2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学七年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中是二元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是(    )

A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短
C. 三角形的内角和为 D. 垂线段最短

4.  以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

5.  甲、乙两人在相同条件下，各射击次，经计算：甲射击成绩的平均数是环，方差是；乙射击成绩的平均数是环，方差是下列说法中一定正确的是(    )

A. 甲的总环数大于乙的总环数 B. 甲的成绩比乙的成绩稳定
C. 甲、乙成绩的众数相同 D. 乙的成绩比甲的成绩波动小

6.  下列说法正确的个数有(    )
三角形的三条高线交于一点；
三角形的一个外角等于两个内角的和；
有两边和一角分别相等的两个三角形全等；
角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；
各边都相等的多边形一定是正多边形．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

7.  已知方程，改写成用含的式子表示的形式______ ．

8.  不等式组的解集为______ ．

9.  已知一组数据，，，，，的平均数为，则其数中位数为______ ．

10.  不等式的解集为，则的取值范围是______ ．

11.  若是方程的一个解，则 ______ ．

12.  若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的内角和等于______．

13.  如图，在中，是上一点，，将沿着翻折得到，则 ______ ．

14.  如图，中，，是的平分线，已知，，则点到的距离是______ ．

15.  在中，是高，，，若的面积为，则线段的长度为______ ．

16.  如图，已知是的边上一点，且，，是的中线，若，则 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程组：；
解不等式：．

18.  本小题分
如图，在的正方形网格中，的顶点都在正方形网格的格点上请你在图和图中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件：

以点为一个顶点，另外两个顶点也在正方形网格点上；
与全等，且不与重合．

19.  本小题分
某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩单项满分分如下表所示：

如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照，，的比例计入综合成绩，应该录取谁？

20.  本小题分
如图，与是以点为公共顶点的两个三角形，且，，，且线段、交于．
求证：≌；
在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有的直角三角形．

21.  本小题分
虹桥中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买个大地球仪和个小地球仪需要元；若购买个大地球仪和个小地球仪需要元．
求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
学校决定购买以上两种地球仪共个，总费用不超过元，那么虹桥中学最多可以购买多少个大地球仪？

22.  本小题分
某校为了了解七年级名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班名学生测试成绩分别为：，，，，，，，，，，，，，，．
乙班名学生测试成绩中的成绩如下：，，，，．
【整理数据】

【分析数据】

【应用数据】
根据以上信息，可以求出： ______ ， ______ ， ______ ；
根据以上数据，成绩较整齐的是______ 班的学生填“甲”或“乙”；
若规定测试成绩分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？

23.  本小题分
阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图，在四边形中，，是的中点，、分别平分、求证：．
小明经探究发现，在上截取，连接如图，从而可证≌，使问题得到解决．

请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；
参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
如图，是等腰直角三角形，，点为边上任意一点不与点、重合，以为腰作等腰直角，过点作交的延长线于点，过点作，交于点，连接，猜想、、之间的数量关系，并证明．

24.  本小题分
若不等式组只有个正整数解为自然数，则称这个不等式组为阶不等式组．
我们规定：当时，这个不等式组为阶不等式组．
例如：不等式只有个正整数解，因此称其为阶不等式．
不等式组只有个正整数解，因此称其为阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
是______阶不等式；是______阶不等式组；
若关于的不等式组是阶不等式组，求的取值范围；
关于的不等式组的正整数解有，，，，，
其中．
如果是阶不等式组，且关于的方程的解是的正整数解，直接写出的值以及的取值范围．

25.  本小题分
如图，已知，和分别平分和并交于点．
如图，求证：；
如图，若，为的外角角平分线交的延长线于点，求证：；
如图，在的条件下，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是二元一次方程，选项符合题意；
是三元一次方程，选项不符合题意；
是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，选项不符合题意；
是二元二次方程，选项不符合题意．
故选：．
利用二元一次方程的定义解答即可得出结论．
本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故A不符合题意；
，
，
故B不符合题意；
，
，
故C不符合题意；
，
，
故D符合题意，
故选：．
根据不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，分别判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：由图可知，手机和支架组成了一个三角形，而三角形具有稳定性，所以手机能稳稳放在支架上．
故选：．
根据三角形具有稳定性进行求解即可．
本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，不能构成三角形，不符合题意；
C、，能构成三角形，符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意；
故选：．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．

5.【答案】 

【解析】解：各射击次，甲射击成绩的平均数是环，乙射击成绩的平均数是环，
甲、乙的总环数相同，故A说法错误，不符合题意；
甲射击成绩的方差是；乙射击成绩的方差是，
乙的成绩比甲的成绩稳定，甲的成绩比乙的成绩波动大，故B说法错误，不符合题意；说法正确，符合题意；
由已知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故C说法错误，符合题意；
故选：．
根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案．
本题考查了平均数、方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

6.【答案】 

【解析】解：三角形的三条高线不一定交于一点，原说法错误；
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原说法错误；
有两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，原说法错误；
角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，说法正确；
各边都相等的多边形是正多边形，错误．缺少各个角相等这个条件，原说法错误；
故选：．
根据三角形的高、外角的定义及全等三角形的判定、角平分线的性质及正多边形的定义依次判断即可．
题目主要考查三角形的高、外角的定义及全等三角形的判定、角平分线的性质及正多边形的定义，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．

7.【答案】 

【解析】解：方程，
解得：．
故答案为：．
把看做已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是把看做已知数求出．

8.【答案】 

【解析】解：，
由得，，
由得，，
原不等式组的解集为：．
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．

9.【答案】 

【解析】解：，，，，，的平均数是，
，
解得：，
则这组数据为，，，，，，
按从小到大的顺序排列为：，，，，，，
所以，这组数据的中位数为：，
故答案为：．
先根据平均数的定义求得的值，再利用中位数的定义可得．
本题主要考查中位数、平均数，解题的关键熟练掌握中位数和平均数的定义．

10.【答案】 

【解析】解：不等式的解集为，
，
得：，
故答案为：．
根据不等式的解集确定出的范围即可．
此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式取解集的方法是解本题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：是方程的一个解，
，
，
故答案为：．
根据二元一次方程的解的定义解决此题．
本题主要考查二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式，关键是掌握内角和公式：且为整数先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．
【解答】
解：正多边形的边数为：，
则这个多边形是正八边形，
所以该多边形的内角和为．
故答案为：．

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
将沿着翻折得到，
，
，
故答案为：．
根据三角形内角和、三角形外角的性质和翻折的性质解答即可．
此题考查翻折的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，关键是掌握翻折的性质．

14.【答案】 

【解析】解：作于，
，，
，
是的角平分线，，，
，
点到的距离为，
故答案为：．
作于，根据题意求出，根据角平分线的性质解答．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相是解题的关键．

15.【答案】或 

【解析】解：当在内部时，如下图，

根据题意可知：，，
，
解得：，
，
，
当在外部时，如下图，

根据题意可知，，
，
解得：，
，
故答案为：或．
根据题意分在内部和在外部两种情况进行讨论，根据三角形的面积公式求得长度，再根据边之间的和差关系求解即可．
本题考查三角形的面积，解题的关键是根据题意作出相关的图形在内部和外部，数形结合进行求解．

16.【答案】 

【解析】解：作中点，连接．

，
，
，
，
，
又，
，即为中点，
是中点，
是的中位线，
且，
又，、分别为、中线，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
故答案为：．
先证明，作中点，连接，由中位线的性质得到且，再证明≌，得到，即可得到结论成立．
本题考查了三角形的中线，三角形的中位线，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线证明≌．

17.【答案】解：，
由，得：，
即：，
解得：，
把代入式，得：，
解得：，
方程组的解为；
故答案为：．
不等式两边同时乘以，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
解得：．
故答案为：． 

【解析】利用代入消元法或加减消元法进行求解；
根据解一元一次不等的相关步骤进行求解．
本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键是掌握代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．

18.【答案】解：如图所示，和即为所求．
 

【解析】本题主要考查作图应用与设计作图，正确结合勾股定理得出相等线段与轴对称和中心对称的性质是解题关键．可以为对称轴，作出原三角形的轴对称图形；可以的中点为对称中心，作原图形的中心对称图形．

19.【答案】解：甲的平均成绩为分；
乙的平均成绩为分，
因为甲的平均成绩高于甲的平均成绩，
所以甲被录用；

根据题意，甲的平均成绩为分，
乙的平均成绩为分，
因为乙的平均成绩高于甲的平均成绩，
所以乙被录用． 

【解析】根据算术平均数的定义列式计算可得；
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公式．

20.【答案】证明：，
，
即，
在与中，
，
≌；
解：≌，
，
，
，
，即，
答：直角三角形有：，，，． 

【解析】由等式的性质推理得出，然后根据边角边定理证明三角形全等；
根据全等三角形的性质分析得出，然后根据直角三角形特征分析作答．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出是解本题的关键．

21.【答案】解：设每个大地球仪元，每个小地球仪元，
由题意可得，
解得：，
答：每个大地球仪元，每个小地球仪元；
设虹桥可以购买个大地球仪，则购买小地球仪个，
根据题意得，
解得，
答：虹桥中学最多可以购买个大地球仪． 

【解析】根据购买个大地球仪和个小地球仪需要元；若购买个大地球仪和个小地球仪需要元，可以列出相应的不等式组，然后求解即可；
根据中的结果和题目中的数据，可以写出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等关系，列出相应的不等式，找出等量关系，列出相应的方程组．

22.【答案】      甲 

【解析】解：，
甲班测试成绩为的人数最多，所以众数是，即，
乙班人测试成绩的中位数是按顺序排在第位的数，由统计数据得成绩按从小到大排在第位的数是这组数据中的，即，
故答案为：，，．
，
甲班的成绩波动比乙班成绩波动小，
故答案为：甲．
样本中优秀的人数为：，
优秀人数占比为：，
人，
估计名学生中成绩为优秀的学生共人．
用抽取人数减去其他分数段人数即可得值，根据众数及中位数的定义即可得出和的值；
方差是刻画数据波动程度的量，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小；比较甲、乙班的方差即可得出答案；
计算出样本中的优秀人数占比，总人数乘以优秀人数占比即可得出答案．
本题考查了众数，中位数，方差的意义及用样本估计整体，熟练掌握众数和中位数定义及方差的意义，样本估计整体的计算方法是解题关键．

23.【答案】证明；在上截取，连接，如图所示：
、分别平分、，
，，
在和中，，
≌，
，
，
在和中，，
≌，
，
，
；
解：猜想，理由如下：
在上截取，连接，如图所示：
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
在和中，，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在和中，，
≌，
，
，
． 

【解析】在上截取，连接，证明≌，得出，证明≌，得出，即可得出结论；
在上截取，连接，证明≌，得出，，再证明≌，得出，即可的距离．
本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及角平分线定义等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

24.【答案】解：不等式有个正整数解，因此是阶不等式；
不等式组的解集为，这个不等式组有个正整数解，因此不等式组是阶不等式；
故答案为：，．
关于的不等式组是阶不等式组，
关于的不等式组有个正整数解，即有个正整数解，
．
由题意得，是正整数，且有个正整数解，
，，
． 

【解析】根据题目中的定义进行分析即可；
根据题目中的定义进行分析，可知整数解为，，，，从而可得出的范围；
分析题意，可以利用特殊值法，看是从第几个整数开始的，从而求解．
本题考查了一元一次不等式组的正整数解，理解题中的新定义是解题的关键．

25.【答案】证明：和分别平分和，
，，
，，
，，
；
证明：由知，
，
，

为的外角角平分线，分别平分，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
解：如图，过点作，，，分别交，，于点，，，过点作，交于点，过点作，交于点，连接，

点是两内角角平分线的交点，
点是的内心，
，
设，则，

在和中，
，
≌，
，
同理在和中，
，
≌，
由知是等腰直角三角形，
，，
为的角平分线，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，，
，
，
，，
，，

，
，
，
，
，舍去． 

【解析】根据和分别平分和，得：，，再由三角形内角和得：，，即可证明；
由同理可得，根据题意得，从而得到：，再根据为的外角角平分线，分别平分，得：，进而得到，由等腰直角三角形性质可证；
过点作，，，分别交，，于点，，，过点作，交于点，过点作，交于点，连接，由点是的内心，得到，设，则，证明≌，≌，≌，最后根据，利用，即可求解．
本题考查三角形角平分线的性质的综合问题，正确构造辅助线，掌握直角三角形全等的判定方法与等腰三角形的性质，熟练运用三角形面积公式是解题的关键．