2023届广东省云浮市罗定中学城东学校高三上学期10月调研数学试题含答案

2023届广东省云浮市罗定中学城东学校高三上学期10月调研数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分别求出集合A和集合B，根据补集交集运算法则即可得解.

【详解】，

,，

.

故选：D

2．已知复数，则（    ）

A．2 B． C．4 D．6

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的乘法运算计算可得；

【详解】解：因为，所以，所以，所以

所以．

故选：D

3．已知非零向量，，那么“､的夹角为钝角”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用必要条件､充分条件与充要条件的定义结合向量的数量积判断.

【详解】设非零向量的夹角为，若为钝角，则，所以，故充分；

若，则是钝角或平角，即两个向量的夹角是钝角，或两个向量反向，故不必要；

所以“､的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．武汉疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有（    ）

A．900种 B．1200种 C．1460种 D．1820种

【答案】A

【分析】结合分步计数原理以及全排列和部分平均分组问题即可求出结果.

【详解】解：根据题意，分2步进行分析：

①将3名医生安排到三家医院，有种安排方法，

②将5名护士分为3组，安排到三家医院，有种安排方法，

则有种不同的安排方案，

故选：A.

5．已知，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式化简，根据余弦的二倍角公式化简可得答案.

【详解】∵，

∴，

故选：A.

6．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形

【答案】C

【分析】由平方关系和正弦定理化边为角后，可求得角，从而得三角形形状．

【详解】由题意，

由正弦定理得，

即，

因为是三角形内角，，所以，

，，即，三角形是直角三角形．

故选：C．

7．总体的样本数据的频率分布直方图如图所示.

总体中的数据不超过, 总体中的数据不超过. 则的估计值为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出每一小组的频率，结合体50%的数据不超过a，总体中80%的数据不超过b，即可求出a，b的值．

【详解】由于第一组频率为0.02×4＝0.08，第二组频率为0.08×4＝0.32，第三组频率为0.09×4＝0.36，第四，组组频率为0.03×4＝0.12，

则a＝18+4，

由于0.08+0.32+0.36＝0.76，

则b＝22+4，

故选D．

【点睛】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．

8．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的离心率为，过点，则此双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】用待定系数法求双曲线方程.

【详解】双曲线，由题意可得：

∴双曲线为，即．

故选：A．

二、多选题

9．已知，则下列叙述中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．“”是“”的充分不必要条件

D．命题“，”的否定是“，”

【答案】BC

【解析】利用赋值法可判断选项A；去绝对值后可判断选项B；根据充分条件和必要条件的可判断C；根据含有一个命题的否定可判断D.

【详解】对A，当，时， 不成立，故A错误；

对B，因为，即，所以，所以，故B正确；

对C，当时，，所以，故充分性成立；

当，即或，故不一定成立，故必要性不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；

对D，命题“，”的否定是“，”，故D错误.

故选：BC

10．已知直线是函数的一条对称轴，则（     ）

A．是奇函数

B．是的一个零点

C．在上单调递减

D．与的图象关于直线对称

【答案】BCD

【解析】根据为对称轴，可求得值，进而可得的解析式，逐一检验选项，即可判断A、B、C的正误，作出与的图象，即可判断D的正误，即可得答案.

【详解】依题意可得，，即，

因为，所以，故.

因为，所以是偶函数，故选项A错误；

因为，故选项B正确；

由，，得，，

所以在，上单调递减，

因为，故选项C正确；

作出和的图象，

由图可知，选项D正确.

故选：BCD

【点睛】解题的关键是根据为对称轴，求得的表达式，并根据其范围，求得值，并在同一坐标系中作出与的图象，即可得答案，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.

11．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　

A．

B．数列是等比数列

C．

D．数列是公差为2的等差数列

【答案】ABC

【分析】由，，，，公比为整数．解得，．可得，，进而判断出结论．

【详解】解：，，，，公比为整数．

解得．

，．

，数列是公比为2的等比数列．

．

．数列是公差为的等差数列．

综上可得：只有ABC正确．

故选：ABC．

12．在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（    ）

A．考生竞赛成绩的众数为75分 B．不及格的考生人数为500

C．考生竞赛成绩的平均数为72.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分

【答案】AC

【分析】根据频率分布直方图，逐项分析判断即可得解.

【详解】对A，如图，根据题意得分为75分的频率最大，故频数最大，所以为众数正确；

对B，由低于60分的人数为，故B错误；

对C，平均数为，

故C正确；

对D，低于70分的频率为，所以中位数在70分处取得，故D错误.

故选：AC

三、填空题

13．某高中有1000名高三学生，学生们的数学成绩X服从正态分布，那么数学成绩满足的学生人数大约有              （保留整数）．

参考数据：，

【答案】136

【分析】由题意及相关数据，分析得到为，结合参考数据及正态分布的对称性即得解

【详解】由题意，

且，

故答案为：136

【点睛】本题考查的是正态分布的实际应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属于基础题

14．的展开式中的系数为     .

【答案】4096

【分析】分两种情况讨论解决.

【详解】由题意，的系数的为：.

故答案为：4096.

15．已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为          

【答案】

【分析】利用偶函数关于轴对称，又由在上单调递减，将不等式转化为 ，即可解得的解集．

【详解】 函数是定义域为的偶函数，

可转化为，

又在上单调递减，

，

两边平方得：解得 ，

故的解集为．

故答案为：

16．体积为的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面积为8π的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧面积为               

【答案】

【分析】根据题设可知圆柱体的上下底面是金属球的两个截面，求出圆柱的高，再求其侧面积.

【详解】由球的体积可设球的半径，由题意，可得，

当圆柱的体积最大时，则圆柱的上下底面与球相切，

因为底面积为，设底面半径为，则，所以，

所以圆柱的高为：，

所以圆柱的侧面积为.

故答案为：.

四、解答题

17．在①数列为递增的等比数列，，且是和的等差中项，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．

已知数列的前n项和为，____，，设数列的前n项和为，是否存在实数k，使得恒成立？

【答案】答案见解析.

【分析】选①时，设数列为公比为q，由和等差数列的性质求得和，得通项公式，然后求得，用裂项相消法求得和，可得的值．选①时，利用求得通项公式，然后同选①求解．

【详解】解：若选①时，数列为公比为q的递增的等比数列，，且是和的等差中项，

故，解得，

整理得，

故或（舍去），

所以．

所以．

所以，

当时，使得恒成立，

故k的最小值为1．

若选②时，，

当时，

所以，（首项符合通项），

所以．

所以，

当时，使得恒成立，

故k的最小值为1．

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为的面积，满足．

(1)求角C的大小；

(2)若边长，求的周长的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理代入已知，然后化简可得；

（2）利用正弦定理边化角表示出周长，再由三角函数性质可解.

【详解】（1）因为的面积S满足，

由面积公式和余弦定理得，，

即，得，

又，所以．

（2）因为，，所以由正弦定理得，

则的周长

，

由得，则，

所以，故的周长的取值范围是．

19．如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，D是的中点．

（1）证明：平面．

（2）若，求二面角的余弦值

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1），连接，由三角形的中位线可得，进而可得平面.

（2）故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．平面的法向量为，平面的一个法向量为,进而可得结果.

【详解】（1）记，连接．

由直棱柱的性质可知四边形是矩形，则E为的中点．

因为D是的中点，所以．

因为平面平面，所以平面．

（2）因为底面是等边三角形，D是的中点，所以，

由直棱柱的性质可知平面平面，则平面．

取的中点F，连接，则两两垂直，故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，从而．

设平面的法向量为，

则令，得．

平面的一个法向量为，

则．

设二面角为，由图可知为锐角，则．

20．某农林科技大学培育出某一小麦新品种，为检验该新品种小麦的最佳播种日期，把一块地均分为，两块试验田（假设，两块试验田地质情况一致），10月10日在试验田播种该新品种小麦，10月20日在试验田播种该新品种小麦，小麦收割后，从这两块试验田收获的小麦中各随机抽取了20份（每份1000粒），并测其千粒重（单位：），按照[20，30)，[30，40)，[40，50]进行分组，得到如下表格．其中千粒重不低于的小麦视为饱满，否则为不饱满．

（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关；

（2）从，两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，求抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率；

（3）用样本估计总体，从试验田随机选取50份（每份1000粒）小麦，记饱满的小麦份数为，求数学期望．

参考公式：，其中．

【答案】（1）填表见解析；有；（2）；（3）．

【分析】（1）根据题意，完成列联表，计算，进而得答案；

（2）根据题意从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，进而根据独立事件的概率计算即可；

（3）根据题意，，进而根据公式计算即可.

【详解】（1）补全的列联表如下：

由表中的数据可得，

由于，

所以有95%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关．

（2）解法一：由（1）可得，从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，

从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，

所以从，两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率．

解法二：由（1）可得，从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，

从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，

所以从，两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，抽取的2份小麦中没有饱满小麦的概率，

故所求概率．

（3）因为从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，

所以，

故．

【点睛】本题主要考查独立性检验，相互独立事件的概率等，考查考生的运算求解能力、数学建模能力．试题引导考生运用数学方法整理数据、提取信息、构建模型、合理推断、获得结论，培养了理性思维、数学应用，数学探索学科素养．

（1）解决独立性检验问题的一般步骤：①假设两个分类变量与没有关系；②计算出的观测值；

③把的观测值与临界值比较，进行合理判断（2）填写列联表时注意事件的对应，不可混淆．在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的差错率，对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误．

21．已知椭圆()的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆交于A，两点，点的坐标为，且，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由离心率可得，将代入椭圆可求得，得出椭圆方程；

（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理即可求得.

【详解】（1）椭圆的离心率，，则，

点在椭圆上，，

解得，则，

椭圆的方程为.

（2）设.

联立，得.

，即，

，，

，

，

整理得，解得，满足，故.

【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为，；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．

【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.

【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.

【详解】（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即；

（2）因为，则，

由题意可得，解得，

故，，列表如下：

所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.

当时，；当时，.

所以，，.