2024届安徽省高三上学期8月摸底大联考数学试题含答案

2024届安徽省高三上学期8月摸底大联考数学试题

一、单选题

1．复数满足，则的共轭复数虚部为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】利用复数的乘法、除法运算求出复数，再利用共轭复数的意义求解作答.

【详解】依题意，，则，

所以的共轭复数虚部为1.

故选：C

2．已知集合，则集合的真子集个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】求出后，由真子集的定义可得．

【详解】集合中元素满足，即该数为大于1的奇数，

而集合中大于1的奇数只有3和9.

所以，

的真子集有3个，分别是：，，.

故选：C.

3．2023年7月28日第31届成都大学生运动会在成都隆重开幕，将5名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

【答案】C

【分析】将5名志愿者分成4组，再分配到4个项目作答.

【详解】依题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，

将5名志愿者按分成4组，有种分法，将分得的4组安排到4个项目，有种方法，

所以不同的分配方案共有.

故选：C

4．已知函数的最大值为，最小值为，则（    ）

A．6 B．3 C．0 D．

【答案】A

【分析】令，则函数是定义域上的奇函数；由的最大值与最小值，得出的最大值与最小值，由此求出的值．

【详解】令，则

所以是定义域上的奇函数，因此.

又的最大值为，最小值为，

的最大值是，最小值是；

，

则．

故选：A.

5．已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为，

因此直线的倾斜角的正切值为，即，

所以有，

设，由双曲线定义可知：，

由余弦定理可知：，

故选：B

6．已知向量，函数. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，利用向量数量积运算将的解析式化简得，函数恰有两个零点，即恰有两个根，可数形结合转化为与图像有两个交点，即可得解.

【详解】，

由可得

，令，则，

令，其中，

则直线与函数在上的图象有两个交点，

且，如下图所示：

由图可知，当时，即当时，直线与函数在上的图象有两个交点，

此时函数在上有两个零点，故实数的取值范围是.

故选：A.

7．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列，如果，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得，然后等比数列的前项和公式求得，进而求得正确答案.

【详解】依题意，，

，，

依题意，

即，

则，

（由于，所以），

则，

两边取对数得，即，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.

所以，所以.

故选：A

8．已知函数，若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.

【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，

可得，

即，

构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，

所以，，可得，则，

即，其中，令，其中，

则，当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，解得.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，结合不等式的结果构造函数，转化为函数的单调性以及参变量分离法求解.

二、多选题

9．“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其分布密度函数，，则（    ）

A．该地杂交水稻的平均株高为100cm

B．该地杂交水稻株高的方差为10

C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多

D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大

【答案】AC

【分析】由正态分布密度函数可知，，则可判断出AB选项，再由正态曲线的特征即可判断出CD选项.

【详解】因为正态分布密度函数为，

所以，，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；

根据正态曲线的特征可知函数关于轴对称，所以该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多，故C正确，

随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大.故D错误．

故选：AC.

10．下列说法中正确的是（    ）

A．在中，，则

B．已知，则

C．已知与的夹角为钝角，则的取值范围是

D．若，则三点共线

【答案】BD

【分析】A项，求出与的夹角，即可求出的值；B项，求出，即可求出的值；C项，写出的表达式，利用两向量夹角为钝角，就可求出的取值范围；D项，求出的表达式，得出与的关系，即可证明三点共线.

【详解】由题意，

对于A，

∵，

∴与的夹角为，

∴，

故A错误；

对于B，

∵，

∴，

∴，

故B正确；

对于C，

∵与的夹角为钝角，

∴与的数量积小于0且不平行，即且，

∴，

故C错误；

对于D，

∴，

∴共线，

∵它们有公共点，

∴三点共线. 故D正确.

故选：BD.

11．已知抛物线的焦点为是抛物线上的两点，则下列说法中正确的是：（      ）

A．若线段的中点为，则直线的方程为

B．若线段过焦点，且，则直线的斜率为

C．已知为抛物线上在第一象限内的一个动点，，若，则直线的斜率为

D．抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值为

【答案】ABD

【分析】对于选项A，当直线的斜率不存在时，线段的中点在轴上，不合题意. 当直线的斜率存在时，由点差法可得，由此可得直线的斜率，进而可判断A正确.

对于选项B，，直线的斜率一定存在，设出直线的方程与抛物线联立，可得，再由抛物线的定义可得，可求出的值，可判断B正确.

对于选项C，设点，利用，可求得，从而确定点的坐标，可求出直线的斜率，进而判断C错误.

对于选项D，设点到的距离为，到直线的距离为，由抛物线定义，则，根据平面几何知识，可得当三点共线时，有最小值，进而可判断D正确.

【详解】对于A，设，若，则直线，由抛物线的对称性可知，线段的中点为，显然不符合题意，故，

因为是抛物线上的两点，所以，

两式相减得，，整理得，

因为线段的中点为，所以，即，

又，所以，

所以直线的方程为，即. 故A正确；

对于B，消去整理得

∵直线与抛物线交于两点，解得.

设，则，

，

，

即.

检验知满足条件. 故B正确；

对于C，设，则，

解得或，所以或，

又，所以或，故C错误；

对于D，设到的距离为到直线的距离为，

则，根据平面几何知识，可得当三点共线时，

有最小值，

因为抛物线焦点到直线的距离为，所以的最小值是，

所以抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值为. 故D正确.

故选：ABD.

12．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．下列结论正确的是（    ）

A．若为的跟随区间，则

B．函数不存在跟随区间

C．若函数存在跟随区间，则

D．二次函数存在“3倍跟随区间”

【答案】CD

【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.

【详解】对于A选项，若为的跟随区间，

因为在区间为增函数，故其值域为，

根据题意有，解得或，因为故.故A错误．

对于B选项，由题，因为函数在区间与上均为增函数，

若存在跟随区间则有，即为的两根．

即的根.故.故B错误．

对于C选项，若函数存在跟随区间，

因为为减函数，

故由跟随区间的定义可知，

即，

因为，所以．

易得．

所以，

令代入化简可得，

同理也满足，

即在区间上有两不相等的实数根．

故，解得，故C正确．

对于D选项，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为.

当时，易得在区间上单调递增，

此时易得为方程的两根，

求解得或.故定义域，则值域为．D正确．

故选：CD

【点睛】关于新定义函数类型问题的求解，主要的解题思路是理解新定义，并将新定义的知识转化为学过的知识来进行求解，如本题中新定义的“跟随区间”，根据它的定义，可转化为函数的定义域和值域问题来进行求解.

三、填空题

13．已知某圆锥的母线长为10，其侧面展开图的面积为，则该圆锥外接球的表面积为          .

【答案】

【分析】根据给定条件，求出圆锥轴截面等腰三角形底角的正弦，再利用正弦定理求出圆锥轴截面三角形外接圆半径作答.

【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得，

令圆锥轴截面等腰三角形底角为，则，，

因此圆锥轴截面等腰三角形外接圆半径，有，解得，

显然圆锥轴截面等腰三角形的外接圆是圆锥外接球的截面大圆，于是圆锥外接球半径，

所以该圆锥外接球的表面积为.

故答案为：

14．为了更好地了解早高峰车辆情况，某地交管部门在9个路口统计1分钟的车流量，每个路口的车流量分别为，则这组数据的第百分位数为          .

【答案】

【分析】根据百分位数的定义进行求解即可.

【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列得

因为，所以这组数据的第百分位数为，

故答案为：

15．已知直线与圆相离，则整数的一个取值可以是      ．

【答案】或或（注意：只需从中写一个作答即可）

【分析】利用直线与圆的位置关系列出不等式组，解出整数的范围．

【详解】因为圆的圆心为，所以圆心到直线的距离，因为圆的方程可化简为，即半径为，所以，所以，故整数的取值可能是．

故答案为：或或（注意：只需从中写一个作答即可）

16．已知，给出以下几个结论：

① 的最小正周期为；

② 是偶函数；

③ 的最小值为；

④ 在上有4个零点；

⑤在区间上单调递减；

其中正确结论的序号为                                   ．

【答案】②④⑤

【分析】对①②：根据周期性、奇偶性的定义分析判断；对③④⑤：分类讨论去绝对值，结合辅助角公式以及正弦函数的性质逐项分析判断.

【详解】对①：∵，

即，故不是以为最小正周期的周期函数，①错误；

对②：，故是偶函数，②正确；

对③： 当时，可得，

∵，则，

∴，故；

当时，可得，

∵，则，

∴，故；

综上所述：当，的值域为.

当时，则，可得，

故时，的值域为，

又∵是偶函数，

∴的值域为，即的最小值为，③错误；

对④：由③可得：当时，令，即，

∵，则，

∴当，即时，；

当时，可得，即，

∵，则，

∴当，即时，；

综上所述：在上有2个零点.

∵是偶函数，

∴在上有4个零点，④正确；

对⑤：

当时，则，

可得在区间上单调递减，⑤正确.

故答案为：②④⑤.

【点睛】关键点定睛：

根据函数的相关性质，缩小需要研究的区间，再根据余弦函数值的符号分类讨论去绝对值.

四、解答题

17．在锐角中，内角所对的边分别为，已知向量、满足：，，且.

(1)求角；

(2)若，求周长的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据平行向量的坐标表示得出边与角的关系式，再利用正弦定理即可求出角A；

（2）利用正弦定理将边表示成角的形式，即，再根据三角形形状和辅助角公式，即可求出的取值范围，得解.

【详解】（1）因  ，且，

于是有，即，

在中，由正弦定理得：，而，

于是得，又A为锐角，

所以．

（2）是锐角三角形，由（1）知，，

于是有，且，从而得，

而，由正弦定理得，

则，，

则有，

而，则，

即,

所以的取值范围．

，即周长的取值范围是.

18．已知数列的前项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用公式，即可求数列的通项公式；

（2）根据（1）的结果可知，再利用裂项相消法求和证明即可.

【详解】（1）因为，

所以当时，，

两式相减得：，即，    

所以，

且符合，

所以的通项公式为

（2）由（1）得：，

，                

.

19．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，且平面平面.

(1)求证：；

(2)若直线与平面所成的角为，E为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过证明平面来证得.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面所成锐二面角的大小.

【详解】（1）设，则中点为M，且

∵平面平面且交线为，平面，

∴平面，

∵平面，∴，

又直三棱柱，∴，

∵平面，

∴平面，

∵平面，∴.

（2）由（1）知平面，

所以直线与平面所成的角为，

不妨设

以B为原点，分别为x，y，z轴正向建立坐标系，

，

设平面的法向量为

，故可设，

设平面的法向量为，

，故可设，

设平面与平面所成锐二面角为，

∴.

20．习近平总书记在党的十九大报告中指出，保障和改善人民最关心最直接最现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起.2021年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：

(1)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市民满意度，现从全市民中随机抽取5人，求至少2人非常满意的概率；

(2)相关部门对该项目进行验收，验收的硬性指标是：全民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需要进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由；(注：满意指数=)

(3)在等级为不满意的市民中，老人占，现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，并从中选取3人担任督导员.记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X).

【答案】(1)；

(2)能通过验收，理由见解析；

(3)的分布列见解析，.

【分析】（1）根据矩形面积之和为1求出a，然后通过对立事件求概率的方法与二项分布求概率的方法求出答案；

（2）算出满意度的平均分即可判断答案；

（3）根据超几何分布求概率方法求出概率，然后列出分布列，求出期望.

【详解】（1），解得，设至少2人非常满意的概率为事件A，由题意知5人中非常满意的人数，.

（2）由频率分布直方图得：

满意度平均分为，满意指数，因此，能通过验收.

（3）分层抽取9人中老人有3人，由题意知服从超几何分布，的可能取值为，，，，，则分布列为：

所以，.

21．已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件可得出的值，将点的坐标代入椭圆的方程，可得出，即可得出椭圆的方程；

（2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出直线的方程，可求得点的坐标，利用三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得的取值范围.

【详解】（1）解：因为椭圆的长轴长为，则，

将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，

所以，椭圆的标准方程为.

（2）解：若与轴重合，则不存在，

设直线的方程为，设点、，

若，则点与点重合，不合乎题意，所以，，

联立可得，

，

由韦达定理可得，，

易知点，，

直线的方程为，

将代入直线的方程可得，即点，

，

所以，，

令，则函数在上为增函数，

所以，，所以，.

故的面积的取值范围是.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

22．设函数.

(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；

(2)若存在两个极值点，且对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）求出，令，求解可得答案；

（2）令得，，当由可得，令，求导利用单调性可得答案； 当根据，令可得求解可得答案.

【详解】（1），

所以，解得；

（2），令得，

解得，或时且，

当即时，，对任意恒成立，

得可得，，

时成立，时，有在恒成立，

令，，所以在单调递减，

有，所以；

当即时，，对任意恒成立，求实数的取值范围，即在上恒成立，

因为，可得，

解得，

当即时，重合，不符合题意，

综上所述，或.