2023届江苏省淮安市淮安区高三上学期期中数学试题含答案

2023届江苏省淮安市淮安区高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次不等式求解集合，再求并集即可.

【详解】∵，

∴．

故选：D

2．设函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用余弦函数图象的对称性求解.

【详解】由已知得，Z,  解得，Z,

所以当时，的最小值为，

故选：.

3．在中，A＝30°， C＝45°， c＝，则a的值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】由正弦定理即可求解.

【详解】解：因为在中，A＝30°， C＝45°， c＝，

所以由正弦定理可得，即，

故选：B.

4．已知，“”是“”的一个充分不必要条件，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合一元二次不等式的解法以及充分不必要条件的知识求得正确答案.

【详解】依题意，，

或，

由于“”是“”的一个充分不必要条件，

所以，.

故选：A

5．点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为（单位：），取，则从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为求解.

【详解】解：因为衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为，

所以从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为：

，

，

，

故选：C

6．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由共轭复数的概念与复数的四则运算法则求解即可

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：A

7．若，则的值（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式将，转化为，再利用余弦的二倍角公式可求得结果.

【详解】由，得，即，

所以，

故选：A

8．已知函数，则函数，的零点个数（　　）

A．3个 B．5个 C．10个 D．9个

【答案】D

【分析】设，利用导数研究图象的性质，将零点问题转化为函数图象交点的问题求解.

【详解】令，则，

令，即，

，令得或，令得，

所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，

因为，所以方程有三个解，

当时，，，，

当时，，，，

当时，，，，

当时，方程有个根，当时，方程有个根，当

时，方程有个根，故函数零点的个数为个;

同理可得当时和时均可得到函数零点的个数为个.

故选：D.

【点睛】嵌套函数的零点问题，通常采用换元法求解，即令，转化为求函数和图象交点的问题，接着不断分析，层层递进即可求解.

二、多选题

9．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】利用不等式的性质及其基本不等即可求解.

【详解】对于选项,∵，，，∴，解得，同理可知，则不正确，正确；

对于选项,∵，当且仅当时，等号成立，∴，

则正确；

对于选项,∵，当且仅当时，等号成立，

∴，则正确．

故选：.

10．设两个非零向量与不共线，如果和共线，那么的可能取值是（    ）

A．1 B． C．3 D．

【答案】CD

【分析】根据共线得到方程组，求出.

【详解】与共线，所以，，

从而，解得：.

故选：CD

11．下列命题中，正确的有（    ）

A．对于任意向量，都有

B．对于任意复数，都有

C．存在向量，使得

D．存在复数，使得

【答案】ABC

【分析】对于A：根据向量加法的三角形法则分析判断；对于B：将复数转化为向量分析判断；对于C：根据数量积的定义分析判断；对于D：利用复数的三角表示运算判断．

【详解】对于A：根据向量加法的三角形法则易得，当且仅当同向或有为零向量时等号成立，A正确；

对于B：设复数对应的向量为，则，根据向量可得，B正确；

对于C：∵，当且仅当，即时等号成立，

∴只要不共线，则成立，C正确；

对于D：设，则

∵

∴，D错误；

故选：ABC．

12．已知函数，若f(x)=a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足x1<x2<x3<x4，则下列命题正确的是（    ）

A．0<a<1 B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】A选项：将方程的解转化为函数与图象交点的横坐标，然后结合图象即可得到的范围；

BCD选项：由题意可得，整理得，利用二次函数的对称性得到，然后利用对勾函数的单调性求范围即可.

【详解】

函数的图象如上所示，

方程的解可以转化为函数与图象交点的横坐标，由图可知，故A正确；

由题意可知，即，解得，由图可知，所以，令，则函数在上单调递增，当时，，时，，所以的范围为，故B错；

函数的对称轴为，所以，又，所以，函数在上单调递增，，，所以，故C正确；

，函数在上单调递减，上单调递增，，，，所以，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知集合，，若，求实数的取值范围       .

【答案】

【分析】根据集合的包含关系画出数轴即可计算.

【详解】∵，

∴A和C如图：

∴a＜3.

故答案为：.

14．中，，，则      ．

【答案】

【分析】根据向量数量积公式及三角形面积公式化简可得解.

【详解】由已知得，

又，

即，

故，

又在中，，

故，

故答案为：.

15．有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm．已知蜡烛长度l（cm）与燃烧时间t（min）可用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时      min．

【答案】35

【分析】假设直线方程为，利用待定系数法求得直线方程，代入即可求得结果.

【详解】根据题意，不妨设直线方程为，则，解得，

所以直线方程为，当时，即，得，

所以这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时35 min.

故答案为：35.

四、双空题

16．如图，点G为△ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，则        ；求的最小值为        .

【答案】         

【分析】利用重心的性质以及平面的线性运算可知，设,由三点共线可知，故可知，利用的妙用以及基本不等式求出的最小值.

【详解】由重心的性质可知

，，

设,

由已知得，,

两式相加得,

整理得,

所以，，则，

，

当且仅当，即时等号成立,

故答案为：.

【点睛】本题利用了三点共线的一个充要条件，若,不共线，则三点共线的一个充要条件为，且，R.

五、解答题

17．已知复数，为虚数单位．

(1)求；

(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数m，n的值.

【答案】(1)

(2),

【分析】（1）利用复数的运算法则以及复数模的定义求解；

（2）利用复数相等的条件求解即可.

【详解】（1）由已知得，则；

（2）将代入方程得，

即，

则，解得,.

18．已知向量，设函数．

(1)求函数的解析式及单调区间；

(2)设内角A，B，C的对边分别为a，b，c若的面积为，求a的值.

【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为；

(2).

【分析】（1）由数量积的坐标表示求得，并利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简，然后结合正弦函数的单调性得单调区间；

（2）由（1）求得，由三角形面积求得，然后利用余弦定理求得．

【详解】（1）由题知，

，解得，

所以函数单调递增区间为 ．

，解得，

所以函数单调递减区间为 ．

（2）由（1）知，因为，

所以，，，所以，．

的面积，得，．

又，

所以，

．

19．已知函数．

(1)若，求的取值范围；

(2)当时， 求函数的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，将不等式转化为二次不等式，解不等式，结合对数函数的单调性及对数函数的定义域解不等式即可；

（2）设，可得，该函数可转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质求值域.

【详解】（1）设，，，

所以，即，

解得，

所以，解得，

即；

（2）由（1）得，当，，

所以函数可转化为，，

当时，取最小值为，

当或时，取最大值为，

即当时，取最小值为，

当或时，取最大值为，

即函数的值域为.

20．的内角的对边分别为，已知

(1)求角C；

(2)若，的面积为，求的周长．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理可得，即可求解角C；

（2）结合（1）可得，再由的面积为，可解得，进而可得，即可求解的周长.

【详解】（1）解：由已知

由正弦定理，得，

即．

所以，

又，

所以；

（2）解：由（1）知．

所以，

又，

所以，

所以，即．

所以的周长为.

21．已知函数 ．

(1)若 ，求函数的零点；

(2)探索是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出实数的值并证明；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)2

(2)，说明见解析

【分析】（1）根据零点的定义求零点即可；

（2）根据奇函数定义域包含零，那么的性质求，再结合奇函数的定义去证明即可.

【详解】（1）当 时， ,

令 得，所以，解得 ，

所以函数 的零点为2.

（2）假设存在实数，使得函数为奇函数，

因为的定义域为，关于原点对称，

则，所以 ，此时 ，

又因为 ，所以此时为奇函数，满足题意．

故存在实数，使得函数为奇函数．

22．已知函数，

(1)求在处的切线方程

(2)若存在时，使恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，确定切线的斜率，即可求在处的切线方程；（2）先把不等式成立转化为成立，设，，利用导函数求出在上的最大值，即可求实数的取值范围．

【详解】（1）由，可得，

所以切线的斜率，．

所以在处的切线方程为，即；

（2）令，

则，

令，，

在上，，

在上单调递增，

，

．