2023届黑龙江省哈尔滨市南岗区哈尔滨市第七十三中学校高三上学期期中数学试题含答案

2023届黑龙江省哈尔滨市南岗区哈尔滨市第七十三中学校高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解对数不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.

【详解】由，即，解得，

所以，

由，即，所以，解得，

所以，

所以.

故选：D

2．复数的模为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算可得，再求模长.

【详解】，

所以.

故选：D.

3．已知两个单位向量满足．则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知求得，再由数量积求向量的夹角公式求解．

【详解】由已知可得，，

由，得，则，

，

，

，∴向量与的夹角为.

故选：B

4．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三角函数定义求，再由半角公式和诱导公式求，

【详解】平面直角坐标系中，角的终边经过点，

由三角函数定义可得，

因此，．

故选：C

二、多选题

5．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（    ）

A．等边三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】CD

【分析】由已知及余弦定理可得，又，可解得，又，由正弦定理，余弦定理解得，整理解得，可得的形状.

【详解】

由余弦定理可得：

，.

又，

由正弦定理可得：，

根据余弦定理，

整理可得：，即有，

结合，从而可知三角形为钝角等腰三角形.

故选：CD.

三、单选题

6．如图所示，在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是，AD的中点，那么异面直线OE与所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，向量与的坐标，用两向量的夹角公式求出余弦值，进一步计算可得正弦值．

【详解】在正方体中建立如图所示的空间直角坐标系，

因为正方体棱长为2，是底面的中心，E，F分别是，AD的中点，

所以，，

，，

所以异面直线OE与所成角的余弦值等于，

可得异面直线OE与所成角的正弦值为.

故选：A．

7．已知直三棱柱

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝

8．近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术处于国际领先水平．某公司用9万元进购一台新设备用于生产电机，第一年需运营费用3万元，从第二年起，每年营运费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为12万元，设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】D

【分析】根据给定条件，建立等差数列模型，利用等差数列的通项及前n项和公式求解作答.

【详解】依题意，该设备每年营运费用依次排成一列，可得等差数列，其中首项，公差，

则该设备第n年营运费用，前n年营运总费用，

因此，年平均盈利额，

当且仅当，即时取等号，

所以年平均盈利额达到最大值时，.

故选：D

9．设、为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且，，则下列命题中真命题是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可．

【详解】由，为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且，，知：

在中，，则，满足平面与平面垂直的判定定理，所以正确；

在中，若，不能得到，也不能得到，所以得不到，故错误；

在中，若，则与可能相交、平行或异面，故不正确；

在中，若，则由面面平行的性质定理得，不一定有，也可能异面，故错误．

故选：．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

四、多选题

10．如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（    ）

A．

B．

C．向量与夹角是

D．向量与所成角的余弦值为

【答案】CD

【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果.

【详解】在平行六面体中，其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是，

.

对于A，

，， A正确；

对于B，

，

，即，B正确；

对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则，

，且向量与的夹角是，

向量与夹角是，C错误；

对于D，，

，

，

，D错误.

故选：CD

11．已知偶函数，（，）的周期为，将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，则下列结论不正确的是（    ）

A．函数 B．函数在区间上单调递增

C．函数的图象关于直线对称 D．当时，函数的零点是

【答案】AB

【分析】利用周期求出，利用奇偶性求出得到可判断A；根据三角函数的单调性可判断B；带入计算可判断C；求出的零点可判断D.

【详解】

，因为，所以周期得，

所以为偶函数，所以，

因为，所以，所以，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，故A错误；

对于B，当时，，而函数在上不单调，因此函数在区间上不单调，B错误；

对于C，当时，，为的最小值，因此函数的图象关于直线对称，C正确；

对于D，令，得，，

当时，函数的零点是，故正确.

故选：AB.

12．已知函数，下列说法中错误的是（    ）

A．函数在原点处的切线方程是

B．是函数的极大值点

C．函数在R上有3个极值点

D．函数在R上有2个零点

【答案】AB

【分析】根据导数的几何意义即可判断A；根据导函数与极值点的关系可判断B；利用函数极值点即为导函数等于0时方程的解，作出图像数形结合，可判断C；将零点问题转化为函数图象交点问题，数形结合，判断D.

【详解】由于函数，故，则，

故函数在原点处的切线方程是，即，A正确；

当和时，，在和上单调递增，

当时，，在上单调递减，

故是函数的极大值点，B正确；

由，得，该函数为偶函数，且时，，

故的零点不会是奇数个，

结合的图象的交点情况，可知的变号零点必为偶数个，

即函数在R上不会有3个极值点，C错误；

函数的零点个数即为的图象的交点个数，

由前面分析可知的极大值为，极小值为，

故作出函数的图象如图：

由此可知函数的图象的交点有3个，

即函数在R上有3个零点，D错误，

故选：AB

【点睛】方法点睛：对于C选项的判断，结合导数与函数极值点的关系，明确极值点即为导数等于0时方程的解，从而结合导函数的性质，数形结合，进行判断；对于D选项，亦可结合函数特征，作出图象，数形结合，进行求解.

五、填空题

13．点到直线的距离的最大值是        ．

【答案】

【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离的最大值为.

【详解】因为直线恒过点，

记，直线为直线，

则当时，此时点到直线的距离最大，

∴点到直线距离的最大值为：

.

故答案为：.

14．在棱长为4的正方体中M，N分别为，AB的中点，则三棱锥的体积为         ．

【答案】

【分析】利用计算即可.

【详解】因为正方体的棱长为4，M，N分别为，AB的中点，

所以

.

故答案为：.

15．已知等差数列前n项和为，，则        ．

【答案】20

【分析】根据等差数列的性质，推得也成等差数列，再结合已知数据，即可求解．

【详解】等差数列前n项和为，则也成等差数列，

则，由，有，解得．

又，即，解得．

故答案为：20

16．已知，若，则        ．

【答案】/

【分析】由已知函数解析式， 结合对数及指数的运算性可求.

【详解】因为，，

所以，

则.

故答案为：.

六、解答题

17．若是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，．

(1)求数的通项公式；

(2)设，是数列的前项和，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据题意，列出方程，结合等比数列的定义可求出，进而可得答案；

（2）由（1）得，进而用裂项相消法求出的前项和，再证明即可.

【详解】（1）解：根据题意，设等差数列 公差为，

因为成等比数列，

所以，即，

整理得：，解得

所以，

（2）解：

，

因为，所以，

所以.

18．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：//平面AEC

(2)设三棱锥的体积是，，求平面DAE与AEC的夹角．

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算公式进行计算证明即可；

（2）根据空间向量夹角公式，结合棱锥体积公式进行求解即可.

【详解】（1）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，

由几何关系有：，

则直线的方向向量为：，，

设平面的法向量，则：，

据此可得：平面的一个法向量为，

结合可知：，即

据此可得：平面.

（2）因为平面ABCD，E为PD的中点．，

所以点E到平面ABCD的距离为，

因为三棱锥的体积是，

所以有，

结合（1）的结论可知：，

则平面的一个法向量为.

由平面可知平面的一个法向量为：，

据此可得：，

则，

观察可知二面角的平面角为锐角，

故二面角的余弦值为.