2022届江西省丰城市第九中学、万载中学、宜春一中高三上学期期末联考数学（文）试题含答案

2022届江西省丰城市第九中学、万载中学、宜春一中高三上学期期末联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知实数集，集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求得集合，集合，再结合集合的交集运算，即可求解.

【详解】由集合，集合，

所以.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合，再结合集合的交集的运算进行求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2．若复数z满足，则z的虚部等于（    ）

A．4i B．2i C．2 D．4

【答案】D

【分析】由复数乘除法运算求得后可得结论．

【详解】由题意，虚部为4．

故选：D．

3．已知，则（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【解析】利用诱导公式及同角三角函数的关系，可得，利用两角差的正切公式展开，代入数据，即可得结果.

【详解】因为，

利用诱导公式可得，即，

所以，

故选：C

4．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、三个数的大小关系.

【详解】因为，，，所以.

故选：D.

5．“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据方程表示双曲线列出不等式，得出，再由充分不必要条件的定义得出答案.

【详解】表示双曲线，则，所以

故选：A

【点睛】本题主要考查了由方程表示双曲线求参数范围以及由充分不必要条件求参数范围，属于基础题.

6．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（    ）

A．167 B．174 C．176 D．180

【答案】B

【分析】首先求出样本中心，再根据样本中心在回归直线上求得，进而估计学生脚长为25厘米的身高.

【详解】由题设，，且，

所以，故回归直线为，

当厘米，则厘米.

故选：B

7．△ABC中，D为AB上一点且满足，若P为CD线段上一点，且满足（，为正实数），则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．的最大值为 D．的最小值为3

【答案】D

【分析】由向量对应线段的位置及数量关系用表示判断A；由题设可得，结合共线有，结合基本不等式“1”的代换等判断B、C、D.

【详解】由，A错误；

由，则，

因为共线，所以，则，B错误；

而，仅当，即时等号成立，

故，即，故的最大值为，C错误；

，仅当，即时等号成立，

所以的最小值为3，D正确.

故选：D.

8．现有A，B两个不透明的袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球，其中A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球.小明和小华商定了一个游戏规则：从摇匀后的A､B袋中各随机摸出一个小球交换一下放入另一个袋子，若A､B袋中球的颜色没有变化，则小明获胜；若有变化，则小华获胜.下面说法正确的是（    ）

A．小明获胜概率大 B．小华获胜概率大 C．游戏是公平的 D．获胜概率大小不能确定

【答案】B

【分析】列举出所有的事件，根据概率公式计算，比较即可判断．

【详解】根据题意，列表如下：

由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有5种，颜色相同的结果有4种，

若摸出球的颜色相同，则A、B袋中球的颜色没有变化，若摸出球的颜色不相同，则A、B袋中球的颜色发生变化．设小明获胜为事件A，小华获胜为事件B，则，，由于，故小华获胜概率大．

故选：B．

9．已知点A（1，0），B（1，6），圆，若在圆C上存在唯一的点P使，则（    ）

A．–3或3 B．57 C．–3或57 D．3或57

【答案】C

【分析】由以AB为直径的圆与圆C两圆相切求解.

【详解】由题意，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切.

因为，，

所以以AB为直径的圆M的方程为，

圆.

因为两圆相切，

所以，即，

解得或.

故选：C

10．设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，线段与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为

A．6 B．4 C．3 D．2

【答案】D

【详解】试题分析：设点，，由，得，即，所以点．因为点在渐近线上，则，即，选D．

【解析】1、向量的运算；2、离心率的求法．

11．已知在区间是单调函数，若，且.将曲线向右平移1个单位长度，得到曲线，则函数在区间上的零点个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】由最大值得对称轴，由单调性得减函数，由已知求得函数的一个零点，得周期，从而可得，再由最大值求得，求得函数解析式，结合三角函数图象变换可得的解析式，新函数的零点个数转化为两个函数图象交点个数，作出函数图象可得结论．

【详解】因为在区间是单调函数，若，

所以是图象的对称轴，是最大值，因此在上递减，

从而在上递增，，

又，所以，

，，，，

所以，

所以，

，是偶函数，

在区间上的零点个数即为的图象与的图象交点个数．

作出和的图象，由图象可知它们有5个交点．

故选：C．

【点睛】思路点睛：本题考查求函数零点个数，解题时根据三角函数性质求得函数解析式，而所求零点个数问题的关键是转化为函数图象交点个数，作出函数图象可得结论．

12．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】把不等式进行变形，引入函数，由导数确定函数单调性，由单调性及不等关系得结论．

【详解】由已知，，则．

设，则．

因为，则．又，则，即，从而．

当时，，则在内单调递增，

所以，即，

故选：B．

二、填空题

13．设非零向量，的夹角为．若，且，则____________．

【答案】60°/

【分析】由向量垂直的表示，应用数量积的运算律及定义求夹角即可.

【详解】由题设，

所以，又，

所以.

故答案为：

14．若关于x的不等式的解集为R，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用三角不等式求出的最小值，进而求得答案.

【详解】根据题意，，所以.

故答案为：.

15．如图，在平行四边形ABCD中，，，将平行四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥，使平面平面BCD，在下列结论中：

①直线CD平面；

②平面平面BCD；

③BC与成角的大小为45°；

④棱上存在一点到顶点、B、C、D的距离相等；

⑤点B到平面的距离为；

所有正确结论的编号是____________．

【答案】①②④

【分析】由面面垂直的性质判断①；由面面垂直性质得面BCD，再根据面面垂直的判定判断②；根据异面直线夹角的定义找到其平面角，结合已知求其大小判断③；利用线面垂直的性质证△、△都是以为斜边的直角三角形，即可判断④；应用等体积法求点面距离判断⑤.

【详解】由题设知：，则，又面面BCD，

由面面BCD，面BCD，故面，①正确；

由题设，，即，故，又面面BCD，

由面面BCD，面，故面BCD，面，

所以面面BCD，②正确；

若分别为中点，连接，

所以，故（三角形内角）是BC与成角的平面角或其补角，

由已知，，，，

所以，则，

即，故BC与成角的大小为，③错误；

由面BCD，面BCD，则，故△为直角三角形，

由面，面，，故△为直角三角形，

所以△、△都是以为斜边的直角三角形，故的中点到、B、C、D的距离相等，④正确；

由，面BCD，且△、△都是直角三角形，

若B到平面的距离为，则，

所以，即B到平面的距离为，⑤错误.

故答案为：①②④

16．对于正整数,记表示的最大奇数因数，例如.设.当时，__________．

【答案】

【分析】通过计算观察可知与，从而利用等差数列的前项和与递推式即可得解.

【详解】通过计算可得，

所以由此可以发现与，

则

，

所以.

故答案为：．

【点睛】难点点睛：解答本题的难点是如何观察出规律“”及“是等差数列”，这是解答本题的关键和突破口，从而巧妙获解．

三、解答题

17．为了解观众对球类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看球类体育节目时间的频率分布直方图､2×2列联表（将日均收看球类体育节目时间不少于40分钟的观众称为“球迷”）.

(1)根据已知条件完成上图的2×2列联表；

(2)据此调查结果，是否有的把握认为“球迷”与性别有关？

附：（其中）.

临界值表：

【答案】(1)答案见解析.

(2)有的把握认为“球迷”与性别有关，理由见解析.

【分析】（1）根据频率分布直方图求出人中，球迷和非球迷的人数，补全2×2列联表；

（2）由列联表计算的值与临界值比较即可判断.

【详解】（1）观众日均收看球类体育节目时间少于40分钟的人数为：

人，即非球迷为人，所以球迷为人，

可得列联表如图：

（2）由列联表可得：，

所以有的把握认为“球迷”与性别有关.

18．已知数列的前n项和Sn＝2n＋1＋A，若为等比数列.

(1)求实数A及的通项公式；

(2)设bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Tn.

【答案】(1)A＝－2，.

(2)

【分析】（1）根据题意，求出数列前三项的表达式，由等比数列的性质可得关于A的方程，解可得A的值，即可得等比数列的首项和公比，计算可得答案；

（2）根据题意，由（1）的结论，求出数列的通项公式，由错位相减法分析可得答案.

【详解】（1）根据题意，数列的前n项和S＝2n＋1＋A，

则a1＝S1＝22＋A＝4＋A，

a2＝S2－S1＝（23＋A）－（22＋A）＝4，

a3＝S3－S2＝（24＋A）－（23＋A）＝8，

又由为等比数列，则a1×a3＝（a2）2，即（4＋A）×8＝42＝16，

解可得A＝－2，

则a1＝4－2＝2，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，

则，

（2）设，则设，

则，

故，①

则有，②

①－②可得：，

变形可得：，

故.

19．已知函数．

(1)设，求函数的单调递减区间；

(2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边的中点，若，求线段的长的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后求出，再由复合函数的单调性与正弦函数的单调性得出减区间；

（2）由（1）求得，由余弦定理得关系，结合基本不等式得的范围，利用中线向量公式，平方后结合向量的数量积运算可求得中线长的范围．

【详解】（1）由已知，．    

则，

所以当单调递减时，函数单调递增．              

令，得．

所以函数的单调递减区间是．

（2）因为，则．         

又，由余弦定理，得，即．         

因为D为的中点，则．         

因为，则，即，当且仅当b=c=1等号成立，所以，即．

以线段的长的取值范围是

20．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，为与的交点，为棱上一点.

（1）证明：平面平面；

（2）若 平面，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）由已知得，，由此能证明平面平面.

（2）由已知得，取中点，连结，由此利用，能求出三棱锥的体积.

【详解】（1）证明：∵平面，平面，

∴.

∵ 四边形是菱形，

∴，

又∵，

∴ 平面.

又∵平面，

∴平面平面.

（2）∵平面，平面平面，

∴，

∵是中点，

∴是中点.

取中点，连结 ，

∵四边形是菱形，，

∴，

又，，

∴平面，.

∴ .

∴三棱锥的体积.

【点睛】本题考查面面垂直的证明，等体积法转化法求几何体的体积，考查空间思维能力，是中档题.

21．已知点P是椭圆上一动点，分别为椭圆的左焦点和右焦点，的最大值为，圆．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过圆O上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以为直径的圆过点O．

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【分析】(1)由的最大值为确定出点P的位置，探求出b与半焦距c的关系即可得解；

(2)切线MN斜率不存在时，可得，切线MN斜率存在，设出其方程，再与椭圆方程联立，借助韦达定理计算即可得解.

【详解】(1)当点P在短轴端点处时，最大，而的最大值为，则有，，

所以所求椭圆的标准方程为；

(2)过点Q的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为或，由椭圆及圆的对称性，不妨令切线为，

由(1)可得，，于是得，即，

过点Q的圆O的切线斜率存在时，设切线方程为，则有，即，

由消去y得：，

显然圆O在椭圆C内，则圆O的每一条切线都与椭圆C交于两点，设，，

，而，，

于是得

，

则有，

综上，过圆O上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M，N，都有，

所以，以为直径的圆过点O.

22．已知函数．

(1)求函数的极值；

(2)设，若对都有成立，求a的最大值．

【答案】(1)极大值为，无极小值

(2)1

【分析】（1）求出函数的导函数，根据导函数的符号求出函数的单调区间，从而可得出答案；

（2）由题意知，，即对恒成立，令，求出函数的最小值，即可得出答案.

【详解】（1）解：函数的定义域为，

因为，令，解得，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以的极大值为，无极小值；

（2）解：由题意知，，

即对恒成立，

令，

则，                

令，则，

所以在上单调递增，                

又因为，

所以在内必存在，使得，        

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增；

所以，                

因为，即，

所以，        

因为在上单调递增，所以，

又因为，所以，所以，                

所以a的最大值为1．

【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间、极值及最值问题，还考查了不等式恒成立问题，考查了学生的数据分析能力和计算能力，难度较大。