2022-2023学年海南省海南中学白沙学校高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年海南省海南中学白沙学校高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求，再求．

【详解】由已知得，所以，故选C．

【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．

2．已知复数z=2+i，则

A． B． C．3 D．5

【答案】D

【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.

【详解】∵ 故选D.

【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..

3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）

A．120种 B．90种

C．60种 D．30种

【答案】C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

4．双曲线虚轴的一个端点为，焦点为、，，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意知

.

5．函数的导函数为，且满足，则的值为（    ）

A．5 B．1 C．6 D．-2

【答案】C

【分析】利用导数公式及求导法则求出导数，再赋值计算作答.

【详解】函数，求导得，

当时，，解得，

因此，所以.

故选：C

6．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知可求出，由即可求出的值.

【详解】根据正态分布的概率密度函数的对称性可知，

则，

故选:B.

【点睛】本题考查了正态分布密度曲线的性质，考查了转化思想，属于基础题.

7．已知向量，，，若为实数，，则

A．2 B．1

C． D．

【答案】C

【分析】首先利用向量加法的坐标运算得出，再利用向量共线定理即可得出的值．

【详解】由题意得和平行，故，解得，

故选C.

【点睛】本题考查了向量加法以及向量共线定理的坐标表示，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

8．函数（b＞0，a∈R）在点处的切线斜率的最小值是（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】C

【分析】根据题意求出导数，求出切线的斜率为，再由基本不等式可得答案．

【详解】，

所以在点处的切线斜率是，

因为b＞0，所以，当且仅当即时等号成立，

故选：C．

二、多选题

9．已知直线l和不重合的两个平面，，且，下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BC

【分析】结合面面平行的判定定理、面面平行的定义、面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理可分别判断四个选项的正误.

【详解】对于A，由可得与平行或相交，故错误；对于B，若，则由面面平行的定义可得，故正确；对于C，若，则由面面垂直的判定定理可得，故正确；对于D，当时，l可能在内，可能与平行，也可能与相交，所以不一定有，故错误.

故选：BC.

10．下列求导正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABD

【分析】根据求导公式分别检验各项即可得出结果.

【详解】对于，的导数为，故选项正确；

对于，的导数为，故选项正确；

对于，的导数为，故选项错误；

对于，的导数为，故选项正确，

故选：.

11．一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（    ）

A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是

B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为

C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为

D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为

【答案】ABD

【分析】对选项A，根据古典概型公式即可判断A正确，对选项B，根据二项分布即可判断B正确，对选项C，根据条件概率即可判断C错误，对选项D，利用二项分布即可判断D正确。

【详解】对选项A,从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故A正确；

对选项B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，

则取到白球的个数，

故恰好有两个白球的概率为；

对选项C，从中不放回的取球2次，每次任取1球，记A为“第一次取到红球”，

B为“第二次取到红球”，则所求概率为，故C错误。

对选项D，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则取到红球的个数，

至少有一次取到红球的概率为，故D正确。

故选：ABD

12．等差数列的前项和为，已知，，则（    ）

A．

B．的前项和中最小

C．的最小值为-49

D．的最大值为0

【答案】BC

【分析】由已知条件先计算出和，然后计算的值对A进行判断；求出的表达式，计算出最小值即可对B进行判断；求出的表达式，运用导数求出最小值判断C选项；求出的表达式对D进行判断.

【详解】设数列的公差为d，则

解得，，A错误；

，当n=5时取得最小值，故B正确；

，设函数，

则，当时，，

当时，，

所以，，且，，

所以最小值为-49，C正确；

，没有最大值，D错误．

故选：BC

三、填空题

13．在的展开式中，的系数是         ．

【答案】10

【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．

【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．

所以的系数为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．

14．2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为      .

【答案】/0.6

【分析】利用条件概率公式即可得到结果.

【详解】设“甲同学被选出”记为事件，“乙同学被选出”记为事件，

则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率.

故答案为：

四、双空题

15．已知，则        ；      ．

【答案】         

【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根据两角差正切公式得

【详解】，

，

故答案为：

【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

五、填空题

16．设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围             ．

【答案】

【分析】首先根据题意得到，，再根据的单调性即可得到答案.

【详解】，因为函数在区间上单调递减，

所以，恒成立，

即，.

又在上单调递减，所以，

故，即，

所以m的取值范围为.

故答案为：.

六、解答题

17．的内角，，的对边分别为，，.已知，，.

(1)求的值；

(2)求的值及的面积

【答案】(1)；

(2)，的面积为.

【分析】（1）由正弦定理求出作答.

（2）由余弦定理列出关于的方程求出，再利用三角形面积公式计算作答.

【详解】（1）在中，，，，由正弦定理，

得，解得，

所以.

（2）由余弦定理，得，

即，而，解得，

，

所以，的面积为.

18．已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列

(1)求通项公式

(2)设，求数列的前项和

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）根据等差数列求和公式、等差数列通项公式以及等比中项列式求出和可得结果；

（2）根据等比数列求和公式可求出结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为，则，即，

又成等比数列，所以，即，

整理得，得或，

若，则，，

若，则，得，，.

综上所述：或.

（2）若，则，；

若，则，.

19．某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

（1）求y关于t的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

，

【答案】（1）；（2）在2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加千元；元.

【详解】试题分析：本题主要考查线性回归方程、平均数等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用平均数的计算公式，由所给数据计算和，代入公式中求出和，从而得到线性回归方程；第二问，利用第一问的结论，将代入即可求出所求的收入．

试题解析：（1）由所给数据计算得＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＝4，＝（2．9＋3．3＋3．6＋4．4＋4．8＋5．2＋5．9）＝4．3，

，

，

所求回归方程为．

（2）由（1）知，，故2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0．5千元．

将2017年的年份代号t＝9，代入（1）中的回归方程，得，

故预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6．8千元．

【解析】线性回归方程、平均数．

20．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：

(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.

附：

【答案】(1)有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；

(2)分布列见解析，数学期望为.

【分析】（1）完善列联表，计算的观测值，再与临界值表比对作答.

（2）求出的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

【详解】（1）依题意，列联表如下：

零假设：该校学生喜欢足球与性别无关，

的观测值为，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，

所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.

（2）依题意，的可能值为，

，，

，，

所以的分布列为：

数学期望.

21．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线：（）与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．

【答案】（1）;（2）详见解析．

【详解】试题分析：（1）当焦点不确定在哪个轴时，可以分别讨论在轴时，，代入点，当在轴时，代入点解或，成立的就是椭圆方程;或直接设椭圆的一般式，代入三点的坐标解方程组；

（2）直线方程与椭圆方程联立，设，，由根与系数的关系得到和设直线的方程，直线的方程为后有三种方法，法一，当时计算交点的纵坐标，并根据直线方程与根与系数的关系证明纵坐标相等，法二是联立直线与的方程，消去后利用根与系数的关系得到交点的横坐标等于4，法三类似于法二，只是先通过根与系数的关系先消去，得到与的关系，然后再联立两个方程得到交点横坐标为4．

试题解析：（1）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为（），

则，又点在椭圆上，得．解得．

∴椭圆的方程为．

当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为（），

则，又点在椭圆上，得．

解得，这与矛盾．

综上可知，椭圆的方程为．

解法二：设椭圆方程为（），

将、、代入椭圆的方程，得

解得，．

∴椭圆的方程为．

（2）证法一：将直线：代入椭圆的方程并整理，得，

设直线与椭圆的交点，，

由根与系数的关系，得，．

直线的方程为：，它与直线的交点坐标为，

同理可求得直线与直线的交点坐标为．

下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：

∵，，

∴

．

因此结论成立．

综上可知，直线与直线的交点在直线上．

证法二：将直线：，代入椭圆的方程并整理，

得，

设直线与椭圆的交点，，

由根与系数的关系，得，．

直线的方程为：，即．

直线的方程为：，即．

由直线与直线的方程消去，得

．

∴直线与直线的交点在直线上．

证法三：将直线：，代入椭圆方程并整理，

得，

设直线与椭圆的交点，，

由根与系数的关系，得，．

消去得，．

直线的方程为：，即．

直线的方程为：，即．

由直线与直线的方程消去得，

．

∴直线与直线的交点在直线上．

【解析】1．椭圆方程；2．直线与椭圆的位置关系．

22．已知函数且.

(1)当时，求在点处的切线方程；

(2)若函数在区间上为单调函数，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）把代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程作答.

（2）求出的导数，在区间上由或,求出的取值范围作答．

【详解】（1）当时，，，求导得，，

于是，即，

所以函数在点处的切线方程为．

（2）函数，求导得，

因为函数在区间上是单调函数，则当函数在上单调递增时，，，

即在上恒成立，令，，

显然函数在上单调递增，，因此，解得，

当函数在上单调递减时，，，

即在上恒成立，因此，解得或，

所以的取值范围为.

【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.