2023届广东省茂名市第一中学高三下学期5月第三次半月考数学试题含解析

这是一份2023届广东省茂名市第一中学高三下学期5月第三次半月考数学试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，四象限或轴负半轴上时，因为，，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广东省茂名市第一中学高三下学期5月第三次半月考数学试题

一、单选题
1．已知集合A为英文单词“book”的字母组成的集合，集合B为英文单词“bike”的字母组成的集合，则集合的子集个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先写出集合A,B,再求出交集，最后确定子集个数即可.

【详解】由题意，，
其子集为，，，，共4个．
故选：D.

2．复数z满足，，则为（    ）
A．1或 B．或 C．或 D．2或
【答案】A
【分析】设，根据给定条件，列出方程推理求解作答.
【详解】设，则，由，得，
，
由，得，解得，
所以.
故选：A
3．美味可口的哈根达斯蛋筒冰激凌可近似看作半径相等的一个半球和一个圆锥组成，如实物图，已知冰激凌的表面积为，底部圆锥的母线为3，则冰激凌的体积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据球的表面积以及圆锥的侧面积求得，再根据球、圆锥的体积运算求解.
【详解】设球的半径为，
则冰激凌的表面积为，解得，
可得圆锥的高，
所以冰激凌的体积.
故选：A.
4．已知，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对题目条件进行三角恒等变化，得，将转化为，求出最值.
【详解】因为，，
所以，
，
即，所以，
因为，，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，取得最大值.
故选：B.
5．已知函数在区间内恰有一个极值，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行处理.
【详解】因为，所以当时，有，
因为在区间内恰有一个极值，
结合函数图象，得，解得，
所以的取值范围为.
故选：A.

6．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先列基本事件，再列满足条件的基本事件，最后根据古典概型求解.

【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为，10种情况，
若这三个数之积为偶数有，9种情况，
它们之和大于8共有 ，5种情况，
从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为.
故选:D.
7．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.
【详解】设切点为，，连接，则，，

过点作⊥轴于点E，则，故，
因为，解得，
由双曲线定义得，所以，
在中，由余弦定理得，
化简得，又，
所以，方程两边同时除以得，
解得，所以离心率.
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).
8．已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本道题计算导函数，结合存在两个不同的极值点，计算a的范围，构造新函数，计算最值，得到的范围，即可．
【详解】计算导数得到，结合构造新函数得到
要使得存在两个不同的极值点，则要求有两个不同的根，且，则，解得，而
，构造新函数，计算导数得到，结合前面提到的a的范围可知在单调递增，故，因而，表示为区间则是，故选A．
【点睛】本道题考查了导函数与原函数单调性关系，考查了利用导函数计算最值，难度偏难．

二、多选题
9．已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（    ）
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．第40百分位数
【答案】AD
【分析】根据中位数，平均数，方差及百分位数的定义，举例说明即可.
【详解】设这个数分别为，
且，
则中位数为，
去掉最大和最小的数据，得，中位数为，
故中位数一定不变；
由，得的第40百分位数为，
由，得的第40百分位数为，
故第40百分位数不变，
设这个数分别，
则平均数为，
去掉最大和最小的数据为，
此时平均数为，所以此时平均数改变了；
设这个数分别，
则平均数为，
方差为
，
去掉最大和最小的数据为，
则平均数为，
方差为，
所以此时方差都改变了.
故选：AD.
10．如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系，设O到地面的高OT为，点P为转轮边缘上任意一点，点P在x轴上的垂足为M，转轮半径为，记以OP为终边的角为，点P离地面的高度为，则（    ）

A．点P坐标为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由三角函数定义可求点P坐标及的长度，从而可判断选项A、D,
由向量的加法可知，再求出其模，从而判断选项B，由平面向量数量积的定义可判断选项C.
【详解】设点，由三角函数定义，，
从而可得点P坐标为，所以选项A正确；
因为，所以，
只有当的终边落在轴上时，，所以选项B错误；
因为，所以选项C正确;
当的终边在第一、二象限或轴正半轴上时，；
当的终边在第三、四象限或轴负半轴上时，因为，
此时；
当的终边轴上时，，此时，
所以，不管的终边在何处，都有，所以选项D正确.
故选：ACD
11．已知点在圆：上，点，，则（    ）
A．点到直线的距离的最小值是 B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．当为直角三角形时，其面积为3
【答案】ACD
【分析】根据圆心到直线的距离即可判断A；由，求出的范围，即可判断B；当到圆相切时，若点在第一象限，此时最小，若点在第二象限，此时最大，通过角度的计算得出的取值范围，即可判断C；当为直角三角形时，求出点到直线的距离，进而求出面积即可判断D．
【详解】由题可知直线的方程为：，，
对于A：因为圆心到直线的距离是，
所以点到直线的距离的最小值是，故A正确；
对于B：记线段的中点为，则，
则，
因为，
所以的取值范围是，故B错误；
对于C：由题可知，，
当到圆相切时，若点在第一象限，此时最小，
因为，，所以，
所以；

若点在第二象限，此时最大，同理可得，

所以的取值范围是， 故C正确；
对于D：因为的取值范围是，同理可得的取值范围是，
所以当为直角三角形时，，则，
设点坐标为，
则，
得点在直线上，
所以点到直线的距离为，
所以面积为，故D正确；
故选：ACD．

12．已知正方体的棱长为2，为棱的中点，，分别为线段，上两动点（包括端点），记直线，与平面所成角分别为，，且，则存在点，，使得（    ）

A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】建系设点坐标，作出题中的线面角，结合得到，再依次判断各个选项，是否有解即可．
【详解】过点作的垂线，垂足为，作点作 的垂线，垂足为，
如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，则，0，，，2，，
设，2，，，2，，则，0，，，0，，
所以，其中，，，
由题得平面，平面，
所以直线， 与平面所成的角分别为，，
即，，
所以，
因为，所以，即，
对于A 选项，若，即，解得，满足题意，故A正确；
对于B 选项，若，即，此时，无解，故B错误；
对于C选项，若，即，解得，满足题意，故C正确；
对于D选项，，即，0，，2，，又即，
所以，，故，，于是，
令，又，
故（1），由零点存在定理可得 在，上存在零点，
即方程 有，内的解，满足题意，故D正确．
故选：ACD


三、填空题
13．若,则= .
【答案】
【分析】将指数式化为对数式，结合对数运算，求得的值.
【详解】,,.
.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查指数式化为对数式，考查对数运算，属于基础题.
14．过抛物线C：的准线l上一点P作C的切线PA，PB，切点分别为A，B，设弦AB的中点为Q，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】利用导数求出抛物线在A和B的切线方程，根据切线过P得A和B满足的方程，从而求得AB所在直线方程，联立直线AB方程与抛物线方程求出Q点坐标，从而求出的表达式，根据表示式即可求其最小值.
【详解】，
设，，，则，，
则切线：，
∵切线PA过P，∴，
同理，，
∴直线AB方程为：.
由得，，
则，，
则，
则，
即最小值为2.
故答案为：2.
15．已知关于的方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 .
【答案】或
【分析】利用换元法，把方程根的问题转化为两个函数的交点问题，设出函数，求解导数，判断单调性，结合函数图象可求范围.
【详解】令，则 ,则问题等价于关于t的方程在上有且只有一个实数根，即函数与函数在上有且只有一个交点；
因为，所以函数在上单调递减,在上单调递增,此时函数在即处的切线斜率为.
在平面直角坐标系内画出函数的大致图象如图所示,
因为直线过定点(1,0),
由图可知的取值范围为或时，
函数与函数在上有且只有一个交点.
故答案为：或.
  
【点睛】本题主要考查函数与方程，函数的性质，利用导数研究函数的单调性，作出函数的简图是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.

四、双空题
16．在某个QQ群中有n名同学在玩一种叫“数字哈哈镜”的游戏．这些同学编号依次为1，2，3，…，n．在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p，q）表示．规则如下：编号为k的同学看到的像为（ak，ak+1），且满足ak+1﹣ak＝k（k∈N*），已知编号为1的同学看到的像为（5，6），则编号为4的同学看到的像为 ；某位同学看到的像为（195，q），其中q的值被遮住了，请你帮这位同学猜出q＝ ．
【答案】 （11，15） 215
【分析】由游戏规则中“编号为k的同学看到像为（p，q）中的（ak，ak+1），编号为k+1的同学看到像为（ak+1，ak+2），这样就找到了游戏进行的一个联系，同时注意到ak+1﹣ak＝k（k∈N*），进而解得答案．
【详解】由题意规律，编号为1的同学看到的像是（5，6），∴编号为2的同学看到的像是（6，8），
编号为3的同学看到的像是（8，11），编号为4的同学看到的像是（11，15）．
（2）设编号为n的同学看到的像是（bn，an），
则b1＝5，a1＝6，当n≥2时，bn＝an﹣1．
由题意an﹣bn＝n，∴an﹣an﹣1＝n（n≥2）．
∴an﹣a1＝（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）
＝，所以，
，令，
则.
故答案为：（11，15）；215.
【点睛】本题突破点为，可以联想到用“累加法”解得an，平常多注意对解题方法的总结和归纳，培养出解题的感觉.

五、解答题
17．已知数列满足．
(1)若数列满足，证明：是常数数列；
(2)若数列满足，求的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）计算出，得到是常数数列；
（2）在（1）的基础上，得到，，利用分组求和得到答案.
【详解】（1）因为
，
所以，
所以是常数数列．
（2）因为，所以，
所以，
所以．
因为，
所以
，
所以．
18．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为

【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.
（2）将问题转化 ，根据第一问解得，然后结合不等式求解.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理得，
又，
因为,
所以,
所以,又,
所以，且,
所以，
故.
（2）由（1）得，
所以，
因为，
所以

，
当且仅当即，且，即当且仅当时等号成立，
所以当时，的最小值为.
19．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规模y/亿元
692
962
1334
2091
3229
经计算得：=36.33，=112.85.
(1)根据以上数据，建立y关于x的回归方程（为自然对数的底数）.
(2)云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差，其中m为单件产品的成本（单位：元），且=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差.若保持单件产品的成本不变，则将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？
附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，.
若，则，，
【答案】(1)
(2)，成本下降3元.

【分析】(1)将非线性回归模型转化为线性回归模型求解；
(2)利用正态分布的概率模型求解，并结合特殊概率值求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以，
所以.
（2）未引入云算力辅助前，，所以，
又，所以，所以.
引入云算力辅助后，，所以，
若保持产品成本不变，则，
所以
若产品质量不变，则，所以，
所以单件产品成本可以下降元.
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面ABCD平行的平面与棱PC，PD分别交于点G，F，M在线段AE上，且．

(1)求证：BG//平面；
(2)若PA⊥平面ABCD，且，求平面CFM与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）延长FM与DA的延长线交于点N，连接CN交AB于点H，先证明，，得四边形BHFG为平行四边形，再证明BG平面CFM．
（2）建立空间直角坐标系，求平面PCD和平面CFM的法向量，计算法向量的夹角余弦的绝对值即为所求.
【详解】（1）证明：
  
延长FM与DA的延长线交于点N，连接CN交AB于点H，连接FH．
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD平面，
且E为PA的中点，所以且．同理可得，．
又，所以，
又，所以H为AB的中点，所以，且．
又，，
所以，且，所以四边形BHFG为平行四边形，所以
又平面CFM，平面CFM，
所以BG平面CFM．
（2）由题意易得AB，AD，AP两两垂直，故以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，
则C（4，4，0），D（0，4，0），F（0，2，3），M（0，0，2），P（0，0，6），
所以＝（－4，0，0），，，．
设平面PCD的一个法向量，
则，即，取，
设平面CFM的一个法向量，
则，即，取，
设平面CFM与平面PCD所成锐二面角的大小为，
则，
即平面CFM与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．
21．已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.

(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；
(2)若恰好被平分，求面积的最大值
【答案】(1)4
(2)．

【分析】（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得的值；
（2）设直线方程为，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．
【详解】（1）在椭圆中，， 所以，；
（2）设直线方程为，代入抛物线方程得，
设，中点为，则，，
，，
设，则，两式相减得，
所以，，，
所以，解得，
点在椭圆内部，所以，得，
因为，所以或，
，
时，，时，，
所以面积的最大值为．
【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线与椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．
22．已知函数，为的导函数．
(1)当时，若在[上的最大值为，求；
(2)已知是函数f（x）的两个极值点，且，若不等式恒成立，求正数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据导数与函数的最值的关系以及根据的不同取值分类讨论求解；
（2）根据题意得，从而可得不等式，再根据，从而，进而将双变量转化为单变量，即不等式在上恒成立，利用导函数与单调性、最值关系求解.
【详解】（1）当时，，其定义域为（0，＋∞），
且，所以，
所以，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
①当，即时，在[t，t＋1]上单调递增，
所以；
②当，即时，；
③当时，g（x）在[t，t＋1]上单调递减，
所以，
综上所述
（2）因为，所以，
由题意知的定义域为，
故是关于x的方程的两个根，
所以，
即，
所以，
等价于．
因为，所以原式等价于，
又，作差，得，
即，所以原式等价，
因为，所以恒成立．
令，则，
故不等式在上恒成立，
令．
又因为，
当时，得，所以在上单调递增，
又，所在上恒成立，符合题意；
当时，可得时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，
所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式恒成立，
只需满足，又，故，
即正数m的取值范围为．
【点睛】关键点点睛:本题第二问的关键在于利用，从而可得不等式，再将代入不等式可得，再将双变量问题转化为单变量问题，即可利用导函数的单调性、最值关系求解.