2023届广东省梅州市五华县高三上学期12月质检数学试题含答案

2023届广东省梅州市五华县高三上学期12月质检数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】写出，，根据补集含义得出答案.

【详解】由题意得，，.

故选：C.

2．复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【分析】将复数化简为一般形式，即可判断虚部.

【详解】，虚部为.

故选：C.

3．已知，，，那么下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若且，则 D．若且，则

【答案】C

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.

【详解】A选项，，所以A选项错误.

B选项，，所以B选项错误.

C选项，，且，

所以，

所以C选项正确.

D选项，满足“且”，但，

所以D选项错误.

故选：C

4．已知是等差数列的前项和， 若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用等差数列前项和的公式展开，结合等差数列的性质，整体代入即可得到..

【详解】因为数列为等差数列，，解得.

故选：B

5．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，E为的重心，若，，，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】连接AE并延长交CD于点F，则F为CD的中点，利用向量的加减运算得答案

【详解】连接AE并延长交CD于点F，

因为E为的重心，则F为CD的中点，且

.

故选：B．

6．贴近自然，氛围轻松的露营正成为当下大众休闲的新方式，这使得国内露营经济市场规模迅速增长下图是年年国内露营经济市场规模及同比增长率其中年年为预测数据，根据该图，下列结论错误的是（    ）

A．年年国内露营经济市场规模逐年增长率均超过

B．年年国内露营经济市场规模增加最大的是年

C．根据预测数据年国内露营经济市场规模是年国内露营经济市场规模的倍以上

D．年年国内露营经济市场规模的中位数是亿元

【答案】B

【分析】利用条形统计图和折线统计图结合数据即可判断.

【详解】由图表中的数据可知，A选项正确；

2018年国内露营经济市场规模比上一年增长多亿元，而年国内露营经济市场规模比上一年增长多亿元，B选项错误；

根据预测数据年国内露营经济市场规模是亿元，年国内露营经济市场规模是亿元，C选项正确；

2014年年国内露营经济市场规模的中位数是，D选项正确

故选：B.

7．成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法，求解元一次方程组大约需要对实系数进行（为给定常数）次计算.1949年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”（该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖），利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时.事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于（    ）

A．机时 B．机时 C．机时 D．机时

【答案】C

【分析】设1机时能进行a次计算，由题意得,设所需机时为t，得出,两式相比,可得,化间计算可得答案.

【详解】设1机时能进行a次计算，则由题意得，

原始模型包含500个未知数，如果不进行化简，设所需机时为t，

则,故 ,

故结果最接近于机时,

故选:C

8．已知函数，，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得的值域与 的值域有交集即可，先求导分析的值域，再求导分情况讨论的单调性与值域，结合解集区间的端点关系列式求解即可

【详解】①当时，，则在上恒成立，

所以函数在区间上单调递减，则，即，

②当时，，函数在区间上单调递增，

所以，即，

综上，函数f（x）的值域为；

由题意，的值域与的值域有交集，故分析的值域.

又，，

若时，则，函数在上单调递增，所以，即，

此时若要满足题意，只需，当时恒成立；

当时，令，解得，，.

当时，，故函数在上单调递增，故，所以，所以，解得，

当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增；因为，，

故若值域满足与有交集，则只能，解得，此时

当时，，在上单调递减，所以，，此时，不满足题意

综上，实数a的取值范围为

故选：C．

二、多选题

9．设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则（    ）

A．在上单调递增

B．

C．不等式的解集为

D．的图象与轴只有3个交点

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质逐项分析判断作答.

【详解】函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，

函数在上单调递减，A错误；

由，得，则，B正确；

当时，，则，当时，，则，

因此不等式的解集为，C正确；

当时，函数的图象交x轴于点，当时，函数的图象交x轴于点，

而，则点是函数的图象与x轴的公共点，所以的图象与轴只有3个交点，D正确.

故选：BCD

10．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（    ）

A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或

C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则

【答案】BC

【分析】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可

【详解】若为椭圆，则 ，且 ，故A错误

若为双曲线，则 ， ，故B正确

若为圆，则 ， ，故C正确

若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误

故选：BC

11．已知函数的图象的一条对称轴为，其中为常数，且，则以下结论正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称

C．函数在区间上单调递增

D．函数在区间上有67个零点

【答案】ACD

【分析】由对称轴为，且求出函数解析式，再用三角函数图象与性质分别求解即可得答案.

【详解】由函数的图象的一条对称轴为，

得，因为，

所以，则，所以周期，A项正确；

将函数的图象向左平移，

得，

显然的图象不关于原点对称，B项错误；

由，取，得，

即，是函数的一个单调递增区间，又，

所以函数在区间上单调递增，C项正确；

由，得，解得，由，得，因为，所以，所以函数在区间上有67个零点，D项正确.

故选：ACD.

12．如图，在三棱锥中，平面为垂足点，为中点，则下列结论正确的是（    ）

A．若的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值

B．若的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值

C．若的长为定值，则的长也为定值

D．若的长为定值，则的值也为定值

【答案】BCD

【分析】根据线面之间的垂直关系可推出的中点O即为三棱锥外接球球心，则可得半径与的关系，由此可判断B；结合B的分析，说明的长为定值时，半径不一定为定值，判断A；结合B的分析，利用线面垂直关系推得，判断C；根据向量的线性运算，将化简为，结合线面以及线线的垂直关系，可得该结果为，判断D.

【详解】取的中点O，∵平面平面，∴ ，

∴,∵平面，平面，∴，

∵平面，∴平面，

平面，∴，

∴ ，则， ∴O为外接球的球心，是直径，

该三棱锥外接球的半径为，故B正确；

由以上分析可知， ,当的长为定值时,长是可变化的，不能推得为定值，

故的长为定值时，则该三棱锥外接球的半径不一定为定值，A错误；

由B的分析可知平面平面,故 ，又 ，

平面 ，∴平面 ，平面，

∴ ，∴ ，若的长为定值，则的长也为定值，故C正确；

由以上分析可知，，故，,

由于为中点，故

，

故的长为定值，则的值也为定值，D正确；

故选：

【点睛】思路点睛：（1）判断三棱锥的外接球半径是否为是定值，要根据条件推得外接球半径和所给定值之间的关系，才可以判断是否为定值；

（2）判断是否为定值，要根据向量的线性运算，将数量积转化为所给定值即的模来表示，即可判断其是否为定值.

三、填空题

13．已知，则           .

【答案】/

【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，解得即可；

【详解】解：因为，所以，解得；

故答案为：

14．函数的零点有           个．

【答案】2

【分析】根据给定条件，解方程求出零点作答.

【详解】由，得，即，解得或，

所以函数的零点有2个.

故答案为：2

15．某班将5名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好分配2名同学共有            种不同的方法．

【答案】

【分析】由题意，根据分组分配的做题原理，可得答案.

【详解】由题意，分2步分析：

①先5人中选出2人，安排到甲社区，有种方法，

②将剩下3人分成2组，安排到乙、丙社区，有种方法，

则有种安排方式.

故答案为：.

16．设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则C的方程为           .

【答案】或.

【分析】先由抛物线的定义得到点M的横坐标，进而得到圆心的横坐标为，结合其半径也为，得到圆与y轴的切点为，从而得到圆心为，进而得到点M的坐标，代入抛物线方程求解.

【详解】解：由题意得，设，

则由抛物线的定义得，

则，所以圆心的横坐标为，其半径也为，

所以圆与y轴相切，

又因为以MF为直径的圆过点，

所以切点为，

所以圆心为，则，

又因为点M在抛物线上，

所以，即，

解得或，

所以抛物线方程为：或.

故答案为：或.

四、解答题

17．已知△ABC中，分别为内角的对边，且.

(1)求角的大小；

(2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案

（2）先利用三角形的面积关系解出 ，再根据三角形面积公式计算答案即可

【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，..

由余弦定理得，

又，所以

（2） 是的角平分线，，

由可得

因为，，即有，，

故

18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，点M，N分别为棱PB，DC的中点.

(1)求证：平面PCD；

(2)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）利用线面平行判定定理，结合中位线定理以及平行四边形的性质，可得答案；

（2）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案.

【详解】（1）取的中点，连接，如下图：

在中，分别为的中点，则，

，，即，

平面，平面，平面.

（2）由题意，易知两两垂直，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，

由分别为的中点，则，，

取，

在平面内，取，，

设平面的法向量，

则，即，令，则，

故平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，

则.

19．记数列的前项和为，已知，.

(1)求的通项公式；

(2)若，数列的前项和为，，数列中的最大项是第项，求正整数的值.

【答案】(1)

(2)2

【分析】(1)已知与的关系，则用即可得到通项公式.

(2)的前项和为可用错位相减法求得，将求得结果代入，通过判断数列的后一项与前一项的大小关系得到中的最大项.

【详解】（1）（1）当时，，解得；

当时，由①，

得②，

①-②，得，

即.

又，所以，

所以是首项为1，公差为2的等差数列，

所以.

当时，符合.

所以的通项公式为

（2）由（1）得，

所以③，

④，

③-④，得

，

所以，

所以，

所以.

令，得.又，所以.

当时，可得，此时数列单调递减.

故数列中的最大项为第2项，即.

20．2022世界乒乓球团体锦标赛已于2022年9月30日至10月9日在成都举行.近年来，乒乓球运动早已成为我国民众喜爱的运动之一.某次友谊赛，甲、乙两位选手进行比赛，比赛采用5局3胜制，若结果是3：0或3：1，则胜者得3分，负者得0分﹔若结果是3：2，则胜者得2分，负者得1分.根据以往经验，甲乙在一局比赛获胜的概率分别为，，且每局比赛结果相互独立

(1)设甲所得积分为，求的分布列及数学期望；

(2)由于某种原因，比赛规则改为未满5局已领先2局者获胜﹔若打满5局，仍然没有领先2局者，比赛结束，领先者也获胜，求甲获胜的概率.

【答案】(1)分布列见解析，

(2)

【分析】（1）甲的得分有可能为0，1，2，3，分别计算四种分数的概率画出分布列，再根据分布列求出数学期望；

（2）甲赢的情况有三种，分别为：连赢2局，四局赢3局，以及五局赢三局，分别求出每种情况的概率相加即可.

【详解】（1）X的所有可能取值为0，1，2，3

，

，

，

，

∴的分布列如下：

∴.

（2）甲获胜的情形分为甲连赢两局，甲乙甲甲（甲赢3局，乙赢1局）

甲乙甲乙甲（甲赢3局，乙赢2局）

∴甲获胜的概率.

21．已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切．

(1)求双曲线的方程；

(2)已知点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，定值为1，

【分析】(1)利用点到直线的距离公式求得的只，再根据焦距，求得即可求解；

(2)假设存在满足条件的点，先在直线垂直于轴时，求得定值，再结合根与系数的关系，分析验证直线不垂直于轴时，求得此定值的情况，从而得出结论.

【详解】（1）原点到直线的距离，

，，

双曲线的方程为；

（2）假设存在点满足条件，

①当直线方程为时，则，

；

②当直线方程不是时，可设直线，代入

整理得，

由得，

设方程的两个根为，，满足，

，

当且仅当时，为定值1，

解得，

不满足对任意，，不合题意，舍去．

而且满足；

综上得：过定点任意作一条直线交双曲线于，两点，

使为定值1．

22．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）利用导数分情况讨论函数的单调性；

（2）分离参数，构造函数，根据导数判断单调性及最值情况，进而可得参数范围.

【详解】（1）由，得

当时，，则在上单调递增

当时，由，得；由，得，

则在上单调递增，在上单调递减

（2）由恒成立得对任意恒成立

令，则

令，易知在上单调递增

，，存在，使得

当时，，；

当时，，

在上单调递减，在上单调递增

，

令，显然在单调递增，，即

，，

故的取值范围是.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．