由题意可知，若，

当时，若，则可能平行，也可能相交；

当时，一定有成立，

故是的必要不充分条件，

故选：B

4．一车间有3台车床加工同一型号的零件，且3台车床加工的零件数X（单位：件）均服从正态分布．假设3台车床均能正常工作，若，则这3台车床每天加工的零件数至少有一台超过35件的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得，结合二项分布分析运算.

【详解】加工的零件数超过35件的台数为，每台加工的零件数超过35件的概率，

由题意可得：，

则这3台车床每天加工的零件数至少有一台超过35件的概率.

故选：C.

5．甲乙丙等六位同学站队，甲不站排头，且乙丙不相邻，则这六个人一共有（    ）种不同站法

A．408种 B．240种 C．360种. D．120种

【答案】A

【分析】根据题意，由插空法可得乙丙不相邻的排法，然后去掉其中甲站排头的情况，即可得到结果.

【详解】由题意，先保证乙丙不相邻，其余四人任意排，再让乙丙插空，

共有种排法，

其中甲站排头，且乙丙不相邻的排法有种排法，

所以甲不站排头，且乙丙不相邻的排法共有种排法.

故选：A

6．已知变量关于变量的回归方程为，其一组数据如下表所示：

若，则的值大约为（    ）

A．4.94 B．5.74 C．6.81 D．8.04

【答案】C

【分析】令，把转化为的线性回归方程，再用线性回归的方法处理即可

【详解】由，令，则，由题意，，，所以，解得，所以，所以，解得.

故选：C

7．一袋里装有带编号的红色，白色，黑色，蓝色四种不同颜色的球各两个，从中随机选4个球，已知有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用古典概率求出至少有两个球颜色相同的概率，再求出两球颜色相同、另外两球颜色不同的概率即可求解作答.

【详解】记至少有两个球颜色相同的事件为，两球颜色不同的事件为，

因此，，

所以有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为.

故选：C

8．若直线与曲线相切，则（    ）

A．1 B．2 C．e D．

【答案】B

【分析】设切点，则由导数的几何意义可得，解方程组可得.

【详解】设切点坐标为，.

则，解得.

令，则，

所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以，所以方程的根为．

故选：B.

9．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．

【详解】函数，

则，

由，

得，即，

解得，

所以在，上的“拉格朗日中值点”的个数为2．

故选：B.

10．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意得到为边长为的等边三角形，设外接球的球心为，外接圆的圆心为，连接，利用球的截面圆的性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解.

【详解】如图所示，因为平面，且平面，

所以，

又因为，可得，

由，所以为边长为的等边三角形，

设外接球的球心为，半径为，外接圆的圆心为，连接，

则平面，则，

在正，可得，

在直角中，可得，

所以外接球的表面积为.

故选：D.

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于A，B两点，且，若，则双曲线离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义、余弦定理求解作答.

【详解】令，则，

在中，，由余弦定理得，

即，解得，于是，

在中，令双曲线半焦距为，由余弦定理得：，解得，

所以双曲线离心率.

故选：A

12．关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】转化原不等式为，由此构造函数，对进行分类讨论，结合导数，通过研究时的函数值来确定的取值范围.

【详解】依题意，关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，

即的解集中有且仅有两个大于2的整数，

构造函数，

即的解集中有且仅有两个大于2的整数，

当时，对于，，

即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.

所以.

.

若，即，

设，

，

设，

，

在上递减，且，

所以当时，，递减，

由于，

所以当时，，

所以当时，递减，

所以，

所以当时，恒成立，

即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.

所以，即，

解得，所以的取值范围是.

故选：D

【点睛】利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法解决时，可以利用多次求导的方法来解决.在此过程中，要注意导函数和原函数间的对应关系.

二、填空题

13．随机变量的分布列如下，则      ．

【答案】2.4

【分析】利用分布列的性质，求出p值，再利用期望、方差的定义计算作答.

【详解】依题意，，于是，

，

所以.

故答案为：2.4

14．设常数，展开式中的系数为，则      ．

【答案】

【分析】求得二项展开式的通项，结合题意，通项求得的值，代入列出方程，即可求解.

【详解】由展开式的通项为，

令，解得，所以展开式中的系数为，

则，即，解得.

故答案为：.

15．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为      ．

【答案】12

【分析】根据给定的条件，求出直线的方程，与抛物线方程联立求出PF，QF的长即可求解作答.

【详解】依题意，由于H，得，即是正三角形，，

而，则直线的方程为，

由，消去y并整理，得，

令，解得，又准线，

因此，

所以与的面积之比.

故答案为：12.

16．如图所示，已知正方体的棱长为1，点E，F分别是棱的中点，点P是侧面内一点（含边界）．若平面，则下列说法正确的有      ．

①点的轨迹为一条线段    

②三棱锥的体积为定值

③的取值范围是    

④直线与所成角的余弦值的最小值为

【答案】①②

【分析】取中点，由面面平行的判定可证得平面平面，可知点轨迹为线段，知①正确；由线面平行性质可知点到平面的距离即为点到平面的距离，利用等体积转化，结合棱锥体积公式可求得②正确；在中，通过求解点到的距离可确定③错误；根据平行关系可知所求角为，则余弦值最小时，与重合，由余弦定理可求得结果，知④错误.

【详解】对于①，分别取中点，连接，

，，四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面；

，平面，平面，平面；

，平面，平面平面；

则当平面时，平面恒成立，

又平面平面，平面，

点轨迹为线段，①正确；

对于②，由A知：平面，点到平面的距离即为点到平面的距离，

，

即三棱锥的体积为定值，②正确；

对于③，连接，

在中，，，，

点到的距离为，

的取值范围为，③错误；

对于④，由A知：，直线与所成角即为直线与所成角，即，

则当与重合时，取得最大值，此时余弦值取得最小值；

在中，，，，

，

即直线与所成角的余弦值的最小值为，④错误.

故答案为：①②.

三、解答题

17．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；

(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)0.20

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据频率分布直方图求出，即可得出答案；

（2）先求出各组的学生数，然后根据分层抽样得出日平均阅读时间在内的学生中抽取的人数为4.然后根据超几何分布，求出的分布列，得出期望.

【详解】（1）由频率分布直方图得：，

解得，

所以，日平均阅读时间在内的频率为，

所以日平均阅读时间在内的概率为0.20.

（2）由频率分布直方图得，

这500名学生中日平均阅读时间在内的学生人数为人，

日平均阅读时间在内的学生人数为人，

日平均阅读时间在内的学生人数分别为人.

若采用分层抽样的方法抽取了10人，

则从日平均阅读时间在内的学生中抽取的人数为.

现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，

，，，.    

所以的分布列为

所以，数学期望.

18．某公司对新生产出来的300辆新能源汽车进行质量检测，每辆汽车要由甲、乙、丙三名质检员各进行一次质量检测，三名质检员中有两名或两名以上检测不合格的将被列为不合格汽车，有且只有一名质检员检测不合格的汽车需要重新由甲、乙两人各进行一次质量检测，重新检测后，如果甲、乙两名质检员中还有一人或两人检测不合格，也会被列为不合格汽车．假设甲、乙、丙三名质检员的检测相互独立，每一次检测不合格的概率为

(1)求每辆汽车被列为不合格汽车的概率p；

(2)每辆汽车不需要重新检测的费用为60元，需要重新检测的前后两轮检测的总费用为100元，求每辆汽车需要检测的费用X的分布列及数学期望．

(3)公司对本次质量检测的预算支出是4万元，若300辆汽车全部参与质量检测，实际费用是否会超出预算?

【答案】(1)

(2)分布列见解析，（元）

(3)实际费用估计不会超过预算．

【分析】（1）直接利用概率加法公式和独立事件的概率公式进行求解即可，

（2）设每辆汽车质量检测的费用为X元，则X的可能取值为60，100，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列及数学期望，

（3）根据检测的费用的数学期望，判断实际费用是否会超过预算.

【详解】（1）由题意可知有两名以上检测不合格的概率为

，

有且仅有一人检测不合格，重新检测后仍不合格的概率为

，

综上可知，每辆汽车被列为不合格汽车的概率为

（2）设每辆汽车质量检测的费用为X元，则X的可能取值为60，100，

由题意知，，．

所以随机变量X的数学期望为（元），

（3）所以此方案的费用为，

综上可知，实际费用估计不会超过预算．

19．如图，在多面体中，平面，，为的中点.，.

(1)证明：CD；

(2)求二面角的平面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直的性质定理证明线线垂直；

（2）建立空间直角坐标系，运用数量积求解二面角的平面角的余弦值.

【详解】（1）因为，D为AB的中点，所以，

又平面ABC，平面ABC，所以，

又，AE，平面ABFE，所以平面ABFE，

又平面ABFE，所以；

（2）过D作交EF于M，则平面ABC，可得，，

以D为坐标原点，向量，，的方向分别为x，y，z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系，

在中，，，所以，

在中，，，所以，

在直角梯形ABEF中，运用勾股定理可得，

所以，所以，所以，

又，CD，平面CDF，所以平面CDF，

平面CDF的一个法向量为，

则，，，所以，，

设平面CEF的一个法向量为，由得，

取，则，，所以.

设二面角的平面角为，易知为锐角，

则，

综上，二面角的平面角的余弦值为.

20．以椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为，一个焦点

(1)求椭圆的标准方程

(2)过F的直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在一条定直线：，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列？若存在，求出直线的方程，若不存在说明理由

【答案】(1)

(2)存在直线

【分析】（1）由四个顶点所围成的四边形的面积，构建等式，求解椭圆方程;

（2）可假设直线存在，然后按照上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列构建参数等式，讨论直线的存在与否.

【详解】（1）椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为，

，

∴  ∴，

 ∴椭圆方程

（2）假设存在一条定直线，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列，

（Ⅰ）当AB斜率k不存在时， ，   ，，

，

故当斜率不存在时成立.

（Ⅱ）当AB斜率k存在时，设AB直线方程，

，,

联立，

可得，

由韦达定理可知，,

又,

,

,

,

,

,

,

,

∴时，k，t任意值都成立,

∴存在直线成立,

综上，存在一条定直线，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列.

【点睛】方法点睛:解析几何探索类问题可先假设命题为真,然后据此推理或计算,直接得到存在的依据或导出矛盾,从而肯定或否定假设.

21．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)

【分析】（1）通过分类讨论，利用导数求函数的单调区间；

（2）有两个不同零点，构造函数，则有两个不等实根，令，设，由的值域可得的取值范围为．

【详解】（1）函数，定义域为，，

当时，恒成立，在上单调递增；

当时，解得，解得，在上单调递增，在上单调递减.

（2）有两个不同零点，，

由，可得，

构造函数，，

所以为上的增函数，且，

即有两个不等实根，，则，

令，，由，可得，又，

所以，则，，

故，

而两边取对数，可转化为，即，

设，则在上恒成立，，

设，，

在上恒成立，在递增，

，在上恒成立，得在上恒成立，

则在递减，所以的最小值接近极限值，

设，则，

，

所以的最小值无限接近3，即得的取值范围为．

【点睛】方法点睛：

1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

22．在平面直角坐标系中，直线参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，A为曲线C上一点.

(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程.

(2)若点B为直线与曲线C在第一象限的交点，且，求的面积.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）消参得出直线的普通方程，由得出曲线的普通方程；

（2）联立直线与曲线的方程，求出，再由的几何意义，结合面积公式求出的面积.

【详解】（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），

所以直线l的普通方程为，

又曲线C的极坐标方程为，即，

所以曲线C的普通方程为，即.

（2）联立直线l与曲线C的方程，得，解得或，

因为点B在第一象限，所以，则点B的极坐标为，

因为，则可设点A的极坐标为，

又因为点A在曲线C上，所以，

所以

.

23．已知函数，不等式的解集为．

(1)求的值；

(2)若三个实数，，，满足．证明：

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）依题意可得，即可得到方程组，解得即可；

（2）由（1）可知，则，利用柯西不等式即可证明.

【详解】（1）∵不等式的解集为，

∴，即，∴，经检验得符合题意.

（2）∵，

∴

，

由柯西不等式可知：

，

∴，

即，

当且仅当，，时等号成立.