2023届广东省惠州市高三下学期第三次调研（月考）数学试题含解析

这是一份2023届广东省惠州市高三下学期第三次调研（月考）数学试题含解析，共29页。试卷主要包含了若函数，已知，且恒成立，则的最小值为，已知复数，则下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。

 惠州市2023届高三第三次调研考试试题
数学
全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1．已知集合，，且，则实数（ ）
A． B．1 C．或1 D．0
2．数列为等差数列，、是方程的两个根，则的前2022项和为（ ）
A．1011 B．2022 C．4044 D．8088
3．“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知实数，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中，，，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．b与c是异面直线 B．a与c没有公共点
C． D．
6．若函数（且）在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
7．在“2，3，5，7，11，13”这6个素数中，任取2个不同的数，这两数之和仍为素数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，且恒成立，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9．已知复数，则下列选项正确的是（ ）
A．z的虚部为1 B．
C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第一象限
10．在全市高三年级举行的一次数学达标测试中，共有20000人参加考试。为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示，其中成绩落在区间内的人数为16．

则下列结论正确的是（ ）
A．样本容量 B．频率分布直方图中
C．估计该市全体学生成绩的平均分约为70.6分
D．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号
11．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递增 B．存在，使得函数为奇函数
C．任意， D．函数有且仅有2个零点
12．画法几何的创始人—法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：若椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与蒙日圆相切
B．椭圆C的蒙日圆的方程为
C．记点A到直线l的距离为d，则的最小值为
D．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的面积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分。
13．已知平面向量，，若与垂直，则实数__________．
14．在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点，则__________．
15．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为__________．
16．用数学的眼光看世界就能发现数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为．则曲线在处的曲率为__________；正弦曲线曲率的平方的最大值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）数列中，，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
条件①， 条件②，
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足________，
（1）求A；
（2）若AD是的角平分线，且，求的最小值．
（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

（1）证明：平面平面PBC；
（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．
20．（本小题满分12分）
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得，，．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数，．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数恒成立，求实数a的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆上且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P、Q分别在椭圆C和直线上，，M为AP的中点，若T为直线OM与直线QF的交点．是否存在一个确定的曲线，使得T始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．












惠州市2023届高三第三次调研考试
数学试题参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
A
D
C
A
D
1．【解析】由集合元素的互异性及子集的概念知，解得实数．故选A．
2．【解析】所以的前2022项和，，故选C．
3．【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得或，即，所以“”是“方程表示双曲线"的充分不必要条件，故选B．
4．【解析】A项中，因为，所以，故A项正确；B项中，因为函数在上单调递减且，所以，故B项错误：C项中，因为，则，故C项错误；D项中，若，，则，故D项错误．故选A．
5．【解】∵，∴，，
∵，，∴，，，
∵，∴，∴，∴，
如右图所示：故A，B，C错误；故选D．

6．【解析】由函数在上为减函数，可知，函数的定义域为或，故排除A，B，又，可知在单调递减，故排除D．故选C．
7．【解析】由题意得，6个数中任取2个数，共有种可能，2个素数之和仍为素数，则可能为（2和3）、（2和5）、（2和11）共有3种可能，所求概率．故选A．
8．【解法一】数形结合，当时，曲线介于直线PA和PB之间，
即，又因为恒成立，
所以且，即且
∴．故选D．

【解法二】由，得：；
令，∴，
令，则，
∴在上单调递减，∴，则，
∴在上单调递减，∴，∴；
令，则，∵，∴；
当时，，∴在上单调增∴，不合题意；
当时，，∴在上单调减，∴，满足题意；
当时，，使得，又在上单调递减，
∴当时，，∴在上单调递增，则，不合题意；
综上所述．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
题号
9
10
11
12
答案
AC
BC
ABC
AC
9．【解析】，∴z的虚部为1，，为纯虚数，在复平面内对应的点位于第四象限，故选AC．
10．【解析】对于A：样本容量，故A不正确；
对于B：因为，解得，故B正确：
对于C：学生成绩平均分为，C正确；
对于D：因为，即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D不正确，故选BC．
11．【解析】对于A：
因为，所以，，因此，
故，所以在上单调递增，故A正确；
对于B：令，则，令，定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，B正确对于C：时，；时，；
时，；C正确；
对于D：时，，时，，
时，，所以只有1个零点，D错误；故选：ABC
12．【解析】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，
所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，
因为，可得．
对于A选项，蒙日圆圆心到直线l的距离为，故l与蒙日圆相切，A对；
对于B选项，C的蒙日圆的方程为，B错；
对于C选项，由椭圆的定义可得，
则，所以，
因为，直线l的方程为，点到直线l的距离为，
所以，当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，若矩形MNGH的四条边均与C相切，
则矩形MNGH的四个顶点都在蒙日圆上，所以，
所以矩形MNGH的面积为，D错．故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二空3分。
13．2； 14．1； 15．； 16．（2分），1（3分）
13．【解析】因为与垂直，所以，即，解得．
14．【解法一】由三角函数的定义可知，，
所以
【解法二】因为角的终边经过点，所以，
所以．
15．【解析】圆的标准方程为，
则圆心半径，由题意知最长弦为过E点的直径，最短弦为过E点和这条直径垂直的弦，即，且，圆心和E点之间的距离为1，故，所以四边形ABCD的面积为．故答案为：

16．【解析】（1）由，，
则，
（2）由，，则，
，令，则，
故，设，则，
在时，递减，所以，最大值为1．
故答案为：，1
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分，其中第一小问4分，第二小问6分）
【解析】（1）因为，
所以，且 1分
得 2分
又 3分
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列 4分【注：无首项和公比的说明，本得分点不得分】
（2）由（1）可知， 1分
所以 2分
又由题知
所以
3分
5分【注：等差等比求和公式各1分】

∴ 6分
18．（本小题满分12分，其中第一小问6分，第二小问6分）
【解析】（1）选②
因为，由正弦定理
所以 1分
即， 2分
由余弦定理 3分
4分
因为， 5分【注：无此步骤，本得分点不得分】
所以 6分
选③
因为，
正弦定理且
所以， 1分
即 3分
而，∴，cos≠0，．分【注：无此步骤，本得分点不得分】
所以 5分
因为，所以，即 6分
选①
因为，由正弦定理
所以， 1分
即， 2分
所以， 3分
而，∴， 4分
故， 5分
因为，所以 6分
【备注：从3个条件的思维量及计算步骤数综合分析，从易到难排序为②<③<①】
（2）【解法一】如图，过D分别作，

由题意可知和都是边长为1的正三角形． 1分
由得 2分
所以，即
同理，，所以
由得，即 3分
因此 4分
， 5分
当且仅当时取等号6分【注：无此步骤，本得分点不得分】
所以的最小值为．
【解法二】由题意可知，， 1分
由角平分线性质和三角形面积公式得，
2分【注：面积公式正确可得1分】
化简得，即， 3分
因此 4分
， 5分
当且仅当时取等号 6分【注：无此步骤，本得分点不得分】
所以的最小值为．
19．（本小题满分12分，其中第一小问6分，第二小问6分）
【解析】（1）【解法一】因为底面ABCD，平面ABCD，
所以． 1分

因为ABCD为正方形，所以，
又因为，平面PAB，平面PAB【见注1】
所以平面PAB． 2分
因为平面PAB，所以． 3分
因为，E为线段PB的中点，
所以， 4分
又因为，平面PBC，平面PBC【见注1】
所以平面PBC． 5分
又因为平面AEF，
所以平面平面PBC． 6分
【注1：证明线面垂直过程中，无写出三个辅助条件，扣1分】
【解法二】因为底面ABCD，平面PAB，

所以平面底面ABCD 1分
又平面底面，，平面ABCD，【见注1】
所以平面PAB． 2分
因为平面PAB，所以． 3分
因为，E为线段PB的中点，所以． 4分
因为，平面PBC，平面PBC【见注1】
所以平面PBC 5分
又因为平面AEF，
所以平面平面PBC 6分
【解法三】因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 1分

则，
设，则
所以，，， 2分
设为平面AEF的法向量，
则所以取，则，，则 3分
设为平面PBC的法向量，
则所以取，则， ，则 4分
因为，所以 5分
所以平面平面PBC 6分
（2）【解法一】（基于（1）解法一、二）
因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 1分

则，
易知是平面PAB的法向量 2分
设，则，所以，，
所以
即，，得，所以， 3分
设为平面AEF的法向量，则
所以平面AEF的法向量， 4分
又因为
所以点P到平面AEF的距离为， 5分

所以点P到平面AEF的距离为． 6分
由（1）可知，是直线AF与平面PAB所成的角，
所以 1分
解得，故F是BC的中点． 2分
所以，，
的面积为 3分
因为，的面积为 4分
设点P到平面AEF的距离为h，则有
5分
解得
所以点P到平面AEF的距离为． 6分
【解法三】（基于（1）解法三）
易知是平面PAB的法向量 1分
所以，
即，解得 2分
所以， 4分
又因为
所以点P到平面AEF的距离为， 5分

所以点P到平面AEF的距离为． 6分
20．（本小题满分12分，其中第一小问3分，第二小问5分，第三小问4分）
【解析】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值 1分
样本中10棵这种树木的材积量的平均值 2分
据此可估计：该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，
平均一棵的材积量为 3分【注：最终结果无单位扣1分】
（2） 1分
2分
3分
4分
则 5分
【备注：运用参考公式计算过程可通过下面的列表进行分步】：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
合计
平均值

0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
0.06

0.25
0.4
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.4
3.9
0.39


0

0.02
0.02


0.01
0.01
0




0.01

0.15
0.12


0.07
0.03
0.01



0.0028
0
0.0034
0.003
0.0024
0.0005
0.0003
0.0007
0.0003
0
0.0134
分子

0.0004
0
0.0004
0.0004
0.0004
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0
0.002


0.0196
0.0001
0.0289
0.0225
0.0144
0.0025
0.0009
0.0049
0.0009
0.0001
0.0948












0.0001896
分母的平方
【备注：运用变形公式计算过程可通过下面的列表进行分步】：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
合计
平均值

0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
0.03

0.25
0.4
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.4
3.9
0.39

0.01
0.024
0.0088
0.0432
0.0408
0.017
0.018
0.0322
0.0294
0.024
0.2474
部分分子

0.0016
0.0036
0.0016
0.0064
0.0064
0.0025
0.0025
0.0049
0.0049
0.0036
0.038
部分分母

0.0625
0.16
0.0484
0.2916
0.2601
0.1156
0.1296
0.2116
0.1764
0.16
1.6158
部分分母
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为 1分
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得 2分
解得 3分
则估计该林区这种树木的总材积量为 4分
21．（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）
【解析】（1）函数的定义域是 1分
当时， 2分
令得，所以函数在上单递递增； 3分
令得，所以函数在上单调递减． 4分
所以函数的单调递增区间为，单调递区间为．
（2）【解法一】恒成立
等价于恒成立， 1分
令，
因为恒成立，所以在上单调递增，
所以，即， 2分
所以恒成立，等价于恒成立
令，问题等价于恒成立 3分
①若时，恒成立，满足题意； 4分
②若时，则，所以，不满足题意； 5分
③若时，因为，令，得，
，，单调递减，，，单调递增，
所以在处取得最小值， 6分
要使得，恒成立，只需，
解得 7分
综上： 8分
【解法二】恒成立，等价于， 1分
令
2分
①若时，，所以在上单调递增，
，即，满足， 3分
②若时，则， ，所以在上单调递增，
当x趋近于0*时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意． 4分
③若时，令，∴，
令，因为在上单调递增，
且当时，，当时，，
所以，，， 5分
，，单调递减，，，单调递增，
只需即可，
∴，∴， 6分
令，，∴在上单调递增，
，∴时，，，，
所以在上单调递增，∴，
即， 7分
综上： 8分
22．（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）
【解析】（1）因为椭圆C过点，所以， 1分
因为，所以，得． 2分
故，
从而椭圆C的方程为． 4分
（2）【解法一】设，则直线AP的斜率为 1分
因为，所以直线OQ的方程为，
令可得，所以， 2分
又M是AP的中点，所以， 3分
从而，
所以① 5分
因为点P在椭圆C上，所以，故， 6分
代入式①可得，从而， 7分
所以，点T始终在以OF为直径的圆上，且该圆方程为 8分
【解法二】由直线AP不与y轴垂直，故可设其方程为 1分
联立消去x整理得：，
解得：或，所以， 2分
从而，故 3分
因为M是线段AP的中点，所以 4分
因为，所以直线OQ的方程为，
联立解得：，所以， 5分
故，
从而， 6分
从而， 7分
所以，点T始终在以OF为直径的圆上，且该圆方程为 8分