2023届河南省南阳市高三上学期期中数学（文）试题含答案

2023届河南省南阳市高三上学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解不等式得到集合，然后利用补集和交集的定义计算即可.

【详解】由题意得集合，或，所以.

故选：D.

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，，由条件列方程求，再由复数的模的公式求.

【详解】设，，因为，

所以，，

所以，，所以，

故选：C.

3．已知，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据对数的运算性质及函数值的定义即可求解.

【详解】因为，

所以.

故选：A.

4．已知数列的前项和. 若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得，然后根据求得的值.

【详解】依题意，

当时，；

当时，，，

两式相减得，也符合上式，

所以，

，由解得，所以.

故选：B

5．若，满足则的最小值是（    ）

A． B． C．8 D．

【答案】D

【分析】根据题意画出可行域，令，即，所以平移斜率为的直线，相当于在轴上的截距，找到使轴上的截距最值时的点代入即可.

【详解】由题知，画出满足题意的可行域如下所示，

令，即，

相当于直线在轴上的截距，

平移直线，当直线过点时，截距最大，最小，

联立，可得，

故在点时取得最优解，

代入，可得.

故选：D.

6．已知：，，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设向量与的夹角为，由可得，进而结合平面向量的运算律可得，进而根据余弦函数的性质求解即可.

【详解】设向量与的夹角为，

由，得，

所以，

因为，所以，

即，即，

所以的最大值为.

故选：B.

7．函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性排除A，C，由函数在处的变化趋势排除B，得正确选项．

【详解】由函数图像可知,函数为奇函数,

对于A: ，不是奇函数排除A选项；

，不是奇函数排除C选项；

对于B,当，且趋近于0时，由图知趋近于，但排除B；

故选：D.

8．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由已知条件求出，然后由化简计算可得答案.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

所以

，

故选：B

9．在中，，，. 若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用正弦定理得到，再分和两种情况讨论，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可判断.

【详解】解：由正弦定理，即，所以，

因为只有一解，

若，则，

若显然满足题意，

所以或，所以或，

解得或；

故选：D

10．若将函数的图像向右平移个周期后，与函数的图像重合，则的一个可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对的解析式变形处理，列出等式，即可判断.

【详解】，周期，

函数的图像向右平移个周期后，

得函数的图像，

而，

由题意，，

令，得，故A错误；

令，得，故B错误；

令，得，故C正确；

令，得，故D错误.

故选：C.

11．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数求解时单调递减满足的条件，即可结合分段函数的性质求解.

【详解】当时，，则

所以恒成立，

由于，所以，所以，因此，

要使在上单调递减，则需要

,

故选：C

12．已知：，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角函数的公式求出，然后借助指数函数的单调性得到，即可得到，构造函数，利用函数的单调性得到，整理后即可得到.

【详解】，

，

∵，

∴，则，即，

设函数，则，

∵，，且函数单调递增，

∴只存在一个使，且，

当时，，在单调递减，

∴，即，即，

所以.

故选：B.

【点睛】方法点睛：比较数值大小方法．

（1）估值法：找出式子的取值区间，以此判断各个式子的大小关系；

（2）构造函数法：当无法进行估值判断式子大小时，可通过构造函数，利用导数判断其单调性，从而判断式子大小．

二、填空题

13．已知函数，则          .

【答案】/0.5

【分析】根据可得解.

【详解】，

，

所以，

可得.

故答案为：.

14．在中，角，，所对的边分别为，，，，，则的外接圆面积为          .

【答案】

【分析】在中正弦定理可得利用消角可得，则角B可求，又，可利用正弦定理求的外接圆直径，的外接圆面积可求.

【详解】在中，

由正弦定理可得，

又，

，

，

，

又在中，

.

又在，，，

的外接圆直径=，

的外接圆的面积为.

故答案为：.

15．若，则的解集是              .

【答案】

【分析】根据题意求得为偶函数，且在上单调递增，结合，把不等式转化为，得到，即可求解.

【详解】由函数，可得，所以为偶函数，

当时，可得，所以函数在上单调递增，

又由，所以不等式等价于，

则满足，解得，即不等式的解集为.

故答案为：.

16．不等式对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是           .

【答案】

【分析】设，则可得，而分别在曲线和直线上，将直线平移恰好与曲线相切时，可求出的最小值，从而可解关于的不等式可得答案.

【详解】由题意设，则，所以，

因为分别在曲线和直线上，

所以将直线平移恰好与曲线相切时，切点到直线的距离最小，此时最小，

设切线为，切点为，则，得，

所以，得，则，

所以的最小值为点到直线的距离，，

即的最小值为，

所以，即，解得，

所以实数的取值范围是，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为，，进一步转化为曲线上的点和直线的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题.

三、解答题

17．在中，角，，所对应的边分别为，，.，的面积等于3.

(1)求；

(2)求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据平面向量的数量积定义及三角形的面积公式可得，进而求解即可；

（2）由（1）可得，结合余弦定理可得，进而得到，再根据基本不等式可得，进而得到，进而求解即可.

【详解】（1）因为，

又，

两式相除得，，

又，所以.

（2）由（1）知，，，

所以，

又，即，

所以，

又因为，当且仅当时等号成立，

所以，则，

即，即，

所以的最小值为.

18．已知数列和满足：，，，，且是以为公比的等比数列.

(1)证明：；

(2)若，求数列的通项公式及其前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)，

【分析】（1）先求得，然后根据递推关系证得.

（2）先求得，然后结合等比数列前项和公式求得.

【详解】（1）依题意，，，，，

，且是以为公比的等比数列，

所以，

所以，则，

两式相除得.

（2）由（1）知数列和数列都是公比为的等比数列，

所以，

，

，所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以.

19．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)若函数的图像关于点中心对称，求在上的值域.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；

（2）首先表示出，根据对称性求出，即可得到的解析式，再根据的取值范围求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；

【详解】（1）解：

，

即，

令，解得，

所以函数的单调递增区间为.

（2）解：因为，

又的图像关于点中心对称，

所以，解得，

因为，所以，

所以，

当时，所以，

所以.

20．已知函数，其中.

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)如果对于任意，都有，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先将代入得到解析式，对求导可得切线的斜率，由得切点的坐标，利用点斜式得到切线方程；

（2）将代入得到，所以将对于任意都有转化成了，构造函数，对求导判断函数单调递增，从而得，即得证.

【详解】（1）当时，由已知得，故，

所以，又因为，

所以函数的图象在点处的切线方程为，

即；

（2）由，，得，

设函数，，

则，

因为，所以，，

所以当时，，

故函数在上单调递增，

所以当时，，

因为对于任意，都有成立，

所以对于任意，都有成立．

所以．

【点睛】思路点睛：本题利用导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.

21．数列中，为的前项和，，.

(1)求证：数列是等差数列，并求出其通项公式；

(2)求证：数列的前项和.

【答案】(1)

(2)证明见详解.

【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得到，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；

（2）由（1）可得，适当放大再利用裂项相消法求和即可.

【详解】（1）数列中，为的前项和，，①，

当时，，解得；

当时，②，

①②得③，

所以④，

由③④得，

所以数列为等差数列，

所以公差，

所以．

（2）由（1）可得，所以，

所以，

当时，，

当时，，

  ,

综上.

22．已知.

(1)讨论函数的单调性；

(2)设是的导数.当时，记函数的最大值为，函数的最大值为.求证：.

【答案】(1)在上单调递增

(2)见解析

【分析】（1）求导即可由导函数的正负求解原函数的单调性，

（2）根据（1）的结论，分别求解，，即可作差求解大小.

【详解】（1）函数的定义域为,，

令，

当单调递增，当单调递减，所以，即

故函数在上单调递增

（2）由（1）知在时，单调递增，且，

故，

所以，

由于，

所以，故,

而,

因此