2023年重庆八中自主招生数学试卷（含解析）

这是一份2023年重庆八中自主招生数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年重庆八中自主招生数学试卷一、填空题（本大题共10小题，共30.0分）1.  已知：：，：：，则：：______．2.  已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为______ ．3.  已知个自然数之积是，这个自然数之和也是，那么的值最大是______ ．4.  甲、乙两筐苹果各有若干千克，从甲筐拿出到乙筐后，又从乙筐拿出到甲筐，这时甲、乙两筐苹果的质量相等，则原来乙筐的苹果质量是甲筐的______5.  如图，平分，平分若，，则 ______ ．
 6.  如图，一个瓶子的容积为升，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为，倒放时，空余部分的高度为瓶内溶液的体积为______ 升
7.  为了庆祝中共二十大胜利召开，某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有道题，满分分，每一题答对得分，答错扣分，不答得分若某参赛同学有道题没有作答，最后他的总得分为分，则该参赛同学一共答对了______ 道题．8.  算法统宗中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？古代一斗是升
大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的升酒．按照这样的约定，在第个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．则李白的酒壶中原有______升酒．9.  学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地的草割完．已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加社会实践活动的人数为______人．10.  磁器口古镇，被赞誉为“小重庆”，磁器口的陈麻花更是重庆标志性名片之一．磁器口某门店从陈麻花生产商处采购了原味、麻辣、巧克力三种口味的麻花进行销售，其每袋进价分别是元，元，元，其中原味与麻辣味麻花每袋的销售利润率相同，原味与巧克力味麻花每袋的销售利润相同．经统计，在今年元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量是：：，其销售原味与巧克力味麻花的总利润率是，且巧克力味麻花销售额比原味麻花销售额多元，则今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润共______元．二、计算题（本大题共1小题，共6.0分）11.  解下列方程：
；
．三、解答题（本大题共13小题，共104.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）12.  本小题分
计算：
；
．13.  本小题分
计算：．14.  本小题分
计算：．15.  本小题分
计算：

 16.  本小题分
学校要求六年级一班的第一小队种植向日葵若干棵，小队长这样分配任务：刘丽要种棵和余下任务的，剩下的任务由赵男种棵和其余任务的，再剩下的任务，由王强种棵和其余任务的；照这样分任务后发现，全小队每人种植向日葵的棵树都相等问第一小队共种植向日葵多少棵？17.  本小题分
对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边一般情况下，天头长与地头长的比是：，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为若要求装裱后的长是装裱后的宽的倍，求边的宽和天头长．
书法作品选自启功法书
18.  本小题分
号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升与此同时，号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升两个气球都上升了号、号气球所在位置的海拔，单位：与上升时间单位：的函数关系如图所示请根据图象回答下列问题：
______ ， ______ ；
请分别求出，与的函数关系式；
当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？
19.  本小题分
设，，，为自然数，且，，求，，，．20.  本小题分
利用一元一次方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天名一级技工去铺个宿舍，结果还剩地面未铺瓷砖；同样时间内名二级技工铺个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺瓷砖．
求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积．
现该学校有个宿舍的地板和的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有名一级技工来铺瓷砖，施工天后，学校根据实际情况要求还要天必须完成剩余的任务，决定加入名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为：，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？21.  本小题分
为了更好的实现信息化教学，我校准备从某公司购入一批新型设备经调查，某公司有、两种型号设备，其中每台型号设备的售价比每台型号设备的售价的倍少一万元若购买型号设备台，型号设备台，则共需资金万元．
求每台、型号设备的售价分别为多少万元？
该公司在“元旦”期间有如下表所示优惠活动： 折前一次性购物总金额优惠措施不超过万元不优惠超过万元但不超过万元按总售价打折超过万元但不超过万元按总售价打折超过万元的按总售价打折由于、两种型号不混合出售，按上述优惠条件，学校第一次购买型号设备一次性付款元，第二次购买型号设备一次性付款元，求购买、两种设备共多少台？22.  本小题分
排列成长为米的一队新兵队伍步行去某地进行军事训练，队长走在队伍头，整个队伍步行的速度是米分．当队伍头走到的途中的地时，队长命令他身旁的通讯员甲以米分的速度急行军沿队伍从队伍头至队伍尾检查队伍步行的纪律，同时要求通讯员甲到达队伍尾后以原急行军的速度沿队伍从队伍尾返回队伍头．
通讯员甲沿队伍从队伍头至队伍尾后又从队伍尾返回队伍头共需要几分钟？
若通讯员甲返回队伍头把队伍步行的纪律情况向队长汇报完后，队长又命令身旁的通讯员乙以米分的速度急行军沿队伍从队伍头至队伍尾传达上级的一项命令．当通讯员乙到达队伍尾准备立即返回队伍头时，整个队伍步行的速度立即提升了，于是通讯员乙返回队伍头的速度也在他原来急行军的速度的基础上立即提升了，若通讯员乙沿队伍从队伍头至队伍尾后又从队伍尾返回队伍头所需要的时间、比通讯员甲沿队伍从队伍头至队伍尾后又从队伍尾返回队伍头所需要几分钟少了，求的值．23.  本小题分
如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“绝对数”，如：三位数，，是“绝对数”，把一个绝对数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字的倍，十位数字的两倍和个位数字之和记为．
如：，．
请问是不是“绝对数”，如果是，请求出，的值；
若三位数是“绝对数”，且是完全平方数，请求出所有符合条件的．24.  本小题分
在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：，即

材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，
根据材料回答问题：
已知，求的值．
已知，求的值．
若，，，，且，求的值．
答案和解析 1.【答案】：： 【解析】解：由题意，可设，则，．
：：：：：：．
故答案为：：：．
根据比例的性质解决此题．
本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．
 2.【答案】或 【解析】解：当点在线段上时：

，，
，
为线段的中点，
，
；
当点在线段的延长线上时，，

为线段的中点，
，
；
综上：的长为或；
故答案为：或．
分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解即可．
本题考查与线段中点有关的计算．解题的关键是正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．
 3.【答案】 【解析】解：的质因数分解式是，，还需要补个；，那么的值最大是．
故答案为：．
为了构造和与积都等于的一组自然数，首先把拆成若干个整数之积，然后把和不足的地方用补足．容易看出来，拆分成的整数越多，它们的和就越小，需要添加的也就越多．
本题考查的是分解质因数，并与最值问题相结合，几个数乘积一定，差越大则和越大．
 4.【答案】 【解析】解：设甲、乙两筐苹果各有、，
从甲筐拿出到乙筐后，
甲、乙两筐苹果分别为：，，
从乙筐拿出到甲筐后，
甲、乙两筐苹果分别为：，，
由题意可知：，
解得：，
则原来乙筐的苹果质量是甲筐的：．
根据两次拿完苹果后甲、乙两筐苹果的质量相等列出方程即可．
本题主要考查了二元一次方程的应用，找准题目的等量关系是解答本题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：平分，平分，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据角平分线的定义得出，，再根据已知条件得出，即可求出的度数，从而求出的度数．
本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：设瓶子的底面积为，升，
根据题意列方程得，，
解得，
，
，
故答案为：．
设瓶子的底面积为，根据溶液的体积空余部分的体积升列方程求解即可．
本题主要主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：设该同学一共答对了道题，
一共有道题，有道题没有作答，
该同学答错了道题，
由题意，得：，
解得：；
该参赛同学一共答对了道题；
故答案为：．
设该同学一共答对了道题，则答错了道题，根据题意，列出一元一次方程，进行求解即可．
本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：设壶中原有升酒，
根据题意得：，
解得：．
答：壶中原有升酒．
故答案为：．
设壶中原有升酒，由在第个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查一元一次方程的应用，理解题意的能力，遇店加一倍，遇到朋友喝一斗，先经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友．也就是，经过酒店三次，碰到朋友三次酒正好没了壶中酒，可列方程求解．
 9.【答案】 【解析】解：由题可知每人每天除草量是一定的，
设此次参加社会实践活动的人数为人，每人每天除草量为，
则上午在大片草地除草量为，
下午在大片草地除草量为，
下午在小片草地除草量为，
一个人刚好把剩下一块的小片地除完则为，又因为大片地的面积是小片地的倍，列出方程，
，
，
，
，
，
．
答：此次参加社会实践活动的人数为人．
故答案为：．
由题意可知每人每天除草量是一定的，设此次参加社会实践活动的人数为人，每人每天除草量为，则上午在大片草地除草量为，下午在大片草地除草量为，下午在小片草地除草量为，一个人刚好把剩下一块的小片地除完则为，又因为大片草地的面积是小片草地的倍，列出方程解答即可．
此题考查了一元一次方程的应用，主要是先明白每人每天除草量是一定的，设次参加社会实践活动的人数为人，每人每天除草量为，根据题意找到关系即可解答．
 10.【答案】 【解析】解：设原味麻花的销售单价为元，根据题意得，
麻辣味麻花销售单价为元，
巧克力麻花的销售单价为元，
设今年元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量分别是：原味袋，麻辣味袋，巧克力味袋，根据题意得，
，
解得，，
今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润为：．
故答案为：．
设原味麻花的销售单价为元，用表示其它两种麻花的销售单价，再设今年元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量分别是：原味袋，麻辣味袋，巧克力味袋，根据题意列出方程组，求得与的值，进而再用、的代数式表示今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润，最后代值计算．
本题主要考查了一次方程组的应用，列代数式，求代数式的值，关键正确列出方程组和代数式．
 11.【答案】解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得． 【解析】本题考查了一元一次方程的解法．它的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把方程化成的形式，把系数化为．
通过去括号，移项，合并同类项，把方程化成的形式，把系数化为可求解；
通过去分母，去括号，移项，合并同类项，把方程化成的形式，把系数化为可求解；
 12.【答案】解：


；




． 【解析】先计算有理数的乘方，再算乘除法，最后算加减法即可；
根据乘法分配律计算即可．
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和法则．
 13.【答案】解：原式



． 【解析】通过观察被除数的分子有公因数，先进行计算，再按照计算顺序计算即可．
本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序便可解决问题．
 14.【答案】解：设，则，，
原式



． 【解析】设，则，，进一步代入求得答案即可．
此题考查分数的混合运算，抓住数字的特点，利用整体思想解决问题．
 15.【答案】解：原式
．
原式

． 【解析】根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 16.【答案】解：设第一小队共种植向日葵棵，
根据题意，得
解得．
答：第一小队共种植向日葵棵． 【解析】设第一小队共种植向日葵棵，根据“全小队每人种植向日葵的棵树都相等”列出方程并解答．
考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程并解答．
 17.【答案】解：设天头长为，地头长为，则左、右边的宽为，
根据题意得，，
解得，
答：边的宽为，天头长为． 【解析】若要求装裱后的长是装裱后的宽的倍，求边的宽和天头长．
本题考查了一元一次方程的应用，正确地理解题意列出方程是解题的关键．
 18.【答案】   【解析】解：号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．
当时，两球相遇，
，
，
设号探测气球解析式为，
过，
，
解得，
，
故答案为：，；
根据题意得：
号探测气球所在位置的海拔：，
号探测气球所在位置的海拔：；
分两种情况：
号探测气球比号探测气球海拔高米，根据题意得：
，
解得；
号探测气球比号探测气球海拔高米，根据题意得：
，
解得．
综上所述，上升了或后这两个气球相距．
根据“号探测气球从海拔米处出发，以米分的速度上升”求出，再根据计算出即可；
根据“号探测气球从海拔米处出发，以米分的速度上升，号探测气球从海拔米处出发，以米分的速度上升”，得出号探测气球、号探测气球的函数关系式；
两个气球所在位置的海拔相差米，分两种情况：号探测气球比号探测气球海拔高米；号探测气球比号探测气球海拔高米；分别列出方程求解即可．
此题主要考查了一次函数以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出函数解析式．
 19.【答案】解：，
，
，
，
，，，为自然数，
或，
当时，，
，
或或，
当时，，
，
或或或或或或或．
由，依次代入经过计算可得，
，，，，，． 【解析】根据得到，由大小关系得到，从而得到，依次类推得到，，最后计算即可．
本题考查了分数的比较大小及计算，熟练掌握分数的计算法则是解题的关键．
 20.【答案】解：设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为，
根据题意可知：，
解得：，
答：每个宿舍需要铺瓷砖为．
设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为，
原来每名一级技工每天铺瓷砖的面积为，
原来每名二级技工每天铺瓷砖的面积为，
，
解得：，
，
答：每名二级技工每天需要铺平方米瓷砖才能按时完成任务． 【解析】设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为，根据题意列出方程即可求出答案．
设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为，根据题意列出方程即可求出答案．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解
 21.【答案】解：设每台型号设备的售价为万元，则每台型号设备的售价为万元，
依题意得：，
解得：，
．
答：每台型号设备的售价为万元，每台型号设备的售价为万元．
设第一次购买型号设备台，第二次购买型号设备台，
依题意得：，或，
解得：，或，
或．
答：购买、两种设备共台或台． 【解析】设每台型号设备的售价为万元，则每台型号设备的售价为万元，根据“购买型号设备台，型号设备台，共需资金万元”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设第一次购买型号设备台，第二次购买型号设备台，根据第一、二次的付款额，即可得出关于或的一元一次方程，解之即可得出或的值，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 22.【答案】解：设通讯员甲沿队伍从队伍头至队伍尾需分钟，
则，
解得，
设通讯员甲沿队伍从队伍尾至队伍头需分钟，
则，
解得，
所以分钟，
答：共需要分钟；
依题意得，
，
解得．
故的值是． 【解析】通讯员甲从队伍头至队伍尾后是相遇问题，从队伍尾返回队伍头是追及问题，分别列方程求解即可；
表示出通讯员乙从队伍头至队伍尾后再从队伍尾返回队伍头需要的时间，再列方程求解．
本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键．
 23.【答案】解：，
是“绝对数”，
，
；

设三位数为，，且，，为整数，
三位数为“绝对数”，
，
，
，
，，且，为整数，
，
是完全平方数，
是完全平方数，
，
，
或或
三位数为“绝对数”，
，
，
当，时，或，
三位数为或，
当，时，或舍去，
三位数为，
当，时，或舍，
三位数为，
即满足条件的为或或或． 【解析】根据“绝对数”的定义直接判断，以及的计算方法计算，即可得出结论；
设三位数为，，且，，为整数，进而用是完全平方数，得出，进而求出，的值，即可得出结论．
此题主要考查了完全平方数，新定义，判断出是解本题的关键．
 24.【答案】解：，
，
，
；
设，则，，，
；
设，
，
，
，
，得
，
，
，得：，
，得：，
，得：，
，，，

，
，
解得，，
，，，
． 【解析】根据题意，可知，然后变形整理，即可得到所求式子的值；
根据材料中的例子，可以求得所求式子的值；
根据材料中的例子，将题目中的式子整理，化简，即可得到所求式子的值．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．