2022-2023学年宁夏平罗中学高二下学期第三次月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年宁夏平罗中学高二下学期第三次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】一元二次不等式的解法得到集合P，再求交集即可

【详解】由题意得， 或，所以，

故选：A.

2．若复数在复平面内对应的点在直线上，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的几何意义可得，进而可得，，根据复数的乘法运算求解即可.

【详解】因为，可知其在复平面内对应的点为，

由题意可得在直线上，则，即，

则，，所以.

故选：B．

3．若,则“”是“”的（    ）

A．充分条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可．

【详解】当时，，

当时，或，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：C.

4．已知向量，，且，则等于（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由向量垂直可得，求得x，及向量的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模.

【详解】由，可得，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以 ，得=5，选B.

【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标，二是利用性质，结合向量数量积求解.

5．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：

根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为A．75万元 B．85万元

C．99万元 D．105万元

【答案】B

【详解】分析：根据表中数据求得样本中心，代入回归方程后求得，然后再求当的函数值即可．

详解：由题意得，

∴样本中心为．

∵回归直线过样本中心，

∴，解得，

∴回归直线方程为．

当时，，

故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．

故选B．

点睛：本题考查回归直线过样本中心这一结论和平均数的计算，考查学生的运算能力，属容易题．

6．抽奖一次中奖的概率是，5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据独立重复试验的概率公式即可得解.

【详解】抽奖一次中奖的概率是90%，

根据独立重复试验概率公式可得：

5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为.

故选：D.

7．“仁､义，礼﹑智﹑信”为儒家“五常”，由孔子提出.现将“仁､义､礼､智､信”五个字排成一排﹐则“礼､义”相邻﹐且“智﹑信”相邻的排法种数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先分别将将“礼､义”捆绑一起，“智﹑信”捆绑一起，然后与“仁”一起全排，最后结合分步计数原理即可求出结果.

【详解】先将“礼､义”捆绑一起全排有种，再将“智﹑信”捆绑一起全排有种，然后与“仁”一起全排有种，结合分步计数原理可得共有种.

故选：A.

8．2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.

【详解】设事件A为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB为“两个青团子都为肉馅”，则事件A包含的基本事件的个数为，事件AB包含的基本事件的个数为，所以,

故选：A

9．离散型随机变量服从二项分布，且，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二项分布的数学期望和方差公式求解即可.

【详解】因为二项分布，

所以，解得.

故选：C

10．设双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为.则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】D

【分析】根据焦点相同可整理得出双曲线方程及渐近线方程，进而得解.

【详解】由抛物线，得，焦点为，在轴上，

所以，即，焦点为，

即，，，

所以，

又离心率为，即，

解得：，，

双曲线方程为：，

渐近线方程为：，即，

所以抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为，

故选：D.

11．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性求出，再根据导数的几何意义可求出结果.

【详解】因为是偶函数，所以，

即，即对任意实数都成立，

所以，

所以，

所以，

设切点的横坐标为，

所以，

设，

所以，解得，（舍），

即，所以.

故选：A

12．设是函数的定义域，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间I上存在“次不动点”.若函数在 上存在三个“次不动点”，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知得在上有三个解．即函数有三个零点，求出，利用导函数性质求解．

【详解】因为函数在上存在三个“次不动点”，

所以在上有三个解，即在上有三个解，

设，则，由已知，令得，即或

当时，，；，，要使有三个零点，则即，解得；

当时，，；，，要使有三个零点，则即，解得；

所以实数的取值范围是

故选A.

【点睛】本题考查方程的根与函数的零点，以及利用导函数研究函数的单调性，属于综合体．

二、填空题

13．若，则的值为       ．

【答案】

【分析】先对函数求导，然后将代入中求解即可

【详解】由，得，

所以，

故答案为：

14．已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是          ．

【答案】

【详解】设，，弦所在直线方程为，则，

∵，在抛物线上

∴

∴

∴，即

∴弦所在直线方程为

故答案为

点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦所在直线方程的斜率，方法一利用点差法，列出有关弦的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.

15．若的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为        .

【答案】

【分析】由的展开式中的各项系数的和为2，令x=1，求得，写出的展开式的通项，分别乘以，，再令的指数为0求得值，则展开式中的常数项可求．

【详解】解：由的展开式中的各项系数的和为2，

令，得，得．

，

的通项．

的展开式中的通项有和．

令，得，则展开式中的常数项为；

令，得，则展开式中的常数项为，

所以该展开式的常数项为80-40=40.

故答案为：．

16．某篮球队友12名队员，有6名只打前锋，4名只打后卫，甲､乙两人既能打前锋又能打后卫（出场阵容为3名前锋，2名后卫），则出场阵容共有           种.

【答案】636

【分析】按甲乙二人打后卫的人数分三类，分别计算出每一类的出场阵容种数，然后相加即可.

【详解】按甲乙二人打后卫的人数分三类：

（1）甲乙二人都不打后卫：；

（2）甲乙二人有一人打后卫：；

（3）甲乙二人都打后卫：.

所以，出场阵容共有种.

故答案为：.

三、解答题

17．在中，角所对的边分别为，且满足，．

（Ⅰ）求的面积；

（Ⅱ）若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用二倍角公式由已知可得；根据向量的数量积运算，由得，再由三角形面积公式去求的面积；（2）由（1）知，又，解方程组可得或，再由余弦定理去求的值．

【详解】（1）因为，所以

又，所以，

由，得，所以

故的面积

（2）由，且，得或

由余弦定理得，故

【解析】（1）二倍角公式及同角三角函数基本关系式；（2）余弦定理．

18．等比数列的各项均为正数，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；

（2）由an＝化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.

【详解】（1）设数列{an}的公比为q,

由＝9a2a6得＝9,

所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.

由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.

故数列{an}的通项公式为an＝.

（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.

故.

所以数列的前n项和为

19．每年月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接年全国科普日,组织了科普知识竞答活动,要求每位参赛选手从道“生态环保题”和道“智慧生活题”中任选道作答每道题被选中的概率相等,设随机变量表示某选手所选道题中“智慧生活题”的个数．

(1)求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；

(2)求随机变量的分布列及方差．

【答案】(1)；

(2)随机变量的分布列见解析，.

【分析】（1）设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件，利用古典概型求解即可．

（2）由题意可知；求出概率可得到的分布列，再由方差公式即可求得方差．

【详解】（1）设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件，则选中2道“生态环保题”，

则；

（2）由题意可知；

则，

，

，

所以的分布列为：

的期望，

.

20．如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，且，.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.

【详解】试题分析：

(Ⅰ)利用面面垂直的性质定理可得平面.据此有，结合可得平面.最后利用面面垂直的判定定理可得平面平面.

(Ⅱ)取的中点为，的中点为，连接，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，据此可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，据此计算可得二面角的余弦值为.

法2：若以为原点，建立空间直角坐标，则面的法向量面的法向量，计算可得为钝角，则余弦值为.

试题解析：

（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，∴.

又∵平面平面，∴平面.

又∵平面，∴.

∵，，∴平面.

∵平面，∴平面平面.

（Ⅱ）取的中点为，的中点为，连接

易得底面，

以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为2，可得，，，

设平面的一个法向量为

而，

即

取得

设平面的一个法向量为

而，

则即取得

由图知所求二面角为钝角

故二面角的余弦值为.

法2：若以为原点，建立空间直角坐标，如图，

不妨设正方形的边长为2

可得面的法向量

面的法向量

由图可得为钝角

∴余弦值为.

点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．

(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

21．已知椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上，且有.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于A､B两点，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知求得，把已知点的坐标代入椭圆方程求得，可得椭圆的标准方程；

（2）由已知，直线的斜率为零时，不合题意；设直线方程为，点，，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，写出根与系数的关系，代入三角形面积公式，整理后利用基本不等式求得面积的最大值．

【详解】（1）由，得，．

将代入，得．

椭圆的方程为；

（2）由已知，直线的斜率为零时，不合题意；

设直线方程为，点，，，，

联立，得，

由韦达定理，得，

，

当且仅当，即时，等号成立．

面积的最大值为．

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键点是联立直线方程与椭圆方程，得到根与系数的关系，并将三角形的面积表示为，将韦达定理代入化简，利用基本不等式求解即可，考查了学生计算能力与逻辑推理能力，属于中档题．

22．已知函数在处取得极值．

(1)求的单调区间；

(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是；

(2)．

【分析】（1）由题意根据求解，再带回检验即可；

（2）求导分析在上的最大值，再根据求解不等式即可.

【详解】（1）∵，，又在处取得极值，

∴，∴，

检验：当时，，，，

令，得，

当x变化时，，的变化情况如表所示．

在处取得极小值成立；

所以的单调递减区间是，单调递增区间是．

（2）由（1）知在单调递减，单调递增，

又，，

则，．

若在上恒成立，则．

即，解得或，

所以实数c的取值范围是．