2022-2023学年辽宁省丹东六中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省丹东六中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子：；；；；；，其中不等式有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  到三角形各顶点距离相等的点是(    )

A. 三条边垂直平分线交点 B. 三个内角平分线交点
C. 三条中线交点 D. 三条高交点

4.  若，则下列变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列式子从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，中，，是的平分线，若，，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若关于的不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

9.  如图，点，，在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点，，交于点，连接，，下面结论：≌；；为等边三角形；平分；其中结论正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）

10.  用“”或“”填空：若，则______

11.  如图，把绕点按顺时针方向旋转后能与重合，且交于点，若，则的度数是______．

12.  若不等式组的解集是，则的取值范围是______．

13.  如图，在中，，点在上于点，交与点若，则 ______ ．

14.  已知，，则 ______ ．

15.  当 ______ 时，式子的值不大于．

16.  如图，在中，，，是边上的中线，，则的面积是______ ．

17.  如图，，若和分别垂直平分和，则 ______ ．

18.  如图，是的角平分线，点在射线上，是线段的中垂线交于，过点作的垂线交于点若，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解关于的一元一次不等式，并在数轴上表示该不等式的解集．
解不等式组：．

 

20.  本小题分
分解因式：
；
；
；
．

21.  本小题分
如图，三个顶点的坐标分别是，，．

请画出向左平移个单位长度后得到的；
请画出关于原点对称的；
在轴上求作一点，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标．

22.  本小题分
如图所示，、是的高，且求证：是等腰三角形．

 

23.  本小题分
孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进，两种树木共棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买种树木棵，种树木棵，共需元；购买种树木棵，种树木棵，共需元．
求种，种树木每棵各多少元？
因布局需要，购买种树木的数量不少于种树木数量的倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下不考虑其他因素，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．

24.  本小题分
观察图象填空：
如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______ ；
如图，两条直线的交点坐标为______ ，方程的解是______ ；不等式的解是______ ；
如图，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______ ．

 

25.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点．
若点在轴上，且为等腰三角形，则点坐标为______ ；
如图，直线交轴负半轴于点，且，为射线上一点，以点为旋转中心将点旋转度得到点，当点落在直线上时，写出点的坐标为______ ；
在的条件下，为线段上一点，且，在直线上确定点，使是以为斜边的等腰直角三角形，则点的坐标为______ ；
过中的点作直线垂直于轴，点在直线上，若的面积等于的面积，则点的坐标为______ ．

 

26.  本小题分
如图，在中，，，射线于点，动点从点出发沿射线方向运动；以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为秒；
以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到线段，连接，是否存在最小值，不存在，则说明理由，存在则求出最小时的值及的最小值；
若射线为的平分线，当点从点出发时，点从点向点与点同时同速运动，连接交于点，当为等腰三角形时，直接写出所有可能的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，属于不等式；
，属于不等式；
，属于不等式；
属于代数式，不合题意；
属于方程，不合题意；
，属于不等式．
故选：．
依据不等式的定义进行判断．用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．
本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“”、“”、“”、“”、“”另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．

2.【答案】 

【解析】解：能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
B.能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
C.能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
D.不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意．
故选：．
根据平移的性质即可得出结论．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向角度是解答此题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，
到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选：．
根据线段垂直平分线的判定定理判断即可．
本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：不等式两边都减去，不等号的方向不变，故A不正确，不符合题意；
B.不等式两边都乘以，不等号的方向不变，故B不正确，不符合题意；
C.不等式两边都乘以后再加上，不等号的方向不变，故C不正确，不符合题意；
D.不等式两边都乘以，不等号的方向改变，故D正确，符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质，正确找出选项中不等式与原不等式的变化点是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
B.，是因式分解，符合题意；
C.，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
D.，整式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意．
故选：．
因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式．
本题考查了因式分解的定义，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，因式分解与整式乘法是互逆变形．

6.【答案】 

【解析】解：是的平分线，，，
，
，，
．
故选：．
根据角平分线的性质和线段的和差求解即可．
本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．

7.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
不等式组恰有两个整数解，
，
解得：．
故选：．
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：，
直线经过定点，
无论取何值，始终有，
，且在的上方，
，
当经过点时，
，
，
此时两直线相交，
时，，
即且．
故选：．

本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：、为等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
≌，故正确；
≌，
，
，
，故正确；
在和中，
，
≌，
，
为等边三角形，故正确；
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
即平分；故正确；
已有的条件无法求的度数，故错误；
综上所述：正确的结论有个；
故选：．
由等边三角形的性质得出，，，得出，由即可证出≌；
由≌，得出，根据三角形外角的性质得出；
由证明≌，得出对应边相等，即可得出为等边三角形；
证明、、、四点共圆，由圆周角定理得出，即平分．
本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
由解不等式的方法求解．
考查了不等式的性质注意：移项要变号，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等式的符号要改变．

11.【答案】 

【解析】解：绕点按顺时针方向旋转后能与重合，
，
．
故答案为．
先根据旋转的性质得到，然后根据三角形外角性质计算出的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

12.【答案】 

【解析】解：由，得：，
又且不等式组的解集为，
，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：，
，
于，于，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据等腰三角形等边对等角的性质得到，利用等角的余角相等和已知角可求出的数，从而可求得的度数．
本题综合考查等腰三角形与直角三角形的性质及三角形外角性质等知识．一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．

14.【答案】 

【解析】解：，，


．
故答案为：．
利用提取公因式法进行因式分解，然后代入求值即可．
考查了因式分解提取公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
解得，
故答案为：．
根据题意可以得到，然后求解即可．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长到，使，连接，
为的中点，
，
在与中，
，
≌，
，，
又，，
，
是直角三角形，，
则，
故答案为：．
延长到，使，连接，证≌，得，，再由勾股定理的逆定理证，即可解决问题．
此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
，
同理：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由和分别垂直平分和，可得，，即可证得，，又由，可求得的度数，即可得的度数，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意求得的度数是关键．

18.【答案】 

【解析】解：连接，过作于，交于，交于，

是线段的中垂线，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，过作于，交于，交于，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，求出，求出的度数，再求出，求出，根据三角形的外角性质求出，再求出答案即可．
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

19.【答案】解：去括号得：，
移项得，，
合并同类项得：，
解得：，
在数轴上表示出它的解集为：
．
，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求出此不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

20.【答案】解：原式；
原式；
原式；
原式
． 

【解析】利用平方差公式因式分解即可；
利用提公因式法因式分解即可；
利用完全平方公式因式分解即可；
提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

21.【答案】解：如图所示；
如图所示；
如图所示，．
 

【解析】本题考查了利用平移变换作图，关于轴、轴、原点对称的点的坐标，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
根据网格结构找出点、、关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点的位置，然后连接、并根据图象写出点的坐标即可．

22.【答案】证明：，是的高，
，
在和中，
，
≌，
，

是等腰三角形． 

【解析】由、是的高，且，利用的判定方法，即可证得≌，则可得，由等角对等边，即可判定．
此题考查了等腰三角形的判定与全等三角形的判定与性质．此题比较简单．

23.【答案】解：设种树每棵元，种树每棵元，
依题意得：，
解得．
答：种树每棵元，种树每棵元；

设购买种树木为棵，则购买种树木为棵，
则，
解得．
设实际付款总金额是元，则
，即．
，随的增大而增大，
当时，最小．
即当时，元．
答：当购买种树木棵，种树木棵时，所需费用最少，最少为元． 

【解析】设种树每棵元，种树每棵元，根据“购买种树木棵，种树木棵，共需元；购买种树木棵，种树木棵，共需元”列出方程组并解答；
设购买种树木为棵，则购买种树木为棵，根据“购买种树木的数量不少于种树木数量的倍”列出不等式并求得的取值范围，结合实际付款总金额种树的金额种树的金额进行解答．
本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．

24.【答案】         

【解析】解：的图象经过点，
观察图象，不等式的解集是，
故答案为：；
通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为；
的解为两直线交点的横坐标，
方程的解为；
由图象可得，当时，，
不等式的解是，
故答案为：，，；
联立方程组，
解得，
，
当时，，
，
；
由的图象可知，当时，
，
当时，，
关于的不等式组式组的解集为．
故答案为：．
结合图象即可求解；
通过观察图象求解即可；
根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标即可；
通过观察图象求解即可．
本题考查了一次函数与方程组及不等式的关系，理解数形结合思想是解题的关键．

25.【答案】或或或       

【解析】解：把代入，
 得，
解得：，
直线的解析式为：，
，，
，
Ⅰ时，
点在轴负半轴上，点与点关于轴对称，
；
Ⅱ时，
，，
设，则，，
即，
解得，
；
Ⅲ时，
若在负半轴，则；
若在正半轴时，则；
综上所述或或或，
故答案为：或或或；
，
，
设直线的解析式为，
代入点和点的坐标得，，
解得，
直线的解析式为，
为射线上一点，以点为旋转中心将点旋转度得到点，点落在直线上，
是等腰直角三角形，
过点作轴于点，过点作轴于点，

，
，
又，，
≌，
，，
设，，
，，
解得，，
，
故答案为：；
，，，，
即点向右移动个单位，向上平移个单位得到点坐标，
点向右移动个单位，向上平移个单位得到点坐标，
即，
点在直线上，
设，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，
即，
解得，
，
故答案为：；
设，
的面积等于的面积，
，
即，
，
解得，
，
故答案为：．
用待定系数法求出直线的解析式，分情况求出点坐标即可；
先求出直线的解析式，过点作轴于点，过点作轴于点，证≌，，，设，，根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标即可；
先求出点的坐标，设出点的坐标，根据等腰三角形的性质列方程求解即可；
设，根据三角形的面积相等列方程求解即可．
本题主要考查一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．

26.【答案】解：存在最小值．
根据“垂线段最短”可知：当时，为最小．
，
，
过点作于点，如图：

，
，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
在中，，，
，
，
由勾股定理得：，
，，
运动的时间秒，的最小值为；
由可知：，
为的平分线，
，
当点从点出发时，点从点向点与点同时同速运动，
速度每秒个单位长度，时间为秒，
，
当为等腰三角形时，有以下三种情况：
当时，则，如图：

，
，这与三角形的任意一个外角都大于和它不相邻的一个内角相矛盾，此种情况不存在；
当时，则，如图：

，
，
在中，，
，
，
解得：，
当时，则，过点作于点，如图：

，
，
为等腰直角三角形，
设，
在中，，，则，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
即：，
解得：．
综上所述：当为等腰三角形时，的值为或． 

【解析】根据“垂线段最短”可知：当时，为最小．过点作于点，先证，进而可依据“”判定和全等，从而得，，然后再求出，，进而可得出答案；
先求出，，根据为等腰三角形，有以下三种情况：当时，则，故此种情况不存在；当时，则，则，据此得，则，由此即可求出的值；当时，则，过点作于点，先证为等腰直角三角形，设，则，，，由此得，则，再由得，由此即可求出的值，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了图形的旋转变换及性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段的性质，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短时解答此题的关键，难点是分类讨论思想与方程思想在解题中的应用，漏解是解答此题的易错点．