2023届黑龙江省佳木斯市第八中学高三上学期11月第二次调研数学试题含答案

2023届黑龙江省佳木斯市第八中学高三上学期11月第二次调研数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合，再根据并集运算的定义求解即可．

【详解】解：∵，

，

∴，

故选：D．

【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．

2．已知i是虚数单位，则复数的虚部为（　　）

A．-1 B．-2 C．4 D．2

【答案】B

【分析】先利用复数的除法运算，化简题目所给复数，然后得出虚部.

【详解】依题意得，故虚部为.故选B.

【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的实部与虚部的概念的理解，属于基础题.

3．已知向量，若，则k=( 　   )

A． B． C．6 D．

【答案】C

【分析】利用两个向量平行的坐标表示，列方程，解方程可求得的值.

【详解】由于两个向量平行，故，解得，故选C.

【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.两个向量，如果两个向量平行，则满足，或者.如果两个向量垂直，则满足，或者.解题时只要根据题目所给的条件，使用对应的表达式，即可求解出所要的结果.

4．已知，则向量与的夹角是（ 　 ）

A．150 B．120 C．60 D．30

【答案】A

【分析】将两边平方后求得的值，然后利用向量夹角公式求得两个向量的夹角.

【详解】依题意，由两边平方得，故，所以两个向量的夹角的余弦值为，故夹角为.所以选A.

【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查向量模的运算，考查两个向量的夹角公式，属于基础题.

5．数列中，，则（　　）

A．2 B．－1 C． D．－2

【答案】A

【分析】求出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得的值.

【详解】依题意，，，……依次类推，数列是周期为的周期数列，故.故选A.

【点睛】本小题主要考查数列的周期性，考查利用递推数列求得数列的每一项，属于基础题.

6．函数的部分图像是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性和函数值在某个区间上的符号，对选项进行排除，由此得出正确选项.

【详解】∵是奇函数，其图像关于原点对称，∴排除A,C项；当时，，∴排除B项.

故选D.

【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的单调性，属于基础题.

7．若 ，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】.

分子分母同时除以，即得：.

故选D.

8．函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的图象关于直线对称

C．函数在单调递减

D．该图象向右平移个单位可得的图象

【答案】C

【分析】先根据函数图象求出解析式，A选项，计算出，A正确；B选项，，B正确；C选项，求出，整体法得到函数在此区间上不单调；D选项，根据左加右减求出平移后的解析式.

【详解】因为，由图象可知，

设的最小正周期为，由图象可知，解得，

因为，所以，解得，

故，将代入解析式，可得，

故，解得，

因为，所以，

故，

A选项，当时，，故函数的图象关于点对称，A正确；

B选项，当时，，故函数的图象关于直线对称，B正确；

C选项，时，，因为在不单调，

故函数在不单调递减，C错误；

D选项，的图象向右平移个单位可得，D正确.

故选：C

9．已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（    ）

A．为递增数列 B．当且仅当时，有最大值

C．不等式的解集为 D．不等式的解集为无限集

【答案】C

【分析】利用可求得，结合等差数列通项公式可得；由此可求得；根据的二次函数性和的一次函数性依次判断各个选项即可.

【详解】由得：，，即；

设等差数列的公差为，则，解得：，

对于A，，为递减数列，A错误；

对于B，，

，当或时，取得最大值，B错误；

对于C，由得：，，，C正确；

对于D，，由得：，

则不等式的解集为，为有限集，D错误.

故选：C.

10．在△ABC中，若，则△ABC的形状是

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰且直角三角形 D．等边三角形

【答案】D

【分析】利用正弦定理化简第一个条件，利用两角和的正切公式化简第二个条件，结合两个条件判断出三角形的形状.

【详解】由正弦定理得，即，即，故.由，故，所以，故，由此判断三角形为等边三角形，故选D.

【点睛】本小题主要考查利用正弦定理以及两角和的正切公式判断三角形的形状，属于基础题.

11．《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可知，数列是以为公差的等差数列，然后结合等差数列的求和公式可求，然后代入可求．

【详解】解：由题意可知，数列是以为公差的等差数列，

因为，

解可得，，

所以，

则，

所以这位公公最年幼的儿子的岁数为11岁.

故选：B．

12．定义在R上函数满足，当时，函数为增函数，且，若对任意实数x,都有 恒成立，则m的取值范围是

A．［-3,0］ B．[0,1] C．［-1,3］ D．［-3,1］

【答案】D

【分析】先根据求得函数的对称轴，再根据函数的单调区间和的值求得的最小值，解不等式求得的取值范围.

【详解】由于故函数的对称轴为.由于时，函数为增函数，且，故函数在时为减函数，且.所以，故不等式恒成立，等价于，即解得.故选D.

【点睛】本小题主要考查函数的对称性，考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解方法.属于中档题.形如，或的条件，说明的都是函数图像关于对称.形如，或的条件，说明的是函数是周期为的周期函数.

二、填空题

13．若角的终边过点，则           .

【答案】

【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，求得的值．

【详解】角的终边过点，则，

故答案为：．

14．等差数列中，前n项和是，         

【答案】24

【分析】将题目所个两个已知条件转化为的形式，解方程求得的值，由此求得的值.

【详解】由于数列为等差数列，故，解得，故.

【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.

15．已知向量，（，），若，则的最小值为      .

【答案】

【解析】根据，然后可得，然后使用基本不等式简单计算可得结果.

【详解】由，所以，即

当且仅当，即时，取等号

所以的最小值为：

故答案为：

【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及基本不等式的应用，考查计算,属基础题.

三、双空题

16．若数列{}的前n项和为，则=       ，         .

【答案】     8    

【分析】由，分别令，可求得，；当时，，当时，，可得解.

【详解】由，分别令，可求得，，；

当时，，当时，

，.

故答案为：8；

四、解答题

17．已知向量.

(1)求与向量的同向单位向量；

(2)若为钝角，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)且

【分析】（1）根据单位向量的知识求得.

（2）根据为钝角列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1）与向量的同向单位向量.

（2）由于为钝角，

所以，

解得且.

18．已知函数.

（1）求的最小正周期和对称轴方程；

（2）将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象.当时，求的值域.

【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为，  （2）

【解析】（1）利用三角恒等变换将函数转化为标准型正弦函数，再求该函数性质；

（2）先求的解析式，之后再求值域即可.

【详解】（1）

，

因此的最小正周期为.

由得

对称轴方程为，.

（2）由条件可知.

当时，有，

从而，

故在区间上的值域是.

【点睛】本题考查利用三角恒等变换，化简三角函数为标准型，再求解函数周期、值域的问题，涉及三角函数的图像变换，属综合基础题.

19．已知是公差为的等差数列，其前项和是，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和；

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题设有求、，写出的通项公式；

（2）应用裂项相消法，求的前项和即可.

【详解】（1）由题意，，解得，

∴.

（2）由，

∴.

20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.

(1)求A；

(2)若a=2，的面积为，求b，c的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用以及两角和的正弦公式代入计算即可；

（2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，然后解方程组即可.

【详解】（1）由及正弦定理得

.

因为，

所以.

由于，

所以.

又，故.

（2）由题得的面积，故①.

而，且，故②，

由①②得.

21．等比数列的各项均为正数，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；

（2）利用错位相减法进行求解即可.

【详解】解：（1）设数列的公比为，

则，由

得：，所以.

由，得到

所以数列的通项公式为.

（2）由条件知，

又

将以上两式相减得

所以.

22．已知函数，其中，

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）如果对于任意，都有，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）当时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求函数的图象在点处的切线方程；

（2）对于任意，都有，等价于恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可

【详解】(1)解：当时，由已知得，故，

所以，又因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即；

（2）解：由，得，又，

故．

设函数，

则．

因为，所以，，

所以当时，，

故函数在上单调递增．

所以当时，．

因为对于任意，都有成立，

所以对于任意，都有成立．所以．

【点睛】此题考查导数的应用，考查导数的几何意义以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解此题的关键，属于中档题