2024届江苏省扬州市仪征市第二中学高三上学期10月检测数学试题含答案

这是一份2024届江苏省扬州市仪征市第二中学高三上学期10月检测数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由，而，
所以.
故选：A
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
3．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
4．在空间直角坐标系中，已知异面直线，的方向向量分别为，，则，所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的夹角公式结合已知条件直接求解即可
【详解】设异面直线，所成角为，
因为异面直线，的方向向量分别为，，
所以，
故选：A
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】令，该函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，排除AB选项，
当时，，则，排除C选项.
故选：D.
6．已知 ，且，则是（ ）
A．偶函数B．奇函数
C．非奇非偶函数D．不能确定
【答案】A
【分析】由赋值法得出，再由，结合定义判断即可.
【详解】取，则，因为，所以.
取，则，即.
即函数是偶函数.
故选：A
7．中若有，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用三角函数恒等变换公式对原式化简变形可得结论
【详解】由，得，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，因为，所以，
所以为直角三角形，
故选：B
8．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先对两式进行平方，进而可求出的值，根据二倍角公式求出结论.
【详解】解：因为，，
所以平方得，，，
即，，
两式相加可得，
即，
故，
.
故选：D.
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】由不等式的基本性质可判断ABC，由幂函数的单调性可判断D.
【详解】对于A，若，则，A正确；
对于B，若，当时，，B错误；
对于C，若，则，C正确；
对于D，若，则，不一定有，D错误.
故选：AC.
10．声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），下列选项中正确的是（ ）
A．闻阈的声强级为
B．此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：）
C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D．声强级增加，则声强变为原来的10倍
【答案】BD
【分析】根据题中所给声强级与声强之间的关系式，结合对数的运算以及函数的性质逐一分析四个选项，即可得到答案.
【详解】由题意，，则，
所以，
当时，，故A错误；
当时，即，则，当时，即，则，
故歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：），故B正确；
将声强为对应的声强级作商为，故C错误；
将，对应声强作商为，故D正确.
故选：BD.
11．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．若函数为偶函数，则
C．若，则函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
D．若，则函数的图象的对称中心为
【答案】ACD
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐项判定，得出结论．
【详解】由题意，函数
，其中
可得函数的最小正周期为，故A正确；
若函数为偶函数，则，故B错误；
若，则函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到，故C正确；
若，则函数，令，求得，，
可得它的图象的对称中心为，故D正确，
故选：ACD．
12．已知正方体的棱长为4，正四面体的棱长为a，则以下说法正确的是（ ）
A．正方体的内切球直径为4
B．正方体的外接球直径为
C．若正四面体可以放入正方体内自由旋转，则a的最大值是
D．若正方体可以放入正四面体内自由旋转，则a的最小值是
【答案】ACD
【分析】求得正方体外接球的直径判断选项A、B，对于C，即正四面体的外接球小于等于正方体内切球；对于D，即正方体的外接球小于等于正四面体内切球.
【详解】对于A，正方体的内切球直径即其棱长，所以直径为4，A正确；
对于B，正方体的外接球直径即其体对角线，所以直径为，B错误；
正四面体的棱长为a

因为正四面体的外接球的球心O到点F、G、H的距离相等，
所以O在平面 BCD内的射影，到点F、G、H的距离相等，
又因为在正四面体中是正三角形，
所以是的中心，进而在正四面体中，
有平面，所以球心O在高线上，
同理：球心O也在其它面的高线上，
又正四面体中各面上的高都相等，
所以由得，
点O到正四面体各面的距离相等，
所以点O也是正四面体的内切球的球心，
这样正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．
记正四面体的高为，则.
因此，只要求出其中一个，则另一个也出来了.
因为在正四面体中，是正三角形，是其中心，
所以，因为平面,平面，
所以，在中，由勾股定理，
得，所以，
解得，，
故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为.
对于C，若正四面体可以放入正方体内自由旋转，即正四面体的外接球小于等于正方体内切球，又由棱长为a的正四面体的外接球半径，C正确；
对于D，正方体可以放入正四面体内自由旋转，即正方体的外接球小于等于正四面体内切球，又由棱长为a的正四面体的内切球半径，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知，则 ．
【答案】//
【分析】由倍角公式结合商数关系求解即可.
【详解】因为，则，
所以．
故答案为：
14．已知函数则函数的所有零点构成的集合为 ．
【答案】
【分析】本题即求方程的所有根的集合，先解方程，得到，然后再解方程，可得所求．
【详解】函数的零点，即方程的所有根，
令，根据函数，方程的解是，
则方程的根，即为方程的根，
当时，，由，，
当时，，由，，
综上，函数所有零点构成的集合是.
故答案为：.
15．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 .
【答案】
【详解】解法一：设，
可解得，
从而
，
当且仅当时取等号.
故答案为：．
解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：，
，
所以，当且仅当时取等号.
故答案为：．
16．已知函数，不论为何值，曲线均存在一条固定的切线，则这条切线的方程是 ．
【答案】
【分析】求出导函数，求出与无关的导数值，可得切点与斜率，从而可得切线方程.
【详解】由，得，
则，
这两个值均与无关，
所以不论取何值，曲线均存在一条固定的切线，
此时切点为，
所以切线方程为，
故答案为：
四、解答题
17．已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)记，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得出，再由集合运算求解；
（2）由⫋，结合包含关系得出实数a的取值范围．
【详解】（1）∵，则，则，
故，当时，
∴，
∴.
（2）∵，
∵是的必要不充分条件，即⫋，
∴且等号不同时成立，解得，
∴实数的取值范围是．
18．在中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若D为上点，平分角A，且，，求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题意和正弦定理得到，利用余弦定理求得，即可求解；
（2）利用，化简得到，进而求得，结合因为，即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理，可得，
又因为，可得．
（2）因为D为上点，平分角，则，
又由，
可得，
又因为，可得，解得，
因为，所以．
五、应用题
19．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
六、证明题
20．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，或
【分析】（1）根据底面是正方形，且平面，可得两两互相垂直，建立空间直角坐标系，得平面的一个法向量，由数量积公式得，从而得，即可证明得平面；
（2）求解平面的法向量，设存在点，，设，代入表示出点，从而写出，再根据向量夹角的计算公式列式化简计算求出值，即可得答案.
【详解】（1）因为底面是正方形，且平面，
所以两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
易知平面的一个法向量为，
所以，，又平面，
所以平面.
（2）设平面的法向量为，
则，当，可取，
假设存在点，，
设，所以，
所以，得，
所以，
得，解得或，
所以或
七、解答题
21．已知函数，其中．
(1)若是函数的极值点，求a的值；
(2)若，讨论函数的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，由得出，再检验即可；
（2）讨论的大小关系，根据导数得出单调性.
【详解】（1） ，
因为是函数的极值点，所以，解得，
当时，，
若，则，若，则或.
即函数在上单调递减，在上单调递增，即是函数的极值点.
故．
（2），，
当时，令，解得或，
当，即时，
当时，，当或时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当时，
当时，，当或时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，，所以在上单调递减.
综上，
当时，在上递减，在上递增，在上递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
22．若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间．
(1)是否存在实数m，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2)若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式，并判断是否为函数的等域区间．
【答案】(1)存在，；
(2)或，不是等域区间，理由见解析
【分析】（1）根据函数单调性得到，故在区间内有两个不等实根，从而得到不等式，求出实数m的取值范围；
（2）由题意得到为方程的两个根，由韦达定理得到，，化简得到，结合，a，，求出或，检验后得到函数解析式，再验证是否是等域区间.
【详解】（1）因为函数是上的增函数，
所以当时，，
故关于x的方程在区间内有两个不等实根，
故，解得．
（2），由不等式的解集恰为，且为二次函数，
则不等式的解集为，不等式对任意实数恒成立，
故为方程的两个根，即的两个根，
由韦达定理可得，，消去可得，
整理得.又，a，，
从而或.所以或，
当时，，，显然恒成立，故满足要求，
此时，，所以不是的等域区间；
当时，，，
此时恒成立，满足要求，
此时，，所以不是的等域区间．