2023届新疆克孜勒苏柯尔克孜自治州第一中学高三上学期期中数学（理）试题含答案

这是一份2023届新疆克孜勒苏柯尔克孜自治州第一中学高三上学期期中数学（理）试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届新疆克孜勒苏柯尔克孜自治州第一中学高三上学期期中数学（理）试题 一、单选题1．已知p： q：，则p是q的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据与的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当时，，所以，所以充分性满足，当时，取，此时不满足，所以必要性不满足，所以是的充分不必要条件，故选：A.2．已知集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先分别解一元二次不等式和指数不等式而得集合A，B，然后求A与B的交集即可得解.【详解】解得，即，解得，即，于是有，所以.故选：B3．若直线与平行，则的值为（    ）A． B． C．或 D．或1【答案】B【分析】根据直线平行与系数之间的关系，列出等式，求解即可.【详解】因为直线与平行故可得，且，解得.故选：.【点睛】本题考查由直线的位置关系求参数值，属简单题.4．如图，在四棱锥中，平面，M，N分别为，上的点，且，，若，则的值为（    ）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】以为基底表示，由此求得，进而求得.【详解】，所以.故选：B5．如图所示，已知在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则的长为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，再由向量数量积的运算性质即可得解.【详解】∵，，∴，∵，∴．∵，∴．∴．故选：A．6．过点且与原点距离最大的直线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根据题意得到过点且与垂直的直线为所求直线，再求直线方程即可.【详解】由题知：过点且与原点距离最大的直线为过点且与垂直的直线.因为，故所求直线为，即.故选：A【点睛】本题主要考查直线方程的求解，数形结合为解题的关键，属于简单题.7．三棱锥中，底面ABC，，，D为AB的中点，，则点D到面的距离等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】在三角形SAB内作AE⊥SB交SB于E，进而根据条件证明AE⊥面SBC，算出AE的长度，再根据D为AB的中点得到答案.【详解】如图，在三角形中，过A作AE⊥SB交SB于E，因为面，所以，又，，所以面，因为面，所以，而AE⊥SB，且，所以AE⊥面SBC.在三角形SAB中，由勾股定理易得，则由等面积法可得：，因为D为AB的中点，所以D到平面SBC的距离为：.故选：C.8．已知点是双曲线C：（，）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足，则双曲线C的离心率的取值范围为A． B． C． D．【答案】C【详解】由 ，可得 ，即有 为直角三角形，且，可得 ，由双曲线定义可得 ，又 ，可得，即有 ，化为，即有 ，可得 ，由 可得 ，故选C．9．数列，用图象表示如图所示，记数列的前n项和为，则（    ）．  A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】数列，用图象可知，在取不同值时的符号，然后利用排除法，即可求解.【详解】由题意，数列，用图象可知，当时，；当时，，所以时，，所以，可排除A项；由，所以，可排除D项；由，所以，可排除C项；当时，，所以，可得B项正确.故选：B.【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据的符号，判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据或与1的大小关系，进行判定；3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.10．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到，由n为264 的因数，且为偶数，把四个选项一一代入验证即可.【详解】设最上面一层放根，一共放n（n≥2）层，则最下一层放根，由等差数列前n项和公式得：，∴，∵,∴n为264 的因数，且为偶数，把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.故选：D【点睛】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；（2）等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．11．设正实数满足 ，则下面成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得，从而可得，由此可得【详解】解：因为正实数满足 ，所以，所以，所以，即，故选：C12．在中，分别是，上的点，与交于点，且，，，，设在上的投影向量为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的数量积的定义结合正弦定理求出，再利用已知条件判断出为的中点，为的三等分点，然后建立合适的平面直角坐标系，求出各点的坐标和向量的坐标，根据向量数量积的几何意义计算可得．【详解】解：由，可得所以，则，由正弦定理可得，，则有，即，所以，同理可得，所以，故为等边三角形，因为，则为的中点，又，则为的三等分点，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标如图所示，则，,因为,所以在方向上的正射影的数量为，因为，所以．故选：D 二、填空题13．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是        .【答案】【分析】由向量的数量积运算，易得a·b＝0，从而得垂直关系.【详解】∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.∴a⊥b.答案：a⊥b．【点睛】本题主要是考查了向量垂直的条件：数量积为0，属于基础题.14．以下四个关于圆锥曲线的命题：①设、是两个定点，为非零常数，若，则的轨迹是双曲线；②过定圆上一定点作圆的弦，为原点，若，则动点的轨迹是椭圆；③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线与椭圆有相同的焦点.其中正确命题的序号为          【答案】③④【解析】根据双曲线的定义可判断①的正误；推出点是的中点，利用垂径定理和圆的定义可判断②的正误；求出方程的两根，结合椭圆、双曲线离心率的取值范围可判断③的正误；求出双曲线与椭圆的焦点坐标，可判断④的正误.【详解】①不正确，若动点的轨迹为双曲线，则，当点在的延长线上时，显然这种曲线是射线，而非双曲线；②不正确，，，则是的中点，根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直于这条弦，设圆心为，那么有，即恒为直角，由于是圆的半径，为定值，而恒为直角，也就是说，在以为直径的圆上运动，为直径所对的圆周角，所以点的轨迹是一个圆；③正确，方程的两根分别为和，可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④正确，双曲线与椭圆的焦点坐标都是.故答案为：③④.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.15．已知直线：，：，若，则实数的值为           .【答案】【分析】分类讨论直线的斜率是否存在即可求解.【详解】若直线的斜率存在，即，直线的斜率，，所以有，即，解得：，若直线的斜率不存在，即，此时，不满足.综上：故答案为：16．已知函数的周期为2,当时,那么函数的图象与函数的图象的交点共有          【答案】10【详解】依题意可得和的图象如下：因为，所以由图可知总共有10个交点 三、解答题17．在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求的值即可；（2）由（1）可得，利用正弦定理求得．【详解】（1）在中，由，整理得，又由余弦定理，可得；（2）由（1）可得，又由正弦定理，及已知，可得；故.18．平面直角坐标系中，圆C过点，，且圆心C在直线上，（1）求圆C的标准方程；（2）求过点A 的圆C的切线方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意建立方程组，解之即可求出结果；（2）根据圆心C与点A所在直线的斜率，进而求出过点A 的圆C的切线的斜率，然后根据点斜式即可求出结果.【详解】（1）设圆C的标准方程为，圆心为，则，解得，故圆C的标准方程为；（2）因为直线的斜率为，则所求切线的斜率为，所以过点A 的圆C的切线方程为，即.19．如图，在直四棱柱中，，，，．求证：；【答案】证明见解析【分析】根据直四棱柱的性质可得，，再由，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】证明：在直四棱柱中平面，平面．所以，．又，所以，，两两互相垂直，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，．所以，所以．20．如图，已知抛物线和抛物线的焦点分别为和，是抛物线上一点，过且与相切的直线交于，两点，是线段的中点．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（1）根据抛物线的方程求出焦点的坐标，直接求解即可；（2）设直线的方程，与两个方程分别联立，利用一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合导数的几何意义、圆的性质进行求解即可.【详解】解：（Ⅰ）由题意得，，，所以．（Ⅱ），设，设直线的方程为，所以，因此的坐标为，联立方程组，消去，得，因为直线与相切，所以，得， 联立方程组，消去，得，设，，，则，，所以，．因为点在以线段为直径的圆上，所以，即，解得，经检验满足题意，故直线的方程是．【点睛】关键点睛：根据导数的几何意义求出切线的斜率是解题的关键.21．如图一,等腰梯形,,,,分别是的两个三等分点,若把等腰梯形沿虚线,折起,使得点和点重合,记为点,如图二.(1)求证:平面平面.(2)求四棱锥P-ABEF的表面积.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）推导出BE⊥EF，BE⊥PE，从而BE⊥面PEF，由此能证明平面PEF⊥平面ABEF（2）分别计算四棱锥的各面面积，求和即可.【详解】（1）∵等腰梯形分别是的两个三等分点，∴ABEF是正方形,∴BE⊥EF,∵BE⊥PE，且PE∩EF=E，∴BE⊥面PEF，又BF⊂平面ABEF,∴平面PEF⊥平面ABEF．（2）在等腰梯形中，由（1）知,,即折起后,中,,中，，，表面积【点睛】本题主要考查了面面垂直、线面垂直的证明，四棱锥的表面积，属于中档题．22．已知椭圆：的右焦点为，，直线：．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点．（1）求椭圆的标准方程：（2）若，求直线的方程：（3）是否存在实数，使得恒成立?若存在，求实数的值：若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【解析】（1）由题可直接计算出，得出椭圆方程；（2）设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，由为线段的中点，建立方程即可求出，得出直线方程；（3）设，，，利用点差法可得，进而可得出，表示出各向量坐标，即可求出.【详解】（1）由已知可得：，解得：，．椭圆的标准方程为：.（2）由可知：即，可得：，设，，直线的方程为，联立，得：，为线段的中点，则，即，解得：，所以直线的方程为．（3）设，，，，，，由，两方程相减得，即，∴，即，又，∴，∵，∴，即，，，，，∴．∴存在满足题意的，且．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查中点弦问题，考查椭圆中的向量问题，属于较难题.