2024届河南省郑州外国语学校高三上学期第一次调研考试数学试题含答案

2024届河南省郑州外国语学校高三上学期第一次调研考试数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由补集的定义可得出集合.

【详解】因为全集，集合，则.

故选：C.

2．“”是“，”的（    ）

A．充分必要条件 B．充分条件

C．必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】解方程，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】因为，

因此，“”是“，”的充分必要条件.

故选：A.

3．若复数z满足，则复数z的虚部为（    ）

A．i B．－i C．1 D．－1

【答案】C

【分析】利用复数四则运算法则计算得到，求出虚部.

【详解】因为，所以，

故，复数z的虚部为1.

故选：C

4．如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数与单位圆的关系，结合周期以及初相的定义以及几何意义，根据“距离”，利用排除法，可得答案.

【详解】由题意可知，函数的周期，初相为，则，

因为表示距离，为非负数，所以BD选项错误；

点的初始位置为，即，此时距离轴的距离为1，

而在运动的过程中距离最大值为2，则，

所以C选项符合，A选项不符合.

故选：C.

5．下列说法正确的是

A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α

B．若直线a在平面α外，则a∥α

C．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α

D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于α内的无数条直线

【答案】D

【分析】结合线面平行的判定定理，逐个分析即可．

【详解】选项A中，直线l⊂α时也可以满足条件，但l不平行于α，所以选项A错误；直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，所以选项B错误；选项C中缺少直线a不在平面α内这一条件，不能证明a∥α；选项D正确．

【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，属于基础题．

6．已知命题p：，命题q：直线与抛物线有两个公共点，则p是q的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由题意，联立方程求解，根据一元二次方程的求解公式，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案.

【详解】由题意，联立可得，消去整理可得：，

则恒成立，则直线与抛物线必定有两个交点，

则显然成立，不成立，

故选：A.

7．流行性感冒，简称流感，是流感病毒引起的一种急性呼吸道疾病.已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（    ）

A．0.65 B．0.45 C．0.35 D．0.2

【答案】C

【分析】根据条件概率与全概率公式求解.

【详解】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”，

由题意可知，

，

则0.065，

故.

故选：C.

8．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ）

A． B． C．7 D．

【答案】B

【分析】设t为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案.

【详解】设t为在上的零点，则，

所以，即点在直线，

又表示点到原点距离的平方，

则，即，

令，可得，

因为，

所以，

可得在上为单调递增函数，

所以当t=0是，，

所以，即的最小值为.

故选：B

【点睛】解题的关键是根据的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数求解，分析、计算难度大，属难题.

二、多选题

9．设随机变量的分布列如表：

则下列说法正确的是（    ）

A．当为等差数列时，

B．数列的通项公式可能为

C．当数列满足时，

D．当数列满足时，

【答案】BD

【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，结合数列的特性逐项分析判断作答.

【详解】对于A，由为等差数列，得前2021项和，则有，A错误；

对于B，若数列的通项公式为，

则前2021项和，B正确；

对于C，依题意，数列前2021项和，则有，C错误；

对于D，令，则，，

因此当时，，D正确.

故选：BD

10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形，下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．在上的投影向量为

【答案】CD

【分析】对A，由与为相反向量可判断；对B，证明即得解；对C，求出即得解；对D，作出在上的投影向量，然后结合图形计算可得.

【详解】对A，，显然由图可得与为相反向量，故A错误；

对B，由图易得，直线平分，

且为正三角形，根据平行四边形法则有与共线且同方向，

易知均为含的直角三角形，故，

则，而，故，故，故B错误；

对C，，

 ，则，

又，， ，

，故C正确；

对D，连接，作垂直于AB所在直线，垂足为G，记，

同C可知，所以在上的投影向量为，

易知在中，，

所以，所以，故，故D正确.

故选：CD.

11．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．在上为减函数

C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有3个实数解

【答案】CD

【分析】利用奇偶函数的定义分析、探讨函数的性质，并判断选项ABC；作出函数的部分图象，数形结合判断D作答.

【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得，即，

由为偶函数，得，即，则，

即，于是，函数是周期为的周期函数，

当时，，

对于A，，A错误；

对于B，函数在上单调递增，由，知函数图象关于点对称，

则函数在上单调递增，即有函数在上单调递增，因此在上单调递增，B错误；

对于C，由及，得，即，

因此函数图象关于点对称，C正确；

对于D，当时，，由函数图象关于点对称，

知当时，，则当时，，

由，知函数图象关于直线对称，则当时，，

于是当时，，而函数的周期是，因此函数在R上的值域为，

方程，即，因此的根即为函数与图象交点的横坐标，

在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，

观察图象知，函数与图象在上有且只有3个公共点，

而当时，，即函数与图象在无公共点，

所以方程仅有3个实数解，D正确.

故选：CD

【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，

(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.

(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.

12．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，下列说法中正确的是（    ）

A．平面 B．平面

C．与所成角为 D．

【答案】AD

【分析】利用中位线定理以及线面平行判定判断A；利用与不垂直判断B；利用平行线的传递性与异面直线所成角判断C；利用线面垂直的性质定理判断D.

【详解】对于A：如图，连接，，

在正方形中，为的中点，故也为的中点，

在中，分别为的中点，，

又平面，平面，平面，故A正确；

对于B：连接，如图，

，，

，与不垂直，即与不垂直，

则不垂直平面，故B错误；

对于C：，，与所成角为，故C错误；

对于D：平面，，，故D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．设为等比数列的前n项和，已知，，若存在，使得成立，则m的最小值为   ．

【答案】9

【分析】先求出首项和公比，从而得到通项公式及求和公式，然后利用基本不等式求出最小值，从而求出m的最小值.

【详解】设的公比为q，由可知，所以，

由得：，所以，

则，所以，，

由题意知存在，使得成立，

当且仅当，即时取得等号，所以，

故m的最小值为9

故答案为：9

14．的展开式中的系数为   ．（用数字作答）

【答案】

【分析】根据的产生方式即可得到答案.

【详解】的展开式中可看作：

，，，中取3次，取1次常数相乘得到，

展开式中的系数为，

故答案为：．

15．经过直线上的点作圆的两条切线，切点分别为，，当取最大值时，直线的方程为      .

【答案】.

【分析】先判断出时最大，再求出过且以为直径的圆的方程，和已知圆的方程联立可得答案.

【详解】如图

圆心为，半径，，

所以当最大时，最大，

在中， ，，所以当最小时最大，

即此时，所以，得，

所以直线，由得，即，

所以在以为直径的圆上，且圆心为半径为，

圆的方程为，

由得.

故答案为：.

【点睛】本题考查了直线和圆、圆和圆的位置关系，解题的关键点是判断出时最大，考查了学生分析问题、解决问题的能力.

16．若不等式对任意成立，则实数的最小值为          ．

【答案】

【分析】将不等式变形为对任意成立，构造函数，求导得单调性，进而问题进一步转化为成立，构造，即可由导数求最值求解.

【详解】因为对任意成立，

不等式可变形为:，即，

即对任意成立，

记，则，所以在上单调递增，

则可写为，

根据单调性可知，只需对任意成立即可，

即成立，记，即只需，

因为，故在上，，单调递增，

在上，，单调递减，所以，

所以只需即可，解得.

故答案为:

【点睛】方法点睛：利用导数求解不等式恒成立或者存在类问题：

1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

四、解答题

17．如图，三角形的内角，，所对的边分别为，，，．

(1)求．

(2)若，，，求的长．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用正弦定理统一成角的形式，然后化简可求得答案，

（2）利用余弦定理求解即可.

【详解】（1）在中，因为，

所以由正弦定理得，

因为，所以，得，

因为，所以,

（2）因为，，所以，

在中，，，

所以由余弦定理得，

，

得，解得或

18．某农业兴趣小组针对两种肥料的作用进行对比试验，经过一季的试验后，对“使用肥料A”和“使用肥料B”的220株植物的生长情况进行研究，按照植株的高度大于或等于60厘米为“高株”，60厘米以下为“矮株”统计，得到如下的列联表：

(1)根据上面的列联表判断，依据的独立性检验，能否认为“使用哪种肥料与植株高度”有关；

(2)为了进一步研究，从这批植物高株中用分层抽样的方法抽出6株，再从这6株中抽出3株，求抽到“使用肥料A”植物的株数X的分布列和数学期望.

附：.

【答案】(1)不能认为“使用哪种肥料与植株高度”有关；

(2)分布列见解析，期望为1.

【分析】（1）计算出，与10.828比较就可以得结论，

（2）先分层抽样从这批植物高株中抽出6株，由题意得“使用肥料”和“使用肥料”应抽取2株、4株，抽到“使用肥料”植物的株数可能值为：0,1,2分别求出概率，列出分布列，即可求得数学期望

【详解】（1）由，

因为，所以依据的独立性检验，不能认为“使用哪种肥料与植株高度”有关；.

（2）要从这批植物高株中用分层抽样的方法抽出6株，则“使用肥料”和“使用肥料”的应分别抽取2株、4株，

从这6株中抽出3株，抽到“使用肥料”植物的株数可能值为，

所以，，，

所以的分布列为：

所以的数学期望为：.

19．已知数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，，.

(1)求，；

(2)若数列满足，求数列的前n项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用求得，通过计算的首项和公比，由此求得.

（2）结合错位相减法、分组求和法求得.

【详解】（1）当时，，又，满足，∴.

，，

设等比数列的公比为，则，由于，

所以解得，，.

∴.

（2）由（1），得.

令，的前n项和为，则.

，

∴，

∴.

令，是等差数列，的前n项和为，则，

∴.

20．如图，在三棱锥中，，，，，二面角为钝角，三棱锥的体积为.

(1)求二面角的大小；

(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）作出二面角的平面角，结合三棱锥的体积求得二面角的大小.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AP与平面PBC所成角的正弦值.

【详解】（1）如图，取AC的中点O，AB的中点D，连接OD，

过点P作DO的延长线的垂线，垂足为H.

∵，，，，

∴和都为等腰直角三角形，，，

∵，，∴OD为的中位线，

∴，，

∵，，∴，

∵，∴，

∵，，，OD，平面ODP，

∴平面ODP，

∵平面ODP，平面ODP，∴，

∵，，，OH，平面ABC，

∴平面ABC，

∵，平面ABC，三棱锥的体积为，

∴，∴.

∵，∴，

∴为等腰直角三角形，可得，，

∵，，∴为二面角的平面角，

∴二面角的大小为；

（2）由（1）可知，平面ABC，

以OA，OD和过点O作HP的平行线的方向分别为x，y，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，，

∴，，，

设平面PBC的法向量为，则，

即，令，则，，∴，

∴，，，

则，

∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为.

21．已知椭圆C：的离心率，短轴长为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知经过定点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线相交于点Q，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）由已知结合椭圆的性质可求a，b，进而可求椭圆方程；

（2）先对直线l的斜率是否存在分类讨论，然后联立直线l与已知椭圆方程，结合方程的根与系数关系及向量的线性坐标表示可求．

【详解】（1）由题意得，

解得，，

故椭圆C的方程为；

（2）当直线l的斜率不存在时，，，，,

则，，，，

此时，，；

当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为，

联立可得，

设，，

联立可得，

则，，

因为，，

所以，，

所以，

【点睛】圆锥曲线中的范围或最值以及定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用

22．已知函数．

(1)若a＝1，求函数的单调区间及在x＝1处的切线方程；

(2)设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)的减区间为，增区间为；切线方程为.

(2)

【分析】（1）将a＝1代入函数中，求出函数的导数，判断导数的正负，可得函数的单调区间；根据导数的几何意义求得切线方程；

（2）化简，利用导数求出，分类讨论，分别求出，令求解即可.

【详解】（1）当时，

由，有，

由有，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的减区间为，增区间为；

又，所以切点为，

切线斜率，

所以切线方程，

即切线方程为.

（2），

，

设，

则

∵，∴，

在上单调递增，

，

①当，即时，

，

在上单调递增，

则，

∴，

故．

②当，即时，

，

，，

即，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

则

，

∴，

∴．

由，

令函数，且，

，

在上单调递增，，

∵，

∴．

综上，实数a的取值范围是：．

【点睛】导数题常作为压轴题出现，常见的考法：

①利用导数研究含参函数的单调性（或求单调区间），

②求极值或最值

③求切线方程

④通过切线方程求原函数的解析式

⑤不等式恒（能）成立问题，求参数的取值范围

⑥证明不等式

⑦已知函数的零点个数求参数的取值范围

解决问题思路：对函数求导利用函数的单调性进行求解；构造新函数对新函数，然后利用函数导数性质解决.