2023届贵州省贵阳市第一中学高三上学期期末数学（理）试题含答案

2023届贵州省贵阳市第一中学高三上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断.

【详解】当时，，

当时，，

所以.

故选：A

2．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】当时可由基本不等式推得；当时解不等式可得，则可判定它们之间的逻辑关系.

【详解】当时由基本不等式可得，当且仅当时取得“=”

当时，则，

可得即，

解得；

所以“”是“”的充要条件.

故选：.

3．在这四个函数中，当时，使得不等式成立的函数的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】依题意可得在内是上凸函数，结合基本初等函数的图象判断即可.

【详解】满足为上凸函数，如图：

分别考虑四个函数在上的图象，

如下图，因为在上是上凸函数，故正确；

如下图，在上不是上凸函数，故错误；

如下图，在上是上凸函数，故正确；

如下图，在上是上凸函数，故正确；

故选：D.

4．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由正弦定理、三角形内角及余弦函数性质判断A、B；特殊值即可判断C、D.

【详解】由，则，而，则，A错；

由，结合余弦函数性质知：，B对；

对于，则，，C、D错；

故选：B

5．已知为所在平面内一点，若，则（    ）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6

【答案】B

【分析】取边中点，由已知及向量的线性运算得，从而得到两个三角形高的比，可得到答案.

【详解】由，得，

取边中点，连接，则，所以，

又与有相同的底边，则它们的高之比即为与的比为，

所以.

故选：B.

6．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知信息可得出，将，代入指数模型求出的值，然后解不等式，结合对数运算可求得结果.

【详解】由题中信息可得，，则，

当时，，即，解得，即，

由，可得，

所以，，

故学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为.

故选：C.

7．若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程分别为、，由题意可知，这两条直线与圆都相交，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.

【详解】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为，

设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为，

则，解得或，

所以，直线、均与圆相交，

所以，，解得，

因此，实数的取值范围是.

故选：C.

8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】作出对应的立体图形，求出各边长和的正弦值，即可求出该几何体的表面积.

【详解】由题意，作出立体图形如下图所示，

过点作于点，

由几何知识得，

,

在中，由勾股定理得，

,

在中，由勾股定理得，

,

在中，由勾股定理得，

在中，由勾股定理得，

在中，由余弦定理得，

，解得：，

∴，

故选：A.

9．已知点是抛物线上的一点，若以抛物线的焦点为圆心，以为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，当的面积为时，则等于（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】依题意可得为等边三角形，则用可表示出，利用三角形面积公式，结合抛物线定义可构造方程求得的值.

【详解】

依题意，所以为等边三角形，

设准线与轴交点为，则，，

则圆的半径，

，解得（负值舍去）.

故选：C.

10．第届世界大学生夏季运动会于月日至月日在成都举办，现在从男女共名青年志愿者中，选出男女共名志愿者，安排到编号为、、、、的个赛场，每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为、的赛场，编号为的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【分析】对女志愿者甲是否被选中进行分类讨论，分别确定各赛场的人员安排，结合分类加法计数原理可得结果.

【详解】分以下两种情况讨论：

①女志愿者甲被选中，则还需从剩余的人中选出男女，选法种数为，

则女志愿者甲可安排在号或号或号赛场，另一位女志愿者安排在号赛场，

余下个男志愿者随意安排，此时，不同的安排种数为；

②女志愿者甲没被选中，则还需从剩余人中选出男女，选法种数为，

编号为的赛场必须安排女志愿者，只需从名女志愿者中抽人安排在号赛场，

余下人可随意安排，此时，不同的安排方法种数为.

由分类加法计数原理可知，不同的安排方法种数为种.

故选：D.

11．已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取MN中点A，连AF2，令，由双曲线定义及所给条件可得，再借助直线斜率为即可求解作答.

【详解】取MN中点A，连，令，则，如图，

因点M，N为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得，，

则，令双曲线半焦距为c，

中，，中，，

则有，即，

因直线的斜率为，即，而，即，

于是有，解得，因此，

所以双曲线的离心率为.

故选：B

【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见方法：①求出a，c，代入公式；

②根据给定条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

12．已知，且，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据余弦函数、正切函数的性质可得当取最小值时取最大值，则问题转化为求出的最小值，依题意利用两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系得到，再结合二次函数的性质求出的最小值，最后根据同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】因为，所以，

所以，

因为，则，，

且在上单调递减，在上单调递增，

要使取最大值，只需取最小值，

所以

，

因为，所以，

所以当时，

此时，解得或（舍去），

所以.

故选：A

二、填空题

13．已知复数是纯虚数，其中，是虚数单位，则      ．

【答案】

【分析】利用复数的概念可得出关于实数的不等式与等式，解出的值，可得出复数，再利用复数的除法可化简复数.

【详解】因为复数是纯虚数，其中，则，解得，

所以，，因此，.

故答案为：.

14．在棱长为1的正方体中，点Q为侧面内一动点（含边界），若，则点Q的轨迹长度为      ．

【答案】/

【分析】根据题设描述确定Q的轨迹，即可求其长度.

【详解】由题意，在面的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆弧，

所以轨迹长度为.

故答案为：

15．已知点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且的最小值为3，则椭圆C的离心率是      ．

【答案】

【分析】若是椭圆左焦点，数形结合及椭圆定义可得，结合已知和两点距离公式求椭圆参数，进而可得离心率.

【详解】由，则在椭圆内，若是椭圆左焦点，

所以，

仅当共线且在之间时取等号，故，即，

而且，则，故，

此时，故.

故答案为：

16．已知是定义在R上的函数，且函数的图象关于直线对称，当时，.若曲线在处的切线与函数的图象也相切，则实数a的值是      .

【答案】

【分析】先根据函数的对称性得的对称性，进一步求出函数的解析式，利用导数的几何意义建立方程求解即可.

【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，

即，所以函数关于对称，

当，即时，，则，所以，

故函数在处的切线为，即，

设直线与相切于点，因为，所以，

所以，所以.

故答案为：

三、解答题

17．已知数列和满足：，，，，其中．

(1)求证：；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知条件可推导出数列为常数列，数列为等比数列，求出这两个数列的通项公式，可求得数列的通项公式，即可证得成立；

（2）由（1）可得出数列的通项公式，利用分组求和法可求得.

【详解】（1）证明：因为①，②，

①②可得，且，

所以，数列为常数列，且③，

①②可得，且，

所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，

所以，④，

③④可得，则，

所以，.

（2）解：由（1）可知，，

则

.

18．新型冠状病毒是一种急性的传染性疾病，传播速度很快，它的传播途径主要是飞沫传播、口液传播以及接触传播等，传播速度最快的是飞沫传播．佩戴口罩能有效预防新冠病毒的感染，双方都戴口罩的情况下新冠病毒感染的几率大概只有，如果戴口罩再加上保持1.8米的距离，感染的几率是，如果双方都不戴口罩，那么感染几率高达．为了调查不同年龄层的人对“佩戴口罩”的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示．

(1)完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与戴口罩态度具有相关性；

(2)现从年龄在50周岁以上（含50周岁）的样本中按是否愿意佩戴口罩，用分层抽样法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记抽出的3人中不愿戴口罩的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

参考公式：．

参考数据：

【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为年龄与戴口罩态度具有相关性

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据频数分布表完善列联表，计算出卡方，即可得解；

（2）首先利用分层抽样求出愿意、不愿意戴口罩的人数，则的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.

【详解】（1）依题意可得列联表如下：

，故有的把握认为年龄与戴口罩态度具有相关性；

（2）年龄在50周岁以上（含50周岁）愿意戴口罩的抽取人，不愿意戴口罩的抽取人，

则的可能取值为、、，

所以，，，

所以的分布列为：

则.

19．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，是等边三角形．

(1)证明：平面平面；

(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）连接，取线段的中点，连接，证明出，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：取线段的中点，连接、，

因为是等边三角形，且，为的中点，所以，，

且，

因为，，，则为等边三角形，

所以，，

又因为，所以，，所以，，

因为，、平面，所以，平面，

因为平面，因此，平面平面.

（2）解：连接，取线段的中点，连接，

因为，则，

又因为，故为等边三角形，

因为为的中点，所以，，

又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

设平面的法向量为，，，

由，取，则，

设平面的法向量为，，，

由，取，可得，

因为，

因此，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

20．已知A，B为椭圆的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP与直线BP的斜率之积为，且椭圆C过点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线AP，BP分别与直线相交于M，N两点，且直线BM与椭圆C交于另一点Q，证明：A，N，Q三点共线．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）令，根据斜率之积及可得，结合点在椭圆上求椭圆参数，即可得椭圆方程；

（2）由题意，设，则，写出M，N两点坐标，求直线BM，联立椭圆求点Q坐标，两点法判断是否成立，即可证结论.

【详解】（1）令，则，又，则，

所以，即，，

由在椭圆上，则，

联立以上两式，可得，故椭圆C的标准方程为.

（2）由题设，直线、斜率存在且不为0，，

令，则，故，，

所以，联立，整理得，

显然，则，则，

由，，即，

所以A，N，Q三点共线.

21．已知函数，，是的导数.

(1)讨论的单调性，并证明：；

(2)若函数在区间内有唯一的零点，求a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出导函数，根据，分类讨论即可，构造函数，利用导数法求解最值即可证明；

（2）把问题转化为方程在区间内有唯一解，构造函数，利用导数研究单调性，数形结合即可求解.

【详解】（1）因为，所以，

当时，，则在上单调递增，

当时，令得，令得，

所以函数的增区间为，减区间为，

令，则，令得，

令得，所以函数的增区间为，减区间为，

所以当时，取得最小值为，

所以，得证；

（2）由（1）知，，

因为函数在区间内有唯一的零点，所以方程在区间内有唯一解，

令，则函数与在上只有一个交点，

记，则，所以在上单调递增，

所以，即，

故，

所以在上单调递增，又，

如图：

要使方程在区间内有唯一解，则.

所以a的取值范围是.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.

22．在直角坐标系中，点的坐标是，曲线的参数坐标方程（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线的极坐标方程为，与交于，两点．

(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？

(2)过点作垂直于的直线交于，两点，求的值．

【答案】(1)，焦点为，顶点为的抛物线（顶点除外）.

(2)

【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线的直角坐标方程；

（2）将曲线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义求出、同理得到，即可得解.

【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，

所以，又，所以，则，

所以，即，

因为，即，所以，

所以曲线的直角坐标方程为，

曲线可以由抛物线向下平移个单位得到，

所以曲线为焦点为，顶点为的抛物线（顶点除外）.

（2）将代入得，

设，对应的参数分别为，，，

所以，

过点作垂直于的直线的参数方程为（为参数，），

将代入得，

设，对应的参数分别为，，，

所以，

所以.

23．已知、、都是正实数．

(1)求证：；

(2)若，求证：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用基本不等式可得出，，，结合不等式的基本性质可证得结论成立；

（2）由已知等式可得出，利用柯西不等式可得出，再利用作商法可证得结论成立.

【详解】（1）证明：因为、、都是正实数，

由基本不等式可得，，，

由不等式的基本性质可得，

所以，，

当且仅当时，等号成立，故.

（2）证明：等式两边同时除以可得，

由柯西不等式可得，

当且仅当时，等号成立，故，

所以，，故.