2022-2023学年江苏省南通市如皋市高三上学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省南通市如皋市高三上学期期末数学试题及答案，共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为
A. 77B. 49C. 45D. 30
【答案】C
【解析】
【详解】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．
考点：1．集合的相关知识，2．新定义题型．
2. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．
【详解】解：依题意，设．
则．
，．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3. 角是△的两个内角.下列六个条件中，“”的充分必要条件的个数是
①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合三角函数的性质和三角形的性质逐一考查所给的条件是否符合题意即可.
【详解】逐一考查所给的条件：
由正弦定理可知，，所以，；
在△ABC中，故；
函数在区间上单调递减，故；
因为，
所以；
当时，无意义，则③⑥均不是“”的充分必要条件.
综上可得：“”的充分必要条件的个数是4．
故选：D．
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角函数知识的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．
4. 已知，且，则的最小值为（ ）
A 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式可知，令，，即可得到，再利用基本不等式求出的最大值，最后由二倍角公式可得，从而得解.
【详解】解：因为锐角，满足，
所以，
令，，
则，
由题意得，，所以，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以
；
故选：C
5. 在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由充分、必要关系的定义，结合三角形内角的性质判断题设条件间的推出关系，即可确定答案.
【详解】由：
若，则为钝角；
若，则，
此时，故充分性成立.
△为钝角三角形，若为钝角，则不成立；
∴“”是“△为钝角三角形”的充分不必要条件.
故选：.
6. 函数f(x)=|x|+ (aR)的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对分类讨论，将函数写成分段形式，利用对勾函数的单调性，逐一进行判断图象即可.
【详解】，
① 当时，，图象如A选项；
②当时，时，，
在递减，在递增；
时，，由，单调递减，
所以在上单调递减， 故图象为B；
③当时，时，，可得， ，在递增，
即在递增，图象为D；
故选：C.
7. 已知点，为坐标原点，线段绕原点逆时针旋转，到达线段，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义确定出终边经过点的的三角函数值，然后根据位置关系判断出的终边经过，结合两角和的正、余公式求解出的坐标.
【详解】由的坐标可知在单位圆上，设的终边经过点，所以，
又因为由绕原点逆时针旋转得到，所以的终边经过点且也在单位圆上，
所以，
又因为，
所以，
故选：D.
8. 函数恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意有恰有两个整数解，令，求导得到函数的单调性从而得，即可得解.
【详解】函数恰有两个整数解，即恰有两个整数解，
令，得，令，易知为减函数.
当,，单调递增；
当,，单调递减.
.
由题意可得：，，所以
故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的导数的应用，利用导数分析函数的单调性，考查了学生的转化与化归的能力，属于难题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若实数x，y满足，，，则（ ）
A. 且B. m的最大值为
C. n的最小值为7D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C，根据指数幂的运算判断D；
【详解】解：因为，若，则，又，显然不成立，即，
同理可得，所以，即且，故A正确；
又，即，
所以，当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B正确；
又
，
当且仅当，即，时取等号，故C错误；
对于D：，
因为，所以，即，即，
即，因为，所以，即，故D正确；
故选：ABD
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，函数在上的最大值为
B. 当时，函数的图像关于直线对称
C. 是函数的一个周期
D. 不存在，使得函数是奇函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和函数的性质的应用判断ABCD的结论．
【详解】解：函数，
对于A：当时，，
由于,，当时，函数的最大值为，故A正确；
对于B：当时，，
由，故函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C:，故C错误；
对于D：要使函数为奇函数，则，即，
整理得：，
即，关系式不恒成立，
故不存在，使得函数是奇函数，故D正确．
故选：ABD．
11. 对于函数，下列结论中正确的是（ ）
A. 任取，都有
B. ，其中；
C. 对一切恒成立；
D. 函数有个零点；
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出函数的图象.对于A：利用图象求出，即可判断；对于B：直接求出，即可判断；
对于C：由，求得，即可判断；
对于D：作出和的图象，判断出函数有3个零点.
【详解】作出函数的图象如图所示.所以.
对于A：任取，都有.故A正确；
对于B：因为，所以.故B错误；
对于C：由，得到，即.故C正确；
对于D：函数的定义域为.作出和的图象如图所示：
当时,;
当时,函数与函数的图象有一个交点;
当时,因为,，所以函数与函数的图象有一个交点,所以函数有3个零点.故D正确.
故选：ACD
12. 已知定义域为的函数对任意的实数，满足，且，并且当时，，则下列选项中正确的是（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数在上单调递增
C. 函数是以2为周期的周期函数
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用赋值法，对4个命题分别进行判断，即可得出结论.
【详解】令，可得，
，函数是奇函数，故A正确；
设，则当时，，
，
，函数在上单调递增，故B正确；
（1），可得，
函数是以2为周期的周期函数，故C正确；
④，故D不正确．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ___________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用两角和差化积公式凑配化简得，代入原式即可得解.
【详解】
，
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的化简求值，利用两角和差化积公式凑配化简是解题的关键，考查学生的运算能力，属于较难题.
14. 已知为数列的前n项和，数列满足，且，是定义在R上的奇函数，且满足，则______．
【答案】0
【解析】
【分析】利用数列通项公式与前n项和公式的关系求通项的递推关系，再构造等比数列求出通项公式.根据和f(x)是R上奇函数可得f(x)是周期为4的函数，且f(0)＝f(2)＝0.，将用二项式定理展开，其中能被4整除的部分在计算时即可“去掉”，由此即可求出答案.
【详解】，，
两式相减得，，即，
，即数列是以为首项，3为公比的等比数列，
，.
是定义在R上的奇函数，且满足，
令，则，
又＝－f(－x)，
∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(－x)]＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，即是以4为周期周期函数.
其中能被4整除，
.
故答案为：0．
【点睛】本题综合考察了数列求通项公式的两个方法：利用通项公式和前n项和公式的关系，以及构造等比数列，考察了函数周期的求法，还考察了利用二项式定理处理整除问题，属于难题.
15. 已知函数的图象与函数的图象相邻的三个交点依次为A，B，C，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象与函数的图象，根据图象性质求出三角形的底与高即可求解面积．
【详解】作出函数的图象与函数的图象如图所示：
由图可知，取中点，连接，则
由得
即，则
所以的纵坐标为，的纵坐标为，故
所以的面积为
故答案为：
16. 对任意，不等式恒成立，则正实数m的取值范围为______.
【答案】或
【解析】
【分析】将不等式右边通分后再分类讨论，当时，通过构造函数并研究其单调性来解决不等式问题.
【详解】由，有.
当时，不等式显然成立，
又，所以，即时不等式恒成立，
又为正实数，所以；
当时，令，则，
即有，
令，易知在上单调递增，
所以，即，
所以，即，
所以，解得或（为正实数）.
综上可知：或.
故答案为：或
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在①成等比数列，且；②且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.已知数列是公差不为0的等差数列，，其前n项和为，数列的前n项和为，若_______.注.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求数列的前n项和.
（2）设等比数列的首项为2，公比为，其前n项和为，若存在正整数m，使得，求q的值.
【答案】（1）选①②结果相同，
（2）选①②结果相同，q的值为或
【解析】
【分析】（1）选①：利用等比数列通项公式基本量计算求出公差，求出通项公式，利用与的关系求出再使用错位相减法求和，选②：利用等比数列求和公式基本量计算求出通项公式，利用与的关系求出再使用错位相减法求和；（2）由（1）知，选①②结果相同，利用得到，利用得到，结合为正整数，得到或，从而求出q的值为或.
【小问1详解】
选①：成等比数列，且
设等差数列公差为d，由成等比数列，则，解得：或0（舍去）；则
当时，，解得：，因为①，当时，②，两式相减，，其中经检验，，所以是首项为1，公比为的等比数列，故则，则①，②，
两式相减得：
，
所以；
选②：且
因为，所以，解得：或0（舍去），则
当得：，当时，，经检验，符合，综上：的通项公式为：
则，则①，②，
两式相减得：
，
所以；
【小问2详解】
由（1）可得，选①②结果一样，
已知，由，得，
所以，因为，所以，即
由于，所以或，
当时，解得：（舍负），
当时，，解得：（舍负），
所以q的值为或.
18. 已知
（1）求的值域；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得对任意的恒成立，参变分离可得对任意的恒成立，再利用二倍角公式、同角三角函数基本关系及对勾函数的性质计算可得.
【小问1详解】
解：
．
即，所以.
【小问2详解】
解：由得对任意的恒成立，
因为，所以，
即对任意的恒成立，只需要，
又，
令，当时，，所以，
其中，即，则或（舍去），
，
又函数在上单调递减，
所以在上单调递减，
当时，，
所以．
19. 已知各项均为正数的数列的前项和为.
（1）求证；数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）若表示不超过的最大整数，如，求的值.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）用 替换给定关系中的，求出，由此求出进而求出.
（2）对适当放大为，再利用裂项相消法求其前项和，再确定这个和所在区间即可得解.
【小问1详解】
因为，所以当时，，即，而，有，所以
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列；
，则
当时，，又满足上式，
所以的通项公式为.
【小问2详解】
，当时，，
故，
当时，，所以对任意的，都有，
又，所以.所以.
20. 已知奇函数的定义域为
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）a=1，b=3；
（2）详见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得a，再根据定义域关于原点对称求解；
（2）利用函数单调性定义证明；
（2）将时，恒成立，令，转化为，时恒成立求解.
【小问1详解】
解：因为函数是奇函数，
所以，即，
即，即，
整理得，
所以，即，则，
因为定义域为关于原点对称，所以b=3；
【小问2详解】
在上递增.
证明：任取，且，
则，
因为，
所以，又，
所以，即，
所以在上递增；
【小问3详解】
因为，
所以，
又当时，恒成立，
所以，时恒成立，
令，则，时恒成立，
而，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的取值范围是.
21. 函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在（）上恰有2021个零点若存在，求出和对应的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，当或时，；当时，．
【解析】
【分析】
（1）利用周期求出的值，再代入特殊点求出，即可求得函数解析式；
（2）求出函数在上的值域，令，原不等式转化为恒成立，根据二次函数的图象与性质进行求解；
（3）分或、或、或、四类情况讨论函数的图象与直线在的交点情况，再分析当的图象与直线在上恰有2021个交点时应满足的条件.
【详解】（1）由图可得，，即，，
，，，因为
，．
（2），，，
令，则由题意得恒成立，
解法一：（分离变量）即恒成立，因为，单调递增，所以，所以，即的取值范围是．
解法二：（二次函数）令，，对称轴是，①若，，则，解得，这与矛盾，舍去；
②若，函数在区间单调递增，则只需，解得
综上：，即的取值范围是．
（3）由题意可得的图像与直线在上恰有2021个交点，且函数的周期是，设，
①当或时，的图像与直线在上无交点.
②当或时，的图像与直线在仅有一个交点，
此时图像与直线在上恰有2021个交点，则．
③当或时，
的图像与直线在恰有2个交点，
的图像与直线在上有偶数个交点，不可能有2021个交点．
④当时，的图像与直线在恰有3个交点，
此时，才能使的图像与直线在上有2021个交点．
综上可得，当或时，；当时，．
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数解析式、余弦函数的图象与性质、二次不等式恒成立问题，解题方法如下：
（1）根据题中所给的函数图象，结合周期决定，最值决定，特殊点决定，从而求得结果；
（2）结合所给的区间，得到在相应区间上的值域，将不等式转化为一元二次不等式在某个区间上恒成立，可以利用二次函数的性质，也可以分类参数，求得其范围；
（3）首先分析函数在区间上的图象特征，结合其与的交点个数，分析得出满足条件的的值.
22. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；
（2）问题转化为，令，根据函数的单调性求出的最小值，（可根据同构法也可根据换元法求最值），求出的范围即可；
【详解】（1）．所以．又，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）．
令，则．
令，则，所以是增函数．
又，，由零点存在定理及是增函数，
知存在唯一的，使得．
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以．
由，得，即．
令，则，是增函数．
又，，所以①
①两边取自然对数，得，即，所以②
由①②，得．
于是，即．所以实数的取值范围是．
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意参数范围，筛选出符合题意的参数范围.