2023-2024学年重庆八中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆八中高二（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知事件A与事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，则( )
A. P(AB)=0.15B. P(A+B)=0.8C. P(A−)=0.5D. P(B−)=0.6
2.已知椭圆x225+y29=1的左焦点是双曲线x2a2−y29=1的左顶点，则双曲线的渐近线为( )
A. y=±45xB. y=±35xC. y=±43xD. y=±34x
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=9，S4=40，则数列{an}的公差d=( )
A. 3B. 2C. 32D. 4
4.某学习小组研究一种卫星接收天线(如图①所示)，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处(如图②所示).已知接收天线的口径(直径)为2.4，深度为0.4，则该抛物线的焦点到顶点的距离为( )
A. 0.9B. 1.8C. 1.2D. 1.05
5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是棱CC1的中点，则异面直线BM与AC所成角的正弦值为( )
A. 105B. 3 1010C. 155D. 1010
6.直线y=kx+3与圆(x−2)2+(y−3)2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2 3，则k的取值范围是( )
A. [−34,0]B. (−∞,−34]∪[0,+∞)
C. [− 33, 33]D. [−23,0]
7.直线l：x−2y+ 3=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F，且与椭圆交于A，B两点，若M为线段AB中点，|MF|=|OM|，则椭圆的离心率为( )
A. 22B. 12C. 32D. 3−12
8.已知数列{an}满足an+an+1=2×(−1)n,n∈N*，且a2=5，记数列{1anan+1}的前n项和为Sn，则S49=( )
A. 113B. 115C. 215D. 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.重庆八中组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组的取值区间均为左闭右开)，如图所示，画出频率分布直方图，下列说法正确的是( )
A. 成绩在区间[90,100)内的学生有46人B. 图中x的值为0.03
C. 估计全校学生成绩的中位数约为86.67D. 估计全校学生成绩的80%分位数为90
10.已知圆O：x2+y2=4和圆C：(x−3)2+(y−3)2=10，则下列说法正确的是( )
A. 圆O与圆C有四条公切线
B. 点P为圆O上一动点，|PC|的最大值为3 2+2
C. 圆O与圆C的公共弦所在直线方程为x+y=2
D. 圆O与圆C的公共弦长为2 2
11.设数列{an}的前n项和为Sn，满足2an+1=an+an+2，其中a1=19，a2=17，则下列选项正确的是( )
A. {an}为等差数列
B. Snn=20−n
C. 当n=11时，Sn有最大值
D. 设bn=anan+1an+2，则当n=8或n=10时，数列{bn}的前n项和取得最大值
12.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过左焦点F1作一条渐近线的垂线，垂足为P，过右焦点F2作一条直线交双曲线的右支于A，B两点，△F1AB的内切圆与F1A相切于点Q，则下列选项正确的是( )
A. 线段AB的最小值为b2a
B. △F1AB的内切圆与直线AB相切于点F2
C. 当|PF1|=|QF1|时，双曲线的离心率为 5
D. 当点F1关于点P的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为 3x±y=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在等比数列{an}中，a1+a2=3，a5+a6=6，则a9+a10= ______ ．
14.某公司的入职面试中有3道难度相同的题目，小李每道题目答对的概率都是0.7，小李共有3次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设3道题目能否答对相互独立，那么小李最终通过面试的概率为______ ．
15.已知数列{an}满足a1=1.an+1=anan+2，则数列{1an}的前8项和S8= ______ ．
16.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点M(2,0)的直线交抛物线C于A，B两点，若|AM|=2|MB|，|AF|=5，则p= ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[40,100]内，并制成如图所示的频率分布直方图．

(1)估计这100名学生的平均成绩；
(2)若在区间[70,80)内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间[80,100]内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在[70,100]内的所有学生测试成绩的平均数和方差．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的首项a1=1，设Sn为数列{an}的前n项和，且有2Sn=(n+1)an．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令cn=an⋅2n，求数列{cn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=PD=2CD=2，PB=3，点E为棱PC上的点，且BC⊥DE．
(1)证明：AD⊥PD；
(2)若PE=2CE，求直线DE与平面PAC所成角的大小．
20.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px过点P(1,2).过点(0,1)作直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，过点A作x轴的垂线分别与直线OP、OB交于点M，N，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：M为线段AN的中点．
21.(本小题12分)
已知等差数列{an}的首项a1=−1，公差d≤0.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*)．
(1)若S52−25a2a4=25，求Sn；
(2)若对于每个n∈N*，存在实数x，使an+x，an+1+3x，an+2+8x成等比数列，求公差d的取值范围．
22.(本小题12分)
设椭圆E：x24+y23=1的右焦点为F，点A，B，P在椭圆E上，点M是线段AB的中点，点F是线段MP的中点.(1)若M为坐标原点，且△ABP的面积为2 3，求直线AB的方程；
(2)求△ABP面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：事件A与事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，
对于A，P(AB)=0，故A错误；
对于B，P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8，故B正确；
对于C，P(A−)=1−P(A)=1−0.3=0.7，故C错误；
对于D，P(B−)=1−P(B)=1−0.5=0.5，故D错误．
故选：B．
利用对立事件、互斥事件性质、概率计算公式直接求解．
本题考查对立事件、互斥事件性质、概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵椭圆x225+y29=1中c2=25−9=16，
∴椭圆的左焦点是：(−4,0)，
故双曲线x2a2−y29=1的左顶点为(−4,0)，
∴a2=42=16．
∴双曲线的渐近线为：y=±34x.
故选：D．
根据已知条件求出双曲线中的a2，进而求解结论．
本题主要考查双曲线和椭圆的性质，考查计算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=9，S4=40，
∴a1+d=94a1+4×32d=40，
解得a1=7，d=2，
则数列{an}的公差d=2．
故选：B．
利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组，能求出数列{an}的公差d．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式及其性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：设该抛物线的方程为y2=2px，p>0，
由题意可得：点(0.4,1.2)在抛物线上，
则1.22=2×0.4p，
即p=1.8，
则p2=0.9，
即该抛物线的焦点到顶点的距离为0.9．
故选：A．
结合抛物线的性质求解．
本题考查了抛物线的性质，属中档题．
5.【答案】A
【解析】解：取DD1的中点N，连AN，MN，CN，
则MN//AB，MN=AB，所以四边形ABMN是平行四边形，
所以AN//BM，所以∠NAC(或其补角)是异面直线BM与AC所成的角，
设正方体的棱长为1，则AC= 2，AN=CN= 52，
则cs∠NAC=12ACAN= 22 52= 105．
所以异面直线BM与AC所成角的余弦值为 105．
故选：A．
取DD1的中点N，∠NAC(或其补角)是异面直线BM与AC所成的角，在△ANC中求角即可．
本题考查异面直线所成的角，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，圆的弦长公式及其应用，属于中等题．
结合题意得到关于实数k的不等式，求解不等式即可求得最终结果．
【解答】
解：设圆心(2,3)到直线y=kx+3的距离为d，
由弦长公式得，MN=2 4−d2≥2 3，故d⩽1，
即|2k−3+3| k2+1≤1，化简得3k2≤1，
∴− 33≤k≤ 33，
故k的取值范围是[− 33, 33]．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：因为直线l：x−2y+ 3=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F(−c,0)，
所以−c+ 3=0，解得c= 3，①
因为∠MFO=∠MOF，
所以kOM=−kAB=−12，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，
所以x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，
两式相减得，(x1+x2)(x1−x2)a2+(y1+y2)(y1−y2)b2=0，
所以x1+x2 a2+(y1+y2)(y1−y2)b2(x1−x2)=0，
所以2x0a2+2y0b2⋅y1−y2x1−x2=0，
所以1a2+1b2kOM⋅kAB=0，
所以kOM⋅kAB=−b2a2=−14，
所以b2a2=14，②
又因为a2=b2+c2，③
解得a2=4，b2=1，
故椭圆的离心率e=ca= 32．
故选：C．
根据题意可得−c+ 3=0，解得c= 3，由∠MFO=∠MOF，推出kOM=−kAB=−12，再结合点差法即可求解结论．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：∵数列{an}满足an+an+1=2×(−1)n,n∈N*，
∴a2n−1+a2n=−2，a2n+a2n+1=2，
∴a2n+1−a2n−1=4，
∵a1+a2=−2，a2=5，
∴a1=−7，
∴数列{a2n−1}是等差数列，公差为4，首项为−7，
∴a2n−1=−7+4(n−1)=4n−11=2(2n−1)−9，
∴a2n=−2−(4n−11)=9−4n，=9−2(2n)，
可得an=(−1)n+1(2n−9)，bn=−1(2n−9)(2n−7)=−12(12n−9−12n−7)，
∴S49=−12[(1−7−1−5)+(1−5−1−3)+...+(189−191)]=−12(1−7−191)=113．
故选：A．
推得数列{a2n−1}是等差数列，公差为4，首项为−7，由等差数列的通项公式求得a2n−1，a2n，an，再由数列的裂项相消求和，可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：由题意，成绩在区间[90,100)内的学生人数为200×0.040×10=80，故A错误；
由(0.005+0.010+0.015+x+0.040)×10=1，得x=0.030，故B正确；
设中位数为a，则(0.005+0.010+0.015)×10+0.030×(a−80)=0.5，
解得a≈86.67，则可估计全校学生成绩的中位数约为86.67，故C正确；
低于90分的频率为1−0.4=0.6，设80%分位数为n分，则0.6+(n−90)×0.04=0.8，
解得n=95，故D错误．
故选：BC．
根据频率分布直方图的性质判断AB，根据中位数和百分位数的定义判断CD．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数和百分位数的计算，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，圆O：x2+y2=4，圆心为O(0,0)，半径r1=2，
圆C：(x−3)2+(y−3)2=10，圆心C(3,3)，半径r2= 10，
因为两圆的圆心距|OC|=3 2，且 10−2<3 2< 10+2，所以两圆相交，有2条公切线，故A项错误；
对于B，因为P为圆O上一动点，|OC|=3 2，圆O的半径r1=2，
所以|PC|的最大值为|OC|+r1=3 2+2，故B项正确；
对于C，将圆O：x2+y2=4与圆C：x2−6x+y2−6y+8=0方程相减，得6x+6y−8=4，
整理得x+y=2，即为公共弦所在直线方程，故C正确；
对于D，公共弦所在直线为x+y=2，且O(0,0)到直线x+y=2的距离d=2 2= 2，
所以圆O与圆C的公共弦长为2 r12−d2=2 4−2=2 2，故D项正确．
故选：BCD．
根据两圆相交，判断出两圆有2条公切线，得到A项的正误；利用两点间距离公式与圆的性质，判断出B项的正误；根据两圆的方程相减，得到公共弦所在直线方程，判断出C项的正误；利用圆的性质与勾股定理求出公共弦长，判断出D项的正误．
本题主要考查圆的方程及其性质、两圆的位置关系及其应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由2an+1=an+an+2，a1=19，a2=17，
可得an+2−an+1=an+1−an=−a1=17−19=−2，
可得{an}是首项为19，公差为−2的等差数列，故A正确；
由等差数列的求和公式可得Sn=19n−12n(n−1)×2=20n−n2，
即有Snn=20−n，故B正确；
由Sn=20n−n2=−(n−10)2+100，可得n=10时，Sn取得最大值，故C错误；
由an=21−2n，可得1≤n≤10时，an>0；n≥11时，an<0，
由bn=anan+1an+2，
可得b1>0，b2>0，…，b8>0，b9<0，b10>0，b11<0，b12<0，…，bn<0，
由b9+b10=a9a10a11+a10a11a12=a10a11(a9+a12)=1×(−1)×(3−3)=0，
则S8=S10，且为Sn的最大值，故D正确．
故选：ABD．
由等差数列的性质判断{an}是首项为19，公差为−2的等差数列，由等差数列的通项公式和求和公式，对各个选项判断可得结论．
本题考查等差数列的性质和通项公式、求和公式，以及数列前n项和的最值，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：设双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点为F2(c,0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
对于A，当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x=c，则|AB|=2b2a，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x−c)，
联立y=k(x−c)x2a2−y2b2−1，消去y，得(b2−a2k2)x2+2a2ck2x−a2c2k2−a2b2=0，
x1+x2=−2a2ck2b2−a2k2,x1x2=−a2c2k2+a2b2b2−a2k2，
由Δ=(2a2ck2)2−4(b2−a2k2)(−a2c2k2−a2b2)>0x1+x2=−2a2ck2b2−a2k2>0x1x2=−a2c2k2+a2b2b2−a2k2>0，解得k>ba或k<−ba，
所以|AB|= (1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=2ab2(k2+1)a2k2−b2=2ac2k2a2k2−b2−2a=2ac2a2−b2k2−2a>2c2a−2a=2b2a，
所以当直线AB与x轴垂直时，|AB|的长最小，即最小值为2b2a，故A错误；
对于B，如图，
设△F1AB的内切圆与三角形三边的切点分别是Q，E，N，
由切线长性质，可得|AF1|−|BF1|=|AQ|−|BE|=|AN|−|BN|，
因为|AF1|−|AF2|=2a=|BF1|−|BF2|，所以|AF1|−|BF1|=|AF2|−|BF2|，所以F2与N重合，
即△F1AB的内切圆与直线AB相切于点F2，故B正确；
对于C，由题可知双曲线的渐近线为bx±ay=0，F1(−c,0)，则|PF1|=|bc| a2+b2=b，
由上可知|F1Q|=|AF1|−|AF2|=2a，所以b=2a，所以e=ca= 1+b2a2= 5，故C正确；
对于D，若F1关于P点的对称点在另一条渐近线上时，则渐近线与x轴的夹角为π3，则其渐近线方程为 3x±y=0，故D正确．
故选：BCD．
设出直线AB方程，联立双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式可判断A；根据双曲线的定义和内切圆性质可判断B；由题可得b=2a进而可判断C；根据条件可得渐近线与轴的夹角为π3可判断D．
本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的位置关系的综合应用，属于难题．
13.【答案】12
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
a1+a2=3，a5+a6=6，
则q4=a5+a6a1+a2=63=2，
故a9+a10=(a5+a6)q4=6×2=12．
故答案为：12．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
14.【答案】0.973
【解析】解：小李最终通过面试的概率为0.7+0.3×0.7+0.3×0.3×0.7=0.973．
故答案为：0.973．
根据相互独立事件乘法公式求解即可．
本题考查相互独立事件的乘法公式，是基础题．
15.【答案】502
【解析】解：已知数列{an}满足a1=1.an+1=anan+2，
则1an+1=2an+1，
即1an+1+1=2(1an+1)，
又1a1+1=2，
则数列{1an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
设数列{1an+1}的前n项和为Tn，
则T8=2(1−28)1−2=510，
则数列{1an}的前8项和S8=T8−8=510−8=502．
故答案为：502．
由已知可得1an+1+1=2(1an+1)，又1a1+1=2，则数列{1an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，然后结合等比数列前n项和公式求解即可．
本题考查了数列的递推式，重点考查了等比数列的求和公式，属基础题．
16.【答案】2
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由抛物线的对称性，设A在x轴上方，斜率大于0，由题意|AF|=5，可得，x1+P2=5，所以x1=5−P2，代入抛物线的方程可得y1= 10p−p2；
若|AM|=2|MB|，可得x1−2=2(2−x1)，y1=−2y2，可得x2=12+p4，y2=− 10p−p22，所以|BF|=x2+p2，
将B点坐标代入抛物线的方程y22=2px2，即(− 10p−p22)2=2p(12+p4)，解得：p=2．
故答案为：2．
由抛物线的对称性设直线AB的斜率大于0，A在x轴上方，由抛物线性质到焦点的距离等于到准线的距离可得AF用坐标表示，求出A的横坐标，代入抛物线求出A的纵坐标，再由若|AM|=2|MB|，求出B的坐标，代入抛物线的方程求出p的值．
本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)估计这100名学生的平均成绩为x−=45×0.05+55×0.2+65×0.25+75×0.3+85×0.15+95×0.05=69.5(分)；
(2)在区间[70,80)内的学生人数为0.3×100=30人，在区间[80,100]内的学生人数为(0.15+0.05)×100=20人，
所以估计在[70,100]内的所有学生测试成绩的平均数为3030+20×74+2030+20×89=80(分)，
方差为3030+20×[26+(74−80)2]+2030+20×[106+(89−80)2]=80．
【解析】(1)利用平均数的定义求解；
(2)利用分层随机抽样的均值和方差公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了分层随机抽样的均值和方差公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)2Sn=(n+1)an，可得2Sn+1=(n+2)an+1，
上面两式相减可得2an+1=(n+2)an+1−(n+1)an，
化为nan+1=(n+1)an，
即an+1an=n+1n，
则an=a1⋅a2a1⋅a3a2⋅...⋅anan−1=1×21×32×...⋅nn−1=n，
对n=1也成立，故an=n，n∈N*；
(2)cn=an⋅2n=n⋅2n，
数列{cn}的前n项和Tn=1⋅2+2⋅22+3⋅23+...+n⋅2n，
2Tn=1⋅22+2⋅23+3⋅24+...+n⋅2n+1，
上面两式相减可得−Tn=2+22+23+...+2n−n⋅2n+1
=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1，
化简可得Tn=2+(n−1)⋅2n+1．
【解析】(1)由数列的通项与前n项和的关系推得nan+1=(n+1)an，再由数列的恒等式可得所求通项公式；
(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：由ABCD为矩形可知：BC⊥CD，
又因为BC⊥DE，DE∩CD=D，
CD，DE⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD，
又AD//BC，
所以AD⊥面PCD，
又PD⊂面PCD，故AD⊥PD．
(2)由(1)可知BC⊥PC，BC=AD=2，PB=3，所以PC= 5，
在△PCD中，PC2=PD2+CD2，所以PD⊥CD，
又PD⊥AD，CD∩AD=D，CD，AD⊂面ABCD，所以PD⊥面ABCD，
故以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系C−xyz(如图)．

则C(0,0,0)，B(0,2,0)，A(1,2,0)，D(1,0,0)，P(1,0,2)，
又在△PCD中，PECE=2，
则E(13,0,23)，DE=(−23,0,23)，CP=(1,0,2)，CA=(1,2,0)．
设面PAC的法向量n=(x,y,z)，则n⋅CP=x−2z=0n⋅CA=x+2y=0，
令x=2，得z=1，y=−1，故n=(2,−1,1)，
设直线DE与面PAC所成角为θ，
则sinθ=|cs〈DE,n〉|=|−23×2+23×1| 6× 49+49=23 6×23 2= 36．
故直线DE与平面PAC所成角的大小为arcsin 36．
【解析】(1)运用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
(2)证明线面垂直，建立空间直角坐标系，分别求得相关点的坐标，计算直线DE的方向向量和平面PAC的法向量，运用空间向量线面夹角公式即可求得．
本题考查线线垂直的证明和线面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为抛物线C过点P(1,2)，
所以22=2p×1，
解得p=2，
则抛物线C的方程为y2=4x，
故抛物线C的焦点为(1,0)，准线方程为x=−1；
(2)证明：不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为过点(0,1)作直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，
所以直线l斜率存在，
此时y1−1x1=y2−1x2，
即y1−1y124=y2−1y224，
整理得y22(y1−1)=y12(y2−1)，
即y1y2(y1−y2)=(y1+y2)(y1−y2)，
因为y1≠y2，
所以y1y2=y1+y2，
又y1≠1，
所以y2=y1y1−1，
则过点A作x轴的垂线为x=x1，直线OP的方程为y=2x，直线OB的方程为y=y2x2x，
所以M(x1,2x1)，N(x1,x1y2x2)，
则yA+yN=y1+x1y2x2=y1+y124y2y22=y1+y12y2=y1+y12y1y1−1=y12=4x1，
即yA+yN=2yM，
因为A，M，N三点都在直线x=x1上，
所以M为线段AN的中点．
【解析】(1)由题意，根据抛物线过点P(1,2)，代入求出抛物线方程，进而可得焦点坐标和准线方程；
(2)设出A，B两点的坐标，根据题目所给信息得到y2=y1y1−1，再计算验证yA+yN=2yM即可得证．
本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为等差数列{an}的首项a1=−1，公差d≤0，
而S52−25a2a4=25，即(5a1+5×42d)2−25(a1+d)(a1+3d)=25，
即(10d−5)2−25(d−1)(3d−1)=25，整理可得：d2=1，
解得d=−1，所以an=−1+(n−1)×−1=−n，
可得Sn=n(a1+an)2=n(−1−n)2=−n2+n2；
(2)由题意得an+x=−1+(n−1)d+x，
an+1+3x=−1+nd+3x，
an+2+8x=−1+(n+1)d+8x，
∵an+x，an+1+3x，an+2+8x成等比数列，
∴(an+1+3x)2=(an+x)(an+2+8x)，
∴(−1+nd+3x)2=[−1+(n−1)d+x][−1+(n+1)d+8x]，
化简整理得x2+[(7−3n)d+3]x+d2=0，
对于每个n∈N*，存在实数x，使此式成立，
则Δ=[(7−3n)d+3]2−4d2≥0，即[(7−3n)d+3+2d][(7−3n)d+3−2d]≥0，
即(−3dn+3+9n)(−3nd+3+5d)≥0，
当d=0时，3×3=9>0，符合题意，
当d>0时，则二次函数y=(−3dn+3+9d)(−3nd+3+5d)开口向上，
则d1=3+1d，d2=53+1d(d1>d2)，原不等式解为n≥d1，n≤d2，
∴d1，d2相差距离为3−53=43，
则d1，d2之间一定有一个整数，
∴只能为d1=3+1d≤1，即d≥−12，∴−12≤d≤0，
综上，公差d的取值范围为[−12,0]．
【解析】(1)由S52−25a2a4=25，得(10d−5)2−25(d−1)(3d−1)=25，求出d=−1，从而an=−n，由此能求出Sn；
(2)由题意得an+x=−1+(n−1)d+x，an+1+3x=−1+nd+3x，an+2+8x=−1+(n+1)d+8x，再由an+x，an+1+3x，an+2+8x成等比数列，得x2+[(7−3n)d+3]x+d2=0，利用根的判别式、二次函数性质能求出公差d的取值范围．
本题考查等差数列、等比数列的性质、根的判别式、二次函数等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)在椭圆x24+y23=1中，a=2,b= 3,c=1，此时点P坐标为(2,0)，
当直线AB的斜率不存在时，易知|AB|=2 3,S△ABP=12×2 3×2=2 3，满足题意，
当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=kx，代入椭圆方程得3x2+4k2x2−12=0，
即(4k2+3)x2−12=0，所以x2=124k2+3，
所以|AB|=2 x2+y2=2 14x2+3= k2+1 484k2+3，
因为点P到直线AB的距离为|2k| k2+1，
则有12 k2+1 484k2+3×|2k| k2+1=2 3，方程无解，不符合题意，
综上，直线AB的方程为x=0；
(2)由(1)知，当直线过原点且斜率存在时，
S△ABP=12 k2+1 484k2+3×|2k| k2+1=4 3k24k2+3=4 34+3k2<2 3，
故直线过原点时面积最大值为2 3；
当直线不过原点时，易知直线斜率一定存在，设方程为y=kx+m，
代入椭圆方程整理可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2−12=0①，
记A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，则x1+x2=−8km4k2+3,x1x2=4m2−124k2+3，
所以x0=−4km4k2+3,y0=3m4k2+3,P(2−x0,−y0)，
则3(2−x0)2+4y02=12，
将x0=−4km4k2+3,y0=3m4k2+3代入上式，
得3(2+4km4k2+3)2+4(3m4k2+3)2=12，
整理得m=−4k，代入①，得(4k2+3)x2−32k2x+64k2−12=0，
又点F到直线AB的距离为|k+m| k2+1，
则S△ABP=|AB|×|k+m| k2+1= k2+1 (x1+x2)2−4x1x2×|k+m| k2+1=|k+m| (x1+x2)2−4x1x2，
整理得S△ABP=36 k2(1−4k2)(4k2+3)2，
令t=k2,g(t)=t(1−4t)(4t+3)2，则g′(t)=3−28t(4t+3)3，
易知当00，函数单调递增，
当t>328时，g′(t)<0，函数单调递减，
故当t=328时，g(t)max=g(328)=1192，
所以S△ABP≤36 1192=3 32，
又直线与椭圆有两个交点，所以Δ=64k4−4(4k2+3)×(64k2−12)>0，解得k2<14，
故当k2=328，即k=± 2114时，△ABP面积的有最大值3 32，
综上，△ABP面积的最大值为2 3．
【解析】(1)分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时设直线方程与椭圆方程联立消元，利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，根据已知列方程可解；
(2)分直线过原点和不过原点，当不过原点时设直线方程与椭圆方程联立消元，利用韦达定理表示出M坐标，再由中点坐标公式得P点坐标，代入椭圆方程可得k和b的关系，然后利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积(注意S△ABP=2S△ABF)，然后用导数求最值．
本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于难题．