(通用版)中考数学总复习考点18 等腰、等边三角形问题（含解析）

这是一份(通用版)中考数学总复习考点18 等腰、等边三角形问题（含解析），共23页。试卷主要包含了等腰三角形，等边三角形，解题方法要领等内容，欢迎下载使用。

专题18 等腰、等边三角形问题

一、等腰三角形
1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角.
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
3.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
4.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
5.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
二、等边三角形
1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形．
2. 性质
性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；
性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。
3.判定
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。
三、解题方法要领
1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在
等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问
题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。

【例题1】（2020•临沂）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【解析】根据等腰三角形的性质可求∠ACB，再根据平行线的性质可求∠BCD．
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝70°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°．
【对点练习】如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（　）

A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC
【答案】A
【解析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．根据等腰三角形的两个底角相等，由AD=BD得到∠A=∠ABD，所以∠ABC＞∠A，则对各C、D选项进行判断；根据大边对大角可对A、B进行判断．
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∴∠ABC＞∠A，所以C选项和D选项错误；
∴AC＞BC，所以A选项正确；B选项错误．
【例题2】（2020•宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）

A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【答案】A
【解析】证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF＝CH．由题意可知BE＝FH，则得出五边形DECHF的周长＝AB+BC，则可得出答案．
∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
【对点练习】如图所示，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E，使BD=CE，AD与BE相交于点P．则∠APE的度数为　 　°．

【答案】60
【解析】根据BD=CE可得CD=AE，即可证明△ACD≌△BAE，得∠CAD=∠ABE，再根据内角和为180°的性质即可解题。
∵BD=CE，
∴BC﹣BD=AC﹣CE，
即CD=AE，
在△ACD与△BAE中，，
∴△ACD≌△BAE（SAS），
∴∠CAD=∠ABE，
∵∠CAD+∠APE+∠AEB=180°，
∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，
∴∠APE=∠BAE=60°
【例题3】（2020•台州）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．

【答案】见解析。
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，
理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴BO＝CO，
∴△BOC是等腰三角形．
【对点练习】如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC=BD.求证：

(1)BC=AD；
(2)△OAB是等腰三角形.
【答案】见解析。
【解析】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°.
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∴△ACB≌△BDA(HL).
∴BC=AD.
（2）由△ACB≌△BDA，得∠CAB=∠DBA，
∴△OAB是等腰三角形.
【对点练习】已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．

【答案】见解析。
【解析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC，∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
【对点练习】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．

【答案】（1）∠ECD的度数是36°；
（2）BC长是5．
【解析】（1）∵DE垂直平分AC
∴CE=AE，
∴∠ECD=∠A=36°
（2）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，
∴∠BEC=∠B，
∴BC=EC=5．

一、选择题
1．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（　　）

A．120° B．130° C．145° D．150°
【答案】B
【解析】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝65°，由平行线的性质得出∠CDE＝∠B＝65°，再由三角形的外角性质即可得出答案．
∵AB＝AC，∠C＝65°，
∴∠B＝∠C＝65°，
∵DF∥AB，
∴∠CDE＝∠B＝65°，
∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°.
2．（2020•南充）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（　　）

A． B． C．a﹣b D．b﹣a
【答案】C
【解析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD＝BC＝AD，进而解答即可．
∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b，
∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b
3．（2020•徐州）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（　　）

A．75° B．70° C．65° D．60°
【答案】B
【解析】先利用对顶角相等和互余得到∠A＝20°，再利用等腰三角形的性质得到∠OBA＝∠A＝20°，然后根据切线的性质得到OB⊥BC，从而利用互余计算出∠ABC的度数．
∵OC⊥OA，∴∠AOC＝90°，
∵∠APO＝∠BPC＝70°，∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠A＝20°，
∵BC为⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°．
4.已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．
作出图形，根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点P到三边的距离之和等于高线的长度，从而得解．

如图，∵等边三角形的边长为3，
∴高线AH=3×=，
S△ABC=BC•AH=AB•PD+BC•PE+AC•PF，
∴×3•AH=×3•PD+×3•PE+×3•PF，
∴PD+PE+PF=AH=，
即点P到三角形三边距离之和为．
5.（•浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（    ）

A. 60°                              B. 65°                           C. 75°                                D. 80°
【答案】D
【解析】考点是三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质。
∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE=75°，
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，
即x+180°-4x+75°=180°，
解得：x=25°，
∠CDE=180°-4x=80°.
6.（•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（　　）

A．20°B．30°C．45° D．60°
【答案】B
【解析】在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°
二、填空题
7．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　　．

【答案】6
【解析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
8．（2020•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中：
①BF＝CE；
②∠AEM＝∠DEM；
③AE﹣CEME；
④DE2+DF2＝2DM2；
⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF：1；
⑥CF•DM＝BM•DE，
正确的有　 　．（只填序号）

【解析】①②③④⑤⑥．
【分析】证明△BCF≌△CAE，得到BF＝CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到EFEM，可判断③，同时得到∠MEF＝∠MFE＝45°，可判断②；再证明△DFM≌△NEM，得到△DMN为等腰直角三角形，得到DN，DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出DE＝EM，再证明△ADE≌△ACE，得到DE＝CE，则有，从而判断⑤；最后证明△CDM∽ADE，得到，结合BM＝CM，AE＝CF，可判断⑥．
【解析】∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，
∴△BCF≌△CAE（AAS），
∴BF＝CE，故①正确；
由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，
∴AE﹣CE＝CF＝CE＝EF，
连接FM，CM，
∵点M是AB中点，
∴CMAB＝BM＝AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，
∴∠DBF＝∠DCM，
又BM＝CM，BF＝CE，
∴△BFM≌△CEM（SAS），
∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，
∵∠BMC＝90°，
∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，
∴EFEM＝AE﹣CE，故③正确，∠MEF＝∠MFE＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正确，
设AE与CM交于点N，连接DN，
∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，
∴△DFM≌△NEM（ASA），
∴DF＝EN，DM＝MN，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴DNDM，而∠DEA＝90°，
∴DE2+DF2＝DN2＝2DM2，故④正确；
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∠ADE＝67.5°，
∵∠DEM＝45°，
∴∠EMD＝67.5°，即DE＝EM，
∵AE＝AE，∠AED＝∠AEC，∠DAE＝∠CAE，
∴△ADE≌△ACE（ASA），
∴DE＝CE，
∵△MEF为等腰直角三角形，
∴EFEM，
∴，故⑤正确；
∵∠CDM＝∠ADE，∠CMD＝∠AED＝90°，
∴△CDM∽ADE，
∴，
∵BM＝CM，AE＝CF，
∴，
∴CF•DM＝BM•DE，故⑥正确。


9．如图所示，D是等边△ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，△ABC的周长是9，则∠E=　 　°，CE=　　 ．

【答案】30；
【解析】由△ABC为等边三角形，且BD为边AC的中线，根据“三线合一”得到BD平分∠ABC，而∠ABC为60°，得到∠DBE为30°，又因为DE=DB，根据等边对等角得到∠E与∠DBE相等，故∠E也为30°；
由等边三角形的三边相等且周长为9，求出AC的长为3，且∠ACB为60°，根据∠ACB为△DCE的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出∠CDE也为30°，根据等角对等边得到CD=CE，都等于边长AC的一半，从而求出CE的值
解：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，
∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，
即∠DBE=30°，又DE=DB，
∴∠E=∠DBE=30°，
∵等边△ABC的周长为9，∴AC=3，且∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，即∠CDE=∠E，
∴CD=CE=AC=．
10.(黑龙江绥化)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D在AC上,且BD＝BC＝AD,则∠A＝______度.

【答案】16
【解析】∵BD＝AD,设∠A＝∠ABD＝x,∴∠BDC＝2x,∵BD＝BC,∴∠C＝∠BDC＝2x,∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠C＝2x,∴x+2x+2x＝180°,∴x＝36°.
三、解答题
11．（2020•绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．

【答案】见解析。
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；
（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）∠DAC的度数不会改变；
∵EA＝EC，
∴∠AED＝2∠C，①
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAD[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°；
（2）设∠ABC＝m°，
则∠BAD（180°﹣m°）＝90°m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°m°，
∵EA＝EC，
∴∠CAEAEB＝90°n°m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°m°+90°n°m°n°．
12．（2020•凉山州）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

【答案】见解析。
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可；
（2）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；
（3）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．
【解析】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC
∵∠BAC＝60°，
∴∠QMC＝60°；
（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变
理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，
即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．