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2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）
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这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，是一元一次方程的是( )
A. 13x−y=6B. x−5=6C. 3x=2D. 5x2+x=3
2. 在平面直角坐标系中，点P(4,5)一定在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 2022年2月4日，第24届冬奥会在北京举行，如图是第24届冬奥会的吉祥物冰墩墩，下列图案中，是通过该图平移得到的图案是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列各数中的无理数是( )
A. 1B. 4C. 23D. 33
5. 已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是( )
A. 3a−5=2bB. 3a+1=2b+6C. a=23b+53D. 3ac=2bc+5
6. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC=35°，则∠AOD的度数是( )
A. 55°
B. 65°
C. 115°
D. 125°
7. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为( )
A. 4x+2(94−x)=35B. 4x+2(35−x)=94
C. 2x+4(94−x)=35D. 2x+4(35−x)=94
8. 下列命题中，是真命题的是( )
A. 实数与数轴上的点一一对应B. 邻补角相等
C. 无限小数都是无理数D. 内错角相等
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 2的相反数是 ．
10. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______．
11. 916的平方根是______．
12. 点A(3,a−1)在x轴上，则a= ．
13. 如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C=90°，∠BAC=30°.直尺的一边DE经过顶点A，若DE//CB，则∠DAB的度数为 度.
14. 在梯形面积公式s=12(a+b)h中，已知s=60，b=4，h=12，则a=______．
15. 已知∠ABC=50°，点D为射线BC上的一点，过点D作DE//AB，DM为∠EDC的平分线，则∠CDM的度数是 度.
16. 一艘船从甲码头顺流而行，用了2h到乙码头，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h.已知水流速度是3km/h，则船在静水中的平均速度是______km/h．
17. 线段CD是由线段AB平移得到的，点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，则点B(−4,−1)的对应点D的坐标是 ．
18. 把1～9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，是世界上最早的“幻方”.图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则x= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1)9−364；
(2)32−|3−2|．
20. (本小题8.0分)
解方程：
(1)3x−2=4+x；
(2)x+12−1=2−3x3．
21. (本小题10.0分)
如图，点E在四边形ABCD的边BC上，连接AE，DE，∠B+∠BED=180°，∠BAE=∠CDE，∠DAE=∠C，求证：AD//BC．
证明：∵∠B+∠BED=180°(已知)
∴AB//DE(① )
∴∠BAE=∠AED(② )
又∵∠BAE=∠CDE(已知)
∴∠AED=∠CDE(等量代换)
∴AE//CD(③ )
∴∠AEB=∠C(④ )
又∵∠DAE=∠C(已知)
∴AEB=∠DAE(等量代换)
∴AD//BC(⑤ )
22. (本小题10.0分)
如图，把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′．
(1)在图上画出△A′B′C′，请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
(2)在图上，连接A′A，A′C，请直接写出△A′AC的面积．
23. (本小题10.0分)
解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
x+12=0的解为x=−12，而−12=12−1
2x+43=0的解为x=−23，而−23=43−2
将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=b−a，则称之为“奇异方程”，请解决以下问题：
(1)方程3x+94=0是“奇异方程”吗？请说明理由；
(2)若方程5x+m=0是“奇异方程”，求m的值．
24. (本小题10.0分)
在抗击新冠肺炎疫情期间，光明社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．
(1)第一次购买了20瓶酒精和30瓶消毒液，每瓶酒精的价格比每瓶消毒液的价格多5元，共花费了350元，本次购买每瓶酒精和每瓶消毒液的价格各是多少元？
(2)第二次又购买了酒精和消毒液共计60瓶，(1)中酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，第二次按变化后的价格购买，共花费了315元，第二次购买了酒精和消毒液各是多少瓶？
25. (本小题10.0分)
已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF=180°．
(1)如图1，求证：AB//CD；
(2)如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线GA，HC上，连接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH=90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接KH，KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若∠DHG=177∠MPG，求∠KMN的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、13x−y=6含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
B、x−5=6是一元一次方程，符合题意；
C、3x=2不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
D、5x2+x=3未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：D．
根据一元一次方程的定义进行逐一判断即可：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程．
本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵点P(4,5)它的横坐标4>0，纵坐标5>0，
∴点P(4,5)在第一象限，
故选：A．
应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
本题主要考查了第一象限内点的坐标特点，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
3.【答案】C
【解析】解：∵平移只改变位置，不改变大小和方向，
∴四个选项中，只有选项C符合题意，
故选：C．
根据平移只改变位置，不改变大小和方向进行求解即可．
本题主要考查了平移的特点，熟知平移只改变位置，不改变大小和方向是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、1是有理数，不是无理数，不符合题意；
B、4=2是有理数，不是无理数，不符合题意；
C、23是有理数，不是无理数，不符合题意；
D、33是无理数，符合题意；
故选D．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，π3等；②开方开不尽的数，如2，35等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…(两个1之间依次增加1个0)，0.2121121112…(两个2之间依次增加1个1)等．
5.【答案】D
【解析】解：已知3a=2b+5
选项A：按照等式的性质1，等式两边同时减去5，可得3a−5=2b，故A一定成立；
选项B：按照等式的性质1，等式两边同时加上1，可得3a+1=2b+6，故B一定成立；
选项C：按照等式的性质2，等式两边同时除以3，可得a=23b+53，故C一定成立；
选项D：只有在c=1时，可由3a=2b+5推得3ac=2bc+5，故D不一定成立．
故选：D．
按照等式的性质分析求解即可．
本题考查了等式的性质在等式变形中的应用，明确等式的性质是解题的关键．本题属于基础知识的考查，比较简单．
6.【答案】D
【解析】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
又∵∠EOC=35°，
∴∠AOC=90°−35°=55°，
∴∠AOD=180°−55°=125°，
故选：D．
由EO⊥AB可确定∠AOE的度数，由∠EOC=35°可确定∠AOE的度数，再由补角的概念可确定∠AOD的度数．
本题主要考查垂直的概念和补角的概念，关键是要知道垂直的概念和补角的定义．
7.【答案】D
【解析】解：设鸡有x只
∵上有三十五头，
∴兔有(35−x)只．
依题意得：2x+4(35−x)=94．
故选：D．
由上有三十五头且鸡有x只，可得出兔有(35−x)只，利用足的数量=2×鸡的只数+4×兔的只数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：A、实数与数轴上的点一一对应，原命题是真命题，符合题意；
B、邻补角互补，原命题是假命题，不符合题意；
C、无限小数不循环小数是无理数，原命题是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意；
故选：A．
根据实数与数轴的关系即可判定A；根据邻补角的定义即可判断B；根据无理数的定义即可判断C；根据平行线的性质即可判断D．
本题主要考查了判断命题真假，灵活运用所学知识是解题的关键．
9.【答案】−2
【解析】
【分析】
本题考查相反数的定义，解题的关键是熟练运用相反数的定义，属于基础题．
根据相反数的定义即可求出答案．
【解答】
解：2的相反数是−2，
故答案为：−2．
10.【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】
命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
【解答】
解：命题“对顶角相等”的题设为：对顶角，结论为：相等．
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
11.【答案】±34
【解析】解：916的平方根是±34，
故答案为：±34．
根据开方运算，可得平方根．
本题考查了平方根，利用了开平方．
12.【答案】1
【解析】解：∵点A(3,a−1)在x轴上，
∴a−1=0，
∴a=1，
故答案为：1．
根据在x轴上的点纵坐标为0进行求解即可．
本题主要考查了在x轴上的点的坐标特点，熟知在x轴上的点纵坐标为0是解题的关键．
13.【答案】120
【解析】解：∵DE//CB，
∴∠DAC=∠C=90°，
又∵∠BAC=30°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=120°，
故答案为；120．
先根据平行线的性质得到∠DAC=∠C=90°，则∠DAB=∠DAC+∠BAC=120°．
本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：把s=60，b=4，h=12代入公式s=12h(a+b)得：60=12×12×(a+4)，
解得：a=6，
故答案为：6
把s，b，h代入梯形面积公式求出a的值即可．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
15.【答案】25或65
【解析】解：如图1所示，
∵∠ABC=50°，DE//AB，
∴∠EDC=∠ABC=50°，
∵DM为∠EDC的平分线，
∴∠CDM=12∠EDC=25°；
如图2所示，
∵∠ABC=50°，DE//AB，
∴∠EDB=∠ABC=50°，
∴∠EDC=180°−∠BED=130°，
∵DM为∠EDC的平分线，
∴∠CDM=12∠EDC=65°，
综上所述，∠CDM=25°或∠CDM=65°，
故答案为：25或65．
分图1和图2两种情况，利用平行线的性质求出∠EDC的度数，再根据角平分线的定义求解即可．
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
16.【答案】27
【解析】解：设船在静水中的平均速度为xkm/h，
根据往返路程相等，列得2(x+3)=2.5(x−3)，
解得x=27．
答：在静水中的速度为27km/h．
故答案为27．
等量关系为：顺水速度×顺水时间=逆水速度×逆水时间．即2×(静水速度+水流速度)=2.5×(静水速度−水流速度)．
本题考查了一元一次方程的应用，难度不大，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
17.【答案】(1,2)
【解析】
【分析】
由于线段CD是由线段AB平移得到的，而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，比较它们的坐标发现横坐标增加5，纵坐标增加3，利用此规律即可求出点B(−4,−1)的对应点D的坐标．
本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
【解答】
解：∵线段CD是由线段AB平移得到的，
而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，
∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，
则点B(−4,−1)的对应点D的坐标为(1,2)．
故答案为：(1,2)．
18.【答案】1
【解析】解：由题意可得8+x=2+7，
解得x=1．
故答案为：1．
根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，可得第三行与第三列上的两个数之和相等，依此列出方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，理解“九宫格”满足的条件，进而得到等量关系列出方程是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=3−4
=−1；
(2)原式=32−(3−2)
=32−3+2
=42−3．
【解析】(1)直接利用立方根的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案；
(2)直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：(1)3x−2=4+x，
移项得：3x−x=4+2，
合并同类项得：2x=6，
系数化为1得：x=3；
(2)x+12−1=2−3x3，
去分母得：3(x+1)−6=2(2−3x)，
去括号得：3x+3−6=4−6x，
移项得：3x+6x=4+6−3，
合并同类项得：9x=7，
系数化为1得：x=79．
【解析】(1)按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
(2)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
21.【答案】同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 内错角相等，两直线平行
【解析】证明：∵∠B+∠BED=180°(已知)，
∴AB//DE(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠BAE=∠AED(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠BAE=∠CDE(已知)，
∴∠AED=∠CDE(等量代换)，
∴AE//CD(内错角相等，两直线平行)，
∴∠AEB=∠C(两直线平行，同位角相等)，
又∵∠DAE=∠C(已知)，
∴AEB=∠DAE(等量代换)，
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)．
先根据同旁内角互补，两直线平行证明AB//DE得到∠BAE=∠AED，则∠AED=∠CDE，即可证明AE//CD得到∠AEB=∠C，进而推出AEB=∠DAE即可证明AD//BC．
本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求，
∵把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A′B′C′，A(−2,2)，B(−3,−2)，C(3,−2)，
∴A′(0,6)，B′(−1,2)，C′(5,2)；
(2)由题意得：S△AA′C=8×5−12×2×4−12×4×5−12×8×3=14．
【解析】(1)根据点坐标的平移规律，先得到A、B、C对应点A′，B′，C′的坐标，然后描出A′，B′，C′，再顺次连接A′，B′，C′即可；
(2)利用割补法求解即可．
本题主要考查了坐标与图形变化——平移，三角形面积，熟知点的坐标平移规律是解题的关键．
23.【答案】解：(1)方程3x+94=0是“奇异方程”.理由：
方程3x+94=0的解为：x=−34，
∵−34=94−3，
∴方程3x+94=0是“奇异方程”．
(2)∵关于x的方程5x+m=0为奇异方程，
∴方程5x+m=0的根为：x=m−5．
把x=m−5代入原方程得：5(m−5)+m=0，
∴m=256．
【解析】(1)解原方程，利用“奇异方程”的定义进行验证即可；
(2)根据“奇异方程”定义，利用反证法即可说明；
(3)利用“奇异方程”的定义求出原方程的根，利用方程根的意义将方程的根代入原方程得到m的关系式，即可解关于m的方程．
本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设消毒液的价格为a元、则酒精的价格为(a+5)元，30a+20(a+5)=350，
解得a=5，
酒精的价格为a+5=10，
答：每瓶酒精和消毒液的价格分别为10元、5元；
(2)设购买酒精x瓶，则购买消毒液(60−x)瓶，
由题意可得，10×0.7×x+5×0.8×(60−x)=315，
解得：x=25；
消毒液60−x=35，
答：酒精和消毒液的分别为25瓶、35瓶．
【解析】(1)根据第一次购买了20瓶酒精和30瓶消毒液，每瓶酒精的价格比每瓶消毒液的价格多5元，共花费了350元列一元一次方程，从而可以求得每瓶酒精和消毒液的价格；
(2)根据第二次又购买了酒精和消毒液共计60瓶，(1)中酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，第二次按变化后的价格购买，共花费了315元，列一元一次方程，解出即可．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程并解答．
25.【答案】(1)证明：∵∠CHG=∠DHF，∠AGH+∠DHF=180°，
∴∠AGH+∠CHG=180°，
∴AB//CD；
(2)证明：过K作KR//AB，如图，
∵AB//CD，
∴RK//AB//CD，
∴∠MPG=∠MKR，∠NQH=∠RKN，
∵∠MPG+∠NQH=90°，
∴∠MKR+∠NKR=90°
∴∠MKN=90°，
∴MK⊥NK；
(3)解：如图，过M作MT//AB，过K作KR//AB，
∵AB//CD，
∴MT//AB//CD//KR，
∵KH平分∠MKN，
∴∠MKH=∠NKH=45°
∵∠DHG=177∠MPG，
∴设∠DHG=17x，∠MPG=7x，
∵HE平分∠KHD，
∴∠KHM=∠DHG=17x，
∴∠KHD=34x∴∠KHQ=180°−34x，
∵CD//KR，
∴∠RKH=∠KHQ=180°−34x，
∵MT//AB//KR
∴∠TMP=∠MKR=∠MPG=7x，∠TMH=∠MHD=17x，
∵∠MKH=45°，
∴∠RKH+∠MKR=180°−34x+7x=45°，
∴x=5°，
∵∠KMN=∠TMH−∠TMP，
∴∠KMN=17x−7x=10x=50°．
【解析】(1)利用∠CHG=∠DHF，再利用等量代换，即可解决；
(2)过K作KR//AB，因为AB//CD，所以RK//AB//CD，则∠MPG=∠MKR，∠NQH=∠RKN，代入即可解决．
(3)过M作MT//AB，过K作KR//AB，可以得到MT//AB//CD//KR，设∠DHG=17x，∠MPG=7x，利用平行线的性质，用x表示出角，即可解决．
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行计算．
1. 下列方程中，是一元一次方程的是( )
A. 13x−y=6B. x−5=6C. 3x=2D. 5x2+x=3
2. 在平面直角坐标系中，点P(4,5)一定在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 2022年2月4日，第24届冬奥会在北京举行，如图是第24届冬奥会的吉祥物冰墩墩，下列图案中，是通过该图平移得到的图案是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列各数中的无理数是( )
A. 1B. 4C. 23D. 33
5. 已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是( )
A. 3a−5=2bB. 3a+1=2b+6C. a=23b+53D. 3ac=2bc+5
6. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC=35°，则∠AOD的度数是( )
A. 55°
B. 65°
C. 115°
D. 125°
7. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为( )
A. 4x+2(94−x)=35B. 4x+2(35−x)=94
C. 2x+4(94−x)=35D. 2x+4(35−x)=94
8. 下列命题中，是真命题的是( )
A. 实数与数轴上的点一一对应B. 邻补角相等
C. 无限小数都是无理数D. 内错角相等
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 2的相反数是 ．
10. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______．
11. 916的平方根是______．
12. 点A(3,a−1)在x轴上，则a= ．
13. 如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C=90°，∠BAC=30°.直尺的一边DE经过顶点A，若DE//CB，则∠DAB的度数为 度.
14. 在梯形面积公式s=12(a+b)h中，已知s=60，b=4，h=12，则a=______．
15. 已知∠ABC=50°，点D为射线BC上的一点，过点D作DE//AB，DM为∠EDC的平分线，则∠CDM的度数是 度.
16. 一艘船从甲码头顺流而行，用了2h到乙码头，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h.已知水流速度是3km/h，则船在静水中的平均速度是______km/h．
17. 线段CD是由线段AB平移得到的，点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，则点B(−4,−1)的对应点D的坐标是 ．
18. 把1～9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，是世界上最早的“幻方”.图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则x= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1)9−364；
(2)32−|3−2|．
20. (本小题8.0分)
解方程：
(1)3x−2=4+x；
(2)x+12−1=2−3x3．
21. (本小题10.0分)
如图，点E在四边形ABCD的边BC上，连接AE，DE，∠B+∠BED=180°，∠BAE=∠CDE，∠DAE=∠C，求证：AD//BC．
证明：∵∠B+∠BED=180°(已知)
∴AB//DE(① )
∴∠BAE=∠AED(② )
又∵∠BAE=∠CDE(已知)
∴∠AED=∠CDE(等量代换)
∴AE//CD(③ )
∴∠AEB=∠C(④ )
又∵∠DAE=∠C(已知)
∴AEB=∠DAE(等量代换)
∴AD//BC(⑤ )
22. (本小题10.0分)
如图，把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′．
(1)在图上画出△A′B′C′，请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
(2)在图上，连接A′A，A′C，请直接写出△A′AC的面积．
23. (本小题10.0分)
解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
x+12=0的解为x=−12，而−12=12−1
2x+43=0的解为x=−23，而−23=43−2
将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=b−a，则称之为“奇异方程”，请解决以下问题：
(1)方程3x+94=0是“奇异方程”吗？请说明理由；
(2)若方程5x+m=0是“奇异方程”，求m的值．
24. (本小题10.0分)
在抗击新冠肺炎疫情期间，光明社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．
(1)第一次购买了20瓶酒精和30瓶消毒液，每瓶酒精的价格比每瓶消毒液的价格多5元，共花费了350元，本次购买每瓶酒精和每瓶消毒液的价格各是多少元？
(2)第二次又购买了酒精和消毒液共计60瓶，(1)中酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，第二次按变化后的价格购买，共花费了315元，第二次购买了酒精和消毒液各是多少瓶？
25. (本小题10.0分)
已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF=180°．
(1)如图1，求证：AB//CD；
(2)如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线GA，HC上，连接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH=90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接KH，KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若∠DHG=177∠MPG，求∠KMN的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、13x−y=6含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
B、x−5=6是一元一次方程，符合题意；
C、3x=2不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
D、5x2+x=3未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：D．
根据一元一次方程的定义进行逐一判断即可：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程．
本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵点P(4,5)它的横坐标4>0，纵坐标5>0，
∴点P(4,5)在第一象限，
故选：A．
应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
本题主要考查了第一象限内点的坐标特点，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
3.【答案】C
【解析】解：∵平移只改变位置，不改变大小和方向，
∴四个选项中，只有选项C符合题意，
故选：C．
根据平移只改变位置，不改变大小和方向进行求解即可．
本题主要考查了平移的特点，熟知平移只改变位置，不改变大小和方向是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、1是有理数，不是无理数，不符合题意；
B、4=2是有理数，不是无理数，不符合题意；
C、23是有理数，不是无理数，不符合题意；
D、33是无理数，符合题意；
故选D．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，π3等；②开方开不尽的数，如2，35等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…(两个1之间依次增加1个0)，0.2121121112…(两个2之间依次增加1个1)等．
5.【答案】D
【解析】解：已知3a=2b+5
选项A：按照等式的性质1，等式两边同时减去5，可得3a−5=2b，故A一定成立；
选项B：按照等式的性质1，等式两边同时加上1，可得3a+1=2b+6，故B一定成立；
选项C：按照等式的性质2，等式两边同时除以3，可得a=23b+53，故C一定成立；
选项D：只有在c=1时，可由3a=2b+5推得3ac=2bc+5，故D不一定成立．
故选：D．
按照等式的性质分析求解即可．
本题考查了等式的性质在等式变形中的应用，明确等式的性质是解题的关键．本题属于基础知识的考查，比较简单．
6.【答案】D
【解析】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
又∵∠EOC=35°，
∴∠AOC=90°−35°=55°，
∴∠AOD=180°−55°=125°，
故选：D．
由EO⊥AB可确定∠AOE的度数，由∠EOC=35°可确定∠AOE的度数，再由补角的概念可确定∠AOD的度数．
本题主要考查垂直的概念和补角的概念，关键是要知道垂直的概念和补角的定义．
7.【答案】D
【解析】解：设鸡有x只
∵上有三十五头，
∴兔有(35−x)只．
依题意得：2x+4(35−x)=94．
故选：D．
由上有三十五头且鸡有x只，可得出兔有(35−x)只，利用足的数量=2×鸡的只数+4×兔的只数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：A、实数与数轴上的点一一对应，原命题是真命题，符合题意；
B、邻补角互补，原命题是假命题，不符合题意；
C、无限小数不循环小数是无理数，原命题是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意；
故选：A．
根据实数与数轴的关系即可判定A；根据邻补角的定义即可判断B；根据无理数的定义即可判断C；根据平行线的性质即可判断D．
本题主要考查了判断命题真假，灵活运用所学知识是解题的关键．
9.【答案】−2
【解析】
【分析】
本题考查相反数的定义，解题的关键是熟练运用相反数的定义，属于基础题．
根据相反数的定义即可求出答案．
【解答】
解：2的相反数是−2，
故答案为：−2．
10.【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】
命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
【解答】
解：命题“对顶角相等”的题设为：对顶角，结论为：相等．
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
11.【答案】±34
【解析】解：916的平方根是±34，
故答案为：±34．
根据开方运算，可得平方根．
本题考查了平方根，利用了开平方．
12.【答案】1
【解析】解：∵点A(3,a−1)在x轴上，
∴a−1=0，
∴a=1，
故答案为：1．
根据在x轴上的点纵坐标为0进行求解即可．
本题主要考查了在x轴上的点的坐标特点，熟知在x轴上的点纵坐标为0是解题的关键．
13.【答案】120
【解析】解：∵DE//CB，
∴∠DAC=∠C=90°，
又∵∠BAC=30°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=120°，
故答案为；120．
先根据平行线的性质得到∠DAC=∠C=90°，则∠DAB=∠DAC+∠BAC=120°．
本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：把s=60，b=4，h=12代入公式s=12h(a+b)得：60=12×12×(a+4)，
解得：a=6，
故答案为：6
把s，b，h代入梯形面积公式求出a的值即可．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
15.【答案】25或65
【解析】解：如图1所示，
∵∠ABC=50°，DE//AB，
∴∠EDC=∠ABC=50°，
∵DM为∠EDC的平分线，
∴∠CDM=12∠EDC=25°；
如图2所示，
∵∠ABC=50°，DE//AB，
∴∠EDB=∠ABC=50°，
∴∠EDC=180°−∠BED=130°，
∵DM为∠EDC的平分线，
∴∠CDM=12∠EDC=65°，
综上所述，∠CDM=25°或∠CDM=65°，
故答案为：25或65．
分图1和图2两种情况，利用平行线的性质求出∠EDC的度数，再根据角平分线的定义求解即可．
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
16.【答案】27
【解析】解：设船在静水中的平均速度为xkm/h，
根据往返路程相等，列得2(x+3)=2.5(x−3)，
解得x=27．
答：在静水中的速度为27km/h．
故答案为27．
等量关系为：顺水速度×顺水时间=逆水速度×逆水时间．即2×(静水速度+水流速度)=2.5×(静水速度−水流速度)．
本题考查了一元一次方程的应用，难度不大，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
17.【答案】(1,2)
【解析】
【分析】
由于线段CD是由线段AB平移得到的，而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，比较它们的坐标发现横坐标增加5，纵坐标增加3，利用此规律即可求出点B(−4,−1)的对应点D的坐标．
本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
【解答】
解：∵线段CD是由线段AB平移得到的，
而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，
∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，
则点B(−4,−1)的对应点D的坐标为(1,2)．
故答案为：(1,2)．
18.【答案】1
【解析】解：由题意可得8+x=2+7，
解得x=1．
故答案为：1．
根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，可得第三行与第三列上的两个数之和相等，依此列出方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，理解“九宫格”满足的条件，进而得到等量关系列出方程是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=3−4
=−1；
(2)原式=32−(3−2)
=32−3+2
=42−3．
【解析】(1)直接利用立方根的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案；
(2)直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：(1)3x−2=4+x，
移项得：3x−x=4+2，
合并同类项得：2x=6，
系数化为1得：x=3；
(2)x+12−1=2−3x3，
去分母得：3(x+1)−6=2(2−3x)，
去括号得：3x+3−6=4−6x，
移项得：3x+6x=4+6−3，
合并同类项得：9x=7，
系数化为1得：x=79．
【解析】(1)按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
(2)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
21.【答案】同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 内错角相等，两直线平行
【解析】证明：∵∠B+∠BED=180°(已知)，
∴AB//DE(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠BAE=∠AED(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠BAE=∠CDE(已知)，
∴∠AED=∠CDE(等量代换)，
∴AE//CD(内错角相等，两直线平行)，
∴∠AEB=∠C(两直线平行，同位角相等)，
又∵∠DAE=∠C(已知)，
∴AEB=∠DAE(等量代换)，
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)．
先根据同旁内角互补，两直线平行证明AB//DE得到∠BAE=∠AED，则∠AED=∠CDE，即可证明AE//CD得到∠AEB=∠C，进而推出AEB=∠DAE即可证明AD//BC．
本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求，
∵把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A′B′C′，A(−2,2)，B(−3,−2)，C(3,−2)，
∴A′(0,6)，B′(−1,2)，C′(5,2)；
(2)由题意得：S△AA′C=8×5−12×2×4−12×4×5−12×8×3=14．
【解析】(1)根据点坐标的平移规律，先得到A、B、C对应点A′，B′，C′的坐标，然后描出A′，B′，C′，再顺次连接A′，B′，C′即可；
(2)利用割补法求解即可．
本题主要考查了坐标与图形变化——平移，三角形面积，熟知点的坐标平移规律是解题的关键．
23.【答案】解：(1)方程3x+94=0是“奇异方程”.理由：
方程3x+94=0的解为：x=−34，
∵−34=94−3，
∴方程3x+94=0是“奇异方程”．
(2)∵关于x的方程5x+m=0为奇异方程，
∴方程5x+m=0的根为：x=m−5．
把x=m−5代入原方程得：5(m−5)+m=0，
∴m=256．
【解析】(1)解原方程，利用“奇异方程”的定义进行验证即可；
(2)根据“奇异方程”定义，利用反证法即可说明；
(3)利用“奇异方程”的定义求出原方程的根，利用方程根的意义将方程的根代入原方程得到m的关系式，即可解关于m的方程．
本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设消毒液的价格为a元、则酒精的价格为(a+5)元，30a+20(a+5)=350，
解得a=5，
酒精的价格为a+5=10，
答：每瓶酒精和消毒液的价格分别为10元、5元；
(2)设购买酒精x瓶，则购买消毒液(60−x)瓶，
由题意可得，10×0.7×x+5×0.8×(60−x)=315，
解得：x=25；
消毒液60−x=35，
答：酒精和消毒液的分别为25瓶、35瓶．
【解析】(1)根据第一次购买了20瓶酒精和30瓶消毒液，每瓶酒精的价格比每瓶消毒液的价格多5元，共花费了350元列一元一次方程，从而可以求得每瓶酒精和消毒液的价格；
(2)根据第二次又购买了酒精和消毒液共计60瓶，(1)中酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，第二次按变化后的价格购买，共花费了315元，列一元一次方程，解出即可．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程并解答．
25.【答案】(1)证明：∵∠CHG=∠DHF，∠AGH+∠DHF=180°，
∴∠AGH+∠CHG=180°，
∴AB//CD；
(2)证明：过K作KR//AB，如图，
∵AB//CD，
∴RK//AB//CD，
∴∠MPG=∠MKR，∠NQH=∠RKN，
∵∠MPG+∠NQH=90°，
∴∠MKR+∠NKR=90°
∴∠MKN=90°，
∴MK⊥NK；
(3)解：如图，过M作MT//AB，过K作KR//AB，
∵AB//CD，
∴MT//AB//CD//KR，
∵KH平分∠MKN，
∴∠MKH=∠NKH=45°
∵∠DHG=177∠MPG，
∴设∠DHG=17x，∠MPG=7x，
∵HE平分∠KHD，
∴∠KHM=∠DHG=17x，
∴∠KHD=34x∴∠KHQ=180°−34x，
∵CD//KR，
∴∠RKH=∠KHQ=180°−34x，
∵MT//AB//KR
∴∠TMP=∠MKR=∠MPG=7x，∠TMH=∠MHD=17x，
∵∠MKH=45°，
∴∠RKH+∠MKR=180°−34x+7x=45°，
∴x=5°，
∵∠KMN=∠TMH−∠TMP，
∴∠KMN=17x−7x=10x=50°．
【解析】(1)利用∠CHG=∠DHF，再利用等量代换，即可解决；
(2)过K作KR//AB，因为AB//CD，所以RK//AB//CD，则∠MPG=∠MKR，∠NQH=∠RKN，代入即可解决．
(3)过M作MT//AB，过K作KR//AB，可以得到MT//AB//CD//KR，设∠DHG=17x，∠MPG=7x，利用平行线的性质，用x表示出角，即可解决．
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行计算．
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