(通用版)中考数学总复习考点16 相交线与平行线（含解析）

专题16 相交线与平行线

一、相交线

1．邻补角

（1）定义：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

（2）性质：邻补角的性质：邻补角互补。

2．对顶角

（1）定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。

（2）性质：对顶角的性质：对顶角相等。

3．垂线

（1）定义：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

（2）垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

4．同位角、内错角、同旁内角

（1）同位角定义：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

（2）内错角定义：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。

（3）同旁内角定义：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

二、平行线

1.平行线概念：在同一平面内，两条不想交的直线叫做平行线。记做a∥b

如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。

2.两条直线的位置关系：平行和相交。

3.平行线公理及其推论：

（1）公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；

（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行.

4.平行线的判定：

判定方法1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行；

判定方法2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行；

判定方法3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，两直线平行.

补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行。

（2）垂直于同一条直线的两直线平行。

5.平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

6．证明的一般步骤

（1）根据题意，画出图形。

（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

【例题1】（2020•北京）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5

【答案】A

【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．

【解析】A．∵∠1和∠2是对顶角，

∴∠1＝∠2，故A正确；

B．∵∠2＝∠A+∠3，

∴∠2＞∠3，故B错误；

C．∵∠1＝∠4+∠5，故③错误；

D．∵∠2＝∠4+∠5，∴∠2＞∠5；故D错误.

【对点练习】（•河北省）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容

则回答正确的是（　　）

A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 

C．▲代表∠EFC D．※代表AB

【答案】C．

【解析】证明：延长BE交CD于点F，

则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．

又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．

故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

【点拨】以角度之间的关系为前提，得出两条直线平行，是平行线判定定理的运用。

【例题2】（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为　   　．

【答案】105°．

【分析】利用平行线的性质得到∠2＝∠D＝45°，然后结合三角形外角定理来求∠1的度数．

【解析】如图，∵AB∥CD，∠D＝45°，

∴∠2＝∠D＝45°．

∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°，

∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°．

【对点练习】（江苏镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝_______．

【答案】40°

【解析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理，先求出∠ACD的度数是解题的关键．

∵△BCD是等边三角形，

∴∠B＝∠BCD＝60°．

∵∠A＝20°，

∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝100°．

∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝40°．

∵a∥b，

∴∠1＝∠ACD＝40°．

【点拨】已知两条直线平行的情况下，求解或者证明其他问题的过程，是利用平行线性质解决问题。

【例题3】（2020•武汉）如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．求证：AB∥CD．

【答案】见解析。

【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠FEB＝∠EFC，进而得出AB∥CD．

【解答】证明：∵EM∥FN，

∴∠FEM＝∠EFN，

∠BEF＝∠CFE，

又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，

∴∠FEB＝∠EFC，

∴AB∥CD．

【对点练习】如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．

①∠DAB+∠B=多少度？

②AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？试说明理由．

【答案】见解析。

【解析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°（2）根据同旁内角互补两直线平行可得AD∥BC，∠ACD不能确定从而不能确定AB与CD平行．

①∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，

又∠1=30°，∴∠BAD=120°，

∵∠B=60°，

∴∠DAB+∠B=180°．
②答：AD∥BC，AB与CD不一定平行．

理由是：

∵∠DAB+∠B=180°

∴AD∥BC

∵∠ACD不能确定

∴AB与CD不一定平行．

一、选择题

1．（2020•长沙）如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD、GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的大小为（　　）

A．60° B．45° C．30° D．25°

【答案】C

【分析】依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠ACE的度数，进而得出∠ECB的度数．

【解析】∵AB平分∠CAD，

∴∠CAD＝2∠BAC＝120°，

又∵DF∥HG，

∴∠ACE＝180°﹣∠DAC＝180°﹣120°＝60°，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°

2．（2020•滨州）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（　　）

A．60° B．70° C．80° D．100°

【答案】B

【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．

【解析】∵AB∥CD，

∴∠1＝∠CPF＝55°，

∵PF是∠EPC的平分线，

∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，

∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°

3．（2020•自贡）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°

【答案】B

【分析】由平行线的性质和对顶角相等即可得出答案．

【解析】如图所示：

∵a∥b，

∴∠3＝∠1＝50°，

∴∠2＝∠3＝50°

4．（2020•金华）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由是（　　）

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 

B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 

C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 

D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【答案】B

【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．

【解析】由题意a⊥AB，b⊥AB，

∴a∥b（垂直于同一条直线的两条直线平行）

5.（•海南省）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°

【答案】C

【解析】根据平行线的性质解答即可．

∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，

∴AC＝AB，

∴∠CBA＝∠BCA＝70°，

∵l1∥l2，

∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，

∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°

6.（•湖北省鄂州市）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°

【答案】B

【解析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可．

如图，

作EF∥AB∥CD，

∴∠2＝∠AEF＝35°，∠1＝∠FEC，

∵∠AEC＝90°，

∴∠1＝90°﹣35°＝55°

7.（2020•广元）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（　　）

A．180° B．360° C．270° D．540°

【答案】B

【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．

【解析】过点P作PA∥a，

∵a∥b，PA∥a，

∴a∥b∥PA，

∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，

∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，

∴∠1+∠2+∠3＝360°．

二、填空题

8．（2020•南充）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝　　度．

【答案】38．

【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．

【解析】∵两直线交于点O，

∴∠1＝∠2，

∵∠1+∠2＝76°，

∴∠1＝38°．

9．（2020•杭州）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝　   　．

【答案】20°．

【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．

【解析】∵AB∥CD，

∴∠ABF+∠EFC＝180°，

∵∠EFC＝130°，

∴∠ABF＝50°，

∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，

∴∠A＝20°．

10.（广西省贵港市）如图，直线，直线与，均相交，若，则　　．

【答案】．

【解析】知识点是平行线的性质

如图，，

，

，

．

11.（江苏镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝______．

【答案】40°

【解析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理，先求出∠ACD的度数是解题的关键．

∵△BCD是等边三角形，

∴∠B＝∠BCD＝60°．

∵∠A＝20°，

∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝100°．

∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝40°．

∵a∥b，

∴∠1＝∠ACD＝40°．

【点拨】已知两条直线平行的情况下，求解或者证明其他问题的过程，是利用平行线性质解决问题。

12.（湖南益阳）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝　　  度．

【答案】52．

【解析】根据平行线的性质解答即可．

∵AB∥CD，∴∠OCD＝∠2，

∵OA⊥OB，∴∠O＝90°，

∵∠1＝∠OCD+∠O＝142°，

∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°

13．（•威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝　　   ．

【答案】3

【解析】延长BC、AD相交于点F，可证△EBC≌△EFC，可得BC＝CF，则CD为△ABF的中位线，故CD＝可求出．如图，延长BC、AD相交于点F，

∵CE⊥BC，∴∠BCE＝∠FCE＝90°，

∵∠BEC＝∠DEC，CE＝CE，

∴△EBC≌△EFC（ASA），∴BC＝CF，

∵AB∥DC，∴AD＝DF，

∴DC＝．

三、解答题

14.如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．

（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．

【答案】（1）如图所示：（2）DE∥AC

【解析】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；

（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论．

14．如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．

①∠DAB+∠B=多少度？

②AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？试说明理由．

【答案】见解析。

【解析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°（2）根据同旁内角互补两直线平行可得AD∥BC，∠ACD不能确定从而不能确定AB与CD平行．

①∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，

又∠1=30°，∴∠BAD=120°，

∵∠B=60°，

∴∠DAB+∠B=180°．
②答：AD∥BC，AB与CD不一定平行．

理由是：

∵∠DAB+∠B=180°

∴AD∥BC

∵∠ACD不能确定

∴AB与CD不一定平行．