河南省范县第一中学2021-2022学年高二上学期第三次月考检测数学【试卷+答案】

这是一份河南省范县第一中学2021-2022学年高二上学期第三次月考检测数学【试卷+答案】，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年高二上学期第三次月考检测·数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
高考对接点
直线与圆、圆锥曲线、空间向量与立体几何均为必考点
知识疑难点
圆锥曲线、空间向量与立体几何

第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.过两点A(5，y)，B(3，-1)的直线的倾斜角是135°，则y等于（　　）
A.2 B.-2 C.3 D.-3
2.在空间直角坐标系中，已知A(1，-2，1)，B(2，2，2)，点P在x轴上，且满足|PA|=|PB|，则点P的坐标为（　　）
A.(3，0，0) B.(0，3，0) C.(0，0，3) D.(-3，0，0)
3.已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆+y2=1有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
4.已知双曲线=1(a>0，b>0)，点F为其右焦点，点B(0，b)，若BF所在直线与双曲线的其中一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（　　）
A.+1 B. C. D.-1
5.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，M为抛物线C上一点，N(2，2)，则的最小值为（　　）
A.3 B.2 C.1 D.4
6.在椭圆=1中，以点M(2，)为中点的弦所在的直线方程为（　　）
A.3x+4y=0 B.3x-4y=0 C.3x+4y-12=0 D.3x-4y+12=0
7.已知椭圆C：=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点P为椭圆上一点，若∠F1PF2=，且△F1PF2内切圆的半径为1，则C的方程为（　　）
A.=1 B.=1 C.+y2=1 D.=1
8.如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（　　）

A.a B.a
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.过点M (-1，4)的直线l与圆C：(x+2)2+(y-3)2=4交于A，B两点，则∠ACB的值可以是（　　）
A.120° B.45° C.60° D.90°
10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则下列结论中错误的是（　　）
A.A1C1⊥FB
B.△AEF的面积与△BEF的面积相等
C.AC⊥平面BEF
D.三棱锥A-BEF的体积会随着E、F的运动而变化
11.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD，折成互相垂直的两个平面后得到三棱锥A-BCD，则下列说法正确的是（　　）
A.AB⊥CD B.∠ABC=
C.三棱锥D-ABC是正三棱锥
D.AC所在的直线与平面BCD所成的角为

12.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C及其准线分别交于P，Q两点，=3，则直线l的斜率可以为（　　）
A. B.- C. D.-
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13.已知直线l1：y=x+a和l2：y=-x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=　　　　. 
14.在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点 ，EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为　　　　. 
15.已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的右焦点F(2，0)，点F关于C的一条渐近线的对称点A落在C的另一条渐近线上，则双曲线C的方程为　　　　. 
16.在矩形ABCD中，AD=4，AB=5，Q为CD边上一点，将点D以AQ为轴旋转至点P的位置，且点P在面ABC内的投影恰为AC的中点O，则此时PO=　　　　，三棱锥P-ABC外接球的表面积为　　　　. 
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知圆C过点A(3，-2)，B(-3，6).
（1）求周长最小时圆C的标准方程；
（2）求圆心C在直线x-5y-1=0上时圆C的一般方程.


18.（12分）如图，在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=2，∠CBD=，E、F、Q分别为BC、BD、AB边的中点，P为AD边上任意一点.
（1）证明：CP∥平面QEF.
（2）当二面角B-QF-E的平面角为时，求AB的长度.



19.（12分）已知椭圆C：=1(a>b>0)的焦点F在直线x+y-1=0上，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若O为坐标原点，过点M(0，2)作直线l交椭圆C于A、B两点，求△AOB面积的最大值.


20.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是以AC为底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.
（1）证明：PO⊥平面ABC.
（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求直线PC与平面PAM所成角的正弦值.



21.（12分）已知动圆经过定点F(1，0)，且与定直线x=-1相切.
（1）求动圆圆心C的轨迹E的方程；
（2）如图，已知点P(4，4)，过点(0，2)作直线l与E交于A，B两点，且A，B，P为不同的三点，过点A作x轴的垂线分别与直线OP，OB交于点Q，D(O为原点)，求证：Q为线段AD的中点.



22.（12分）已知椭圆C：=1(a>b>0)经过点P(2，1)，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P作直线l∥y轴，第四象限内一点A在椭圆C上(点A不在直线l上)，点A和点B关于直线l对称，直线BP与椭圆的另一个交点为Q，试判断直线AQ和直线OP(O为原点)的位置的关系，并说明理由.





2021年高二上学期第三次月考检测·数学试卷
参考答案
1.【答案】D
【解析】本题考查直线的倾斜角和斜率.因为斜率k=tan 135°=-1，所以k=y+15-3=-1，得y=-3.
2.【答案】A
【解析】本题考查空间直角坐标系.设P(x，0，0)，则有(x-1)2+22+(-1)2=(x-2)2+(-2)2+(-2)2，解得x=3.
3.【答案】B
【解析】本题考查椭圆与双曲线的基本概念.椭圆x210+y2=1的焦点坐标为(±3，0)，则双曲线的焦点坐标为(±3，0)，可得c=3，双曲线C：x2a2-y2b2=1的离心率为32，所以ca=32，即a=2，b=5，故所求的双曲线方程为x24-y25=1.
4.【答案】B
【解析】本题考查双曲线的离心率.根据题意，双曲线其中一条渐近线斜率为ba，kBF=-bc，由垂直可知ba×(-bc)=-1.又由c2=a2+b2，则c2-a2-ac=0，
变形可得e2-e-1=0，解得e=5+12或e=1-52(舍)，故e=5+12.
5.【答案】A
【解析】本题考查抛物线的性质.抛物线C：y2=4x的焦点为F(1，0)，准线x=-1，根据抛物线定义可知MF=xM+1，所以当MN垂直抛物线准线时，MF+MN最小，最小值为3.
6.【答案】C
【解析】本题考查椭圆的中点弦问题.设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1216+y129=1x2216+y229=1，两式相减得(x1+x2)(x1-x2)16+(y1+y2)(y1-y2)9=0，即-9(x1+x2)16(y1+y2)=y1-y2x1-x2，
又因为M(2，32)为弦AB的中点，代入上式可得斜率为-34，所以直线方程为3x+4y-12=0.
7.【答案】A
【解析】本题考查椭圆焦点和三角形的相关问题.易知△F1PF2中，内切圆半径r=PF1+PF2-F1F22=a-c=1，离心率为ca=34，解得a=4，c=3，椭圆C的方程为x216+y27=1.
8.【答案】D
【解析】本题考查空间几何的动点轨迹问题.连接GH、HN，则GH∥BA1，HN∥BD，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、CD的中点，
N是BC的中点，M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD，
∴面A1BD∥面GHN，又∵点M在四边形上及其内部运动，
则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=22a，则点M轨迹的长度是22a.
9.【答案】AD
【解析】本题考查直线与圆的位置关系.根据题意可知，圆心C(-2，3)，半径r=2，CM=2.由圆的几何性质知，当CM⊥AB时，∠ACB最小，此时∠ACM =45°，得∠ACB=90°.
10.【答案】BD
【解析】本题考查空间几何.由图形性质易知A、C项正确；由图可知，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故B项错误；由几何体的性质及图形知，△BEF的面积是定值，点A到面DD1B1B的距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，D项错误.
11.【答案】ABC
【解析】本题考查空间几何的折叠问题.由题可知DA，DB，DC两两垂直，且DA=DB=DC，即三角形ABC为正三角形，所以A、B、C项正确，又知AD⊥平面BCD，所以AC所在直线与平面BCD所成角为∠ACD=π4.
12.【答案】AB
【解析】本题考查抛物线的性质应用及其运算.过P做PH垂直准线垂足为H，则|PH|=|PF|，

由QF=3FP，则|QF|=3|FP|=3|PH|，则|QP|=4|PH|，
则cos∠QPH=|PH||QP|=14，则tan∠QPH=15，
所以直线的斜率k=±15.
13.【答案】0
【解析】本题考查直线与圆.由题意可知l1⊥l2，且圆心(0，0)为两直线的交点，所以a=b=0，故a2+b2=0.
14.【答案】30°
【解析】本题考查异面直线所成角.设BD的中点为O，连接EO，FO，所以EO∥AD，FO∥BC，
则∠EOF是AD，BC所成的角或其补角，又因为EO=12AD=1，FO=12BC=3，EF=7.根据余弦定理得cos∠EOF=1+3-723=-32，所以∠EOF=150°，异面直线AD与BC所成角的大小为30°.
15.【答案】x2-y23=1
【解析】本题考查双曲线的图象与方程.不妨设A在y=-bax上，则F与A关于直线y=bax对称，由渐近线关于y轴对称可知，过一、三象限的渐近线的倾斜角为π3，即ba=3，又c=2，故a=1，b=3，则双曲线的方程为x2-y23=1.
16.【答案】232　102423π
【解析】本题考查外接球问题.AC=25+16=41，AO=412，PO=16-414=232.
设外接球的球心为H，则AH2=HO2+AO2，r2=(232-r)2+414，所以r=1623，S=4π×25623=102423π.
17.【解析】本题考查圆的方程.
（1）当AB为圆C的直径时圆C的的半径最小，从而周长最小.即AB的中点(0，2)为圆心，半径r=12|AB|=5，得出圆C的的方程为x2+(y-2)2=25.
（2）设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
根据题意得9+4+3D-2E+F=09+36-3D+6E+F=0-D2+5E2-1=0，解得D=8E=2F=-33.
∴圆的一般方程为x2+y2+8x+2y-33=0.
18.【解析】本题考查线面平行与二面角问题.
（1）证明：因为E、F、Q分别为BC、BD、AB边的中点，所以QF∥AD，EF∥CD.
又因为QF∩EF=F，AD∩CD=D，所以平面QEF∥平面ACD.
又因为CP⊂平面ACD，所以CP∥平面QEF.
（2）设AB=a，
因为BC⊥CD，BC=2，∠CBD=π4，所以BC=CD=2，BD=22.
在底面作直线垂直于BD，如图建立空间直角坐标系，

则A(0，0，a)，C(2，2，0)，D(0，22，0)，E(22，22，0)，F(0，2，0)，Q(0，0，a2)，
EF=(-22，22，0)，QF=(0，2，-a2).
设平面EQF的法向量n1=(x，y，z)，所以n1·EF=-22x+22y=0n1·QF=2y-a2z=0，令x=1，所以n1=(1，1，22a).
又知平面BQF的法向量n2=(1，0，0)，
所以cos=12+8a2=12，2+8a2=2，a=2.
综上可知AB=2.
19.【解析】本题考查椭圆的性质与面积问题.
（1）设F(c，0)，则知c=1，离心率e=ca=22，知a=2c.
由a2=b2+c2，从而a=2，b=1.
所以椭圆C的方程为x22+y2=1.
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2).由题意可设直线AB的方程为y=kx+2.
由y=kx+2，x22+y2=1消去y并整理，得(2k2+1)x2+8kx+6=0；
由Δ=(8k)2-24(2k2+1)>0，得k2>32；
由韦达定理，得x1+x2=-8k2k2+1，x1x2=62k2+1.
因为点O到直线AB的距离为d=21+k2，|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]，
所以S△AOB=12|AB|·d=(x1+x2)2-4x1x2=8(2k2-3)(2k2+1)2.
设t=2k2-3，由k2>32，知t>0.
于是S△AOB=8t(t+4)2=8t+16t+8.
由t+16t≥8，得S△AOB≤22.当且仅当t=4，k2=72时等号成立.
所以△AOB面积的最大值为22.
20.【解析】本题考查线面角问题.
（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，OP=23.
连接OB，因为△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，则OB=12AC=2.
由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.

由已知得，O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，-2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，23)，AP=(0，2，23)，取平面PAC的法向量OB=(2，0，0)，
设M(a，2-a，0)(0≤a≤2)，则AM=(a，4-a，0)，
设平面PAM的法向量为n=(x，y，z)，
由AP·n=0，AM·n=0得2y+23z=0ax+(4-a)y=0，可取n=(3(a-4)，3a，-a)，
所以|cos?OB，n?|=|23(a-4)|23(a-4)2+3a2+a2.
由已知可得|cos?OB，n?|=32.
所以|23(a-4)|23(a-4)2+3a2+a2=32.解得a=-4(舍去)，a=43.
所以n=(-833，433，-43).
又PC=(0，2，-23)，所以cos?PC，n?=34.
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.

21.【解析】本题考查抛物线的综合性问题.
（1）由题意知动圆圆心C到定点F(1，0)的距离与到定直线x=-1的距离相等，由抛物线定义知，动圆圆心C的轨迹是以F(1，0)为焦点，x=-1为准线的抛物线，其中p=2，
即动圆圆心C的轨迹E的方程为y2=4x.
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A、B为不同的两点可知直线l斜率存在且不为0，设斜率为k，则直线方程为y=kx+2，
将y=kx+2与抛物线E的方程y2=4x联立，
得ky2-4y+8=0，Δ>0，y1+y2=4k，y1y2=8k，
又lOP：y=x，联立x=x1，y=x得Q(x1，x1)，
同理可得D(x1，x1y2x2).
则yA+yD-2yQ=y1+x1y2x2-2x1=x2y1+x1y2-2x1x2x2
=y224y1+y124y2-2(y1y2)216x2=2y1y2(y1+y2)-(y1y2)28x2=2·32k2-64k28x2=0.
所以Q为线段AD中点.
22.【解析】本题考查椭圆的综合性问题.
（1）由题可得4a2+1b2=1ca=32，解得a=22b=2，
所以椭圆C的方程为C：x28+y22=1.
（2）直线AQ和直线OP平行，证明如下：
由题易知直线PA和直线PQ斜率均存在，且kPA+kPQ=0，设直线PA斜率为k，
则可知lPA：y-1=k(x-2)，lPQ：y-1=-k(x-2)，设A(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立lPA与椭圆方程x28+y22=1y-1=k(x-2)，得(4k2+1)x2+(8k-16k2)x+16k2-16k-4=0，
则2x1=16k2-16k-44k2+1，所以x1=8k2-8k-24k2+1，
同理可得x2=8k2+8k-24k2+1，
所以kAQ=y1-y2x1-x2=k(x1-2)+1-[-k(x2-2)+1]x1-x2=k(x1+x2)-4kx1-x2
=k(8k2-8k-24k2+1+8k2+8k-24k2+1)-4k8k2-8k-24k2+1-8k2+8k-24k2+1=-8k-16k=12.
又知kOP=12=kAQ，因为A在第四象限，所以点A不在直线OP上，
综上可知，直线AQ和直线OP平行.