2023届甘肃省酒泉市高三上学期期末考试数学（理）试题含答案

2023届甘肃省酒泉市高三上学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解出不等式，然后根据交集的定义可得答案.

【详解】因为，所以.

故选：D

2．若，则在复平面内复数z对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.

【详解】因为，

所以，

故z对应的点位于复平面内第二象限．

故选：B．

3．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，求出导数，即可求出，从而得解；

【详解】解：设，所以，所以．

故选：A

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二倍角的余弦公式和基本关系式求解.

【详解】因为，

所以．

故选：C．

5．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据等差数列前项和公式，及下标和性质得到、，即可得到方程，计算可得；

【详解】解：由，有，得．

故选：A

6．若实数x，y满足约束条件则的最大值是（    ）

A．16 B．12 C．10 D．15

【答案】A

【分析】作出可行域，由数形结合求解即可.

【详解】由实数x，y满足约束条件画出可行域，如图阴影部分：

将转化为，

平移直线，当直线经过时，直线在y轴上的截距最大，

此时目标函数取得最大值，最大值为．

故选：A

7．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，使窗成为传统建筑中最重要的构成要素之一，成为建筑的审美中心．如图所示的窗棂图案，是将正方形的内切圆六等分，连接对应等分点，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意，根据几何概型，只需要求阴影部分的面积之和比上正方形的面积.

【详解】根据题意，设正方形边长为，∴正方形面积为，，∴，,由几何关系易得每个小阴影三角形是正三角形，∴阴影部分面积为：

．∴若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为．

故选：B

8．已知p：“”，q：“函数（，且）的图象不经过第二象限”，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据指数函数的图象以及充分必要条件的定义判断即可.

【详解】当的图象不过第二象限，

当时，的图象也不过第二象限．

因此p是q的充分不必要条件．

故选：A．

9．已知等比数列中，，公比，则下列说法正确的是（    ）

A．数列是等比数列 B．数列不是等比数列

C．数列是等比数列 D．数列是单调递减数列

【答案】C

【分析】先求得，然后结合等差、等比数列的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项．

【详解】∵等比数列中，，公比，∴．

由此可得，故A错误；

，故数列是等比数列，故B错误；

，故数列是等比数列，故C正确；

，故数列是递增数列，故D错误．

故选：C．

10．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若的最小值为4，则的最小值是（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】根据焦点弦的性质得到，设直线的倾斜角为，即可得到，，再根据三角函数的性质计算可得；

【详解】解：抛物线的焦点弦，故，设直线的倾斜角为，则，，则．当且仅当，即时取等号；

故选：C

11．在中，，，P为上一点，且满足，若，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，则，结合已知化简可得再由，得，化简得，结合前面的式子可求得，从而可求出的值，进而可求得结果

【详解】设，则，

将代入化简得，

则

又，则，化简得，

将代入得，

所以，则的值是．

故选：B．

12．定义空间直角坐标系中的任意点的“N数”为：在P点的坐标中不同数字的个数，如：，若点P的坐标，则所有这些点P的“N数”的平均值与最小值之差为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】由题意，点P的坐标中不同数字的个数，可分为三类：恰有3个相同数字的排列为种，恰有2个相同数字的排列为种，恰有0个相同数字的排列为种，求得其平均值和最小值，由此可得选项.

【详解】解：由题意，点P的坐标中不同数字的个数，可分为三类：

（1）恰有3个相同数字的排列为种，则共有4个；

（2）恰有2个相同数字的排列为种，则共有36个；

（3）恰有0个相同数字的排列为种，则共有24个．

所以平均值为，

故选：A．

二、填空题

13．若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则________．

【答案】

【分析】根据图象平移运算公式即可求解．

【详解】函数，则．

故答案为：

三、双空题

14．已知随机变量满足，且，则_______；_______

【答案】          /

【分析】由求出的值，再根据两个随机变量间的关系可求得结果

【详解】，，

，．

故答案为：，

四、填空题

15．已知双曲线的左、右焦点为，过的直线交双曲线右支于A，B两点，若，且，则该双曲线的离心率为___________．

【答案】/

【分析】设，由题意可得，结合双曲线定义可得，再利用勾股定理可得结果.

【详解】设，因为，且，

所以，

由双曲线的定义得，

因为，

所以，解得，

所以在中，，

即，解得．

故答案为：

16．在一个棱长为的正方体内部有一个大球和小球，大球与正方体的六个面都相切，小球可以在正方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球体积的最大值是___________．

【答案】/

【分析】作出组合体的中截面，由题意可得大球半径R和小球半径r满足，从而可求出，进而可求得答案

【详解】如图所示，为组合体的中截面，易知当小球的表面积最大时大球半径R和小球半径r满足，解得，故小球体积的最大值为．

故答案为：

五、解答题

17．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．

(1)证明：；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)6

【分析】小问1：证法一：运用余弦定理可证，证法二：利用正弦定理可证；

小问2：由余弦定理求得，结合三角形面积公式可求结果．

【详解】（1）（1）证法一：∵，∴，

由余弦定理可得．

则，

，∴．

证法二：∵，由正弦定理得，

∴，

可得，

所以由正弦定理可得．

（2）（2）由余弦定理可得

．

∴，∴，

∵，A为三角形内角，∴，

∴．

18．如图，在五面体中，底面四边形为正方形，平面平面.

（1）求证：；

（2）若，，，，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）证明平面，即得证；

（2）以D为坐标原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【详解】证明：（1）在正方形中，，

平面，平面，

平面，

又平面，且平面，

.

（2）四边形为正方形，

，平面,

平面，

平面，

，

又，以D为坐标原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，

可知为平面的一个法向量，

设平面的一个法向量为，

，则，令，，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则，

故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

19．甲乙两队进行篮球比赛，约定赛制如下：谁先赢四场则最终获胜，已知每场比赛甲赢的概率为，输的概率为．

(1)求甲最终获胜的概率；

(2)记最终比赛场次为X，求随机变量X的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）设甲最终获胜的概率为P，分四局比赛获胜、五局比赛获胜、六局比赛获胜、七局比赛获胜这几种情况讨论，根据相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算可得．

（2）依题意X的所有可能取值为4，5，6，7，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．

【详解】（1）解：设甲最终获胜的概率为P．

∵甲四局比赛获得胜利的概率为；

甲五局比赛获得胜利的概率为；

甲六局比赛获得胜利的概率为；

甲七局比赛获得胜利的概率为．

∴．

∴甲最终获胜的概率为．

（2）解：X的所有可能取值为4，5，6，7．

；；

；．

随机变量X的分布列为：

∴．

∴X的数学期望为

20．已知为椭圆上的一点，为椭圆C的左、右焦点，点，直线将的面积分为3∶1两部分．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线与椭圆C相交于P，Q两点，M为的中点，O为坐标原点，且，求实数m的最小值．

【答案】(1)

(2)1

【分析】小问1：由为椭圆上的点，所以，又直线将的面积分为3∶1两部分，可得值，即可求方程；

小问2：联立直线与椭圆方程，运用韦达定理和中点公式结合已知条件和判断式大于即可求解．

【详解】（1）（1）由为椭圆上的点，所以，

又直线将的面积分为3∶1两部分，解之可得，，

故椭圆C的方程为．

（2）（2）设，由得，

由，得①，且，

由M为的中点，且，得，

即，

化简得，

代入①中有，，可得，，

令，有．

由函数单调递增，故当时，为m的最小值．

21．已知函数，其中．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】小问1：函数的定义域为，，讨论与即可求解；

小问2：若函数有且仅有两个零点，必有，且，根据的单调性，结合零点存在性定理即可求解．

【详解】（1）（1）函数的定义域为，

，

①当时，，此时函数单调递增，没有减区间；

②当时，令，有，可得函数的增区间为，减区间为，

（2）（2）由（1）可知，若函数有且仅有两个零点，必有，且，

又由，

令，有．可得函数单调递减，

又由，可得时，，

故时，，

当且时，存在M，使得，

有，

存在时，，

故有（利用不等式），

由上知，若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为．

22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点，若直线l与曲线C相交于P，Q两点，求的值．

【答案】(1)曲线C的方程为，直线l的直角坐标方程为

(2)

【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；

（2）利用直线参数方程中参数的几何意义，结合一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.

【详解】（1）在曲线C的参数方程中消去参数m，有，故曲线C的方程为，

直线的极坐标方程展开为，

代入可得直线l的直角坐标方程为．

（2）设直线l的参数方程为t为参数，

代入方程，有，整理为，

设点P、Q对应的参数为，有，

，

有

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1).

(2)或.

【分析】（1）运用零点分类讨论求解即可；

（2）等价于，分和讨论，由恒等式思想可求得答案.

【详解】（1）解：当时，原式化为，

①当时，无解；

②当时，，则，∴，

综上，原不等式的解集为；

（2）解：不等式可化为，

①当时，，此时；

②当时，或或，

而当时，当，，所以要使或恒成立，则需或，

综上得实数m的取值范围为或．