2022-2023学年陕西省西安市雁塔区重点中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市雁塔区重点中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 蝴蝶曲线 B. 阿基米德螺旋线
C. 卡西尼卵形线 D. 太极曲线

2.  牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设(    )

A.  B.  C. 与相交 D. 与相交

3.  若，则下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，小刚荡秋千，秋千旋转了，小刚的位置从点运动到了点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，已知点、、、在同一条直线上，，，若添加一个条件后，能用“”的方法判定≌，添加的条件可以是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  一次函数和的图象如图所示，下列结论：
；
；
方程的解是；
不等式的解集．
其中正确的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是(    )

A.  B. 且
C.  D. 且

10.  如图，在四边形中，，，，点在上，连接
，相交于点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形是          边形．

12.  在平面直角坐标系内，若点和点关于原点对称，则的值为______ ．

13.  若分式的值为零，则的值为______．

14.  如图，在中，点，，分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是______．

15.  分解因式： ______ ．

16.  关于的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围是______ ．

17.  如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为______．

 

18.  如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．

 

20.  本小题分
解分式方程；
先化简，再求值，其中．

21.  本小题分
如图，已知，求作边上的高尺规作图，保留痕迹

22.  本小题分

已知：如图，在▱中，延长至点，延长至点，使得连接，与对角线交于点求证：．

23.  本小题分
某商店购进、两种商品，购买个商品比购买个商品多花元，并且花费元购买商品和花费元购买商品的数量相等．
求购买一个商品和一个商品各需要多少元；
商店准备购进、两种商品共个，若商品的数量不少于商品数量的倍，那么本次进货商店花费成本最低为多少元？

24.  本小题分
如图，在矩形中，将矩形折叠，使点落在边含端点上，落点记为这时折痕与边或者边含端点交于点，然后展开铺平，则以、、为顶点的称为矩形的“折痕三角形”．

由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是______ 三角形．
如图，在矩形中，，当点与点重合，画出这个“折痕”，并求出点的坐标．
如图，在矩形中，，，当“折痕”面积最大的时，求出此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

2.【答案】 

【解析】解：反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时，
首先应假设与不平行，即与相交．
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，
，
故D符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，原式因式分解错误，不符合题意；
B.，原式因式分解错误，不符合题意；
C.，原式因式分解错误，不符合题意；
D.，原式因式分解正确，符合题意．
故选：．
分解每一个整式，根据分解结果即可得出结论．
本题考查了因式分解，在因式分解时，能提公因式的要先提取公因式，再考虑用公式法继续分解，在因式分解时注意要分解彻底．
 

5.【答案】 

【解析】解：秋千旋转了，小刚的位置也从点运动到了点，
，，
．
故选：．
根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
当添加或时，根据“”可判定≌．
故选：．
利用“”判断直角三角形全等的方法解决问题．
本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等简写成“”．
 

7.【答案】 

【解析】解：平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，
，
轴，，
轴，
，
故选：．
由，的坐标求解线段的长度，再利用平行四边形的性质可得答案．
本题主要考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据图象经过第一、二、四象限，
，故正确
与轴正半轴相交，
，故正确；
一次函数和的交点的横坐标为，
方程的解是，故正确；
当时，图象在的上方，
所以不等式的解集，故错误．
所以正确的有个．
故选：．
根据一次函数的性质对进行判断；根据两函数图象对进行判断．
此题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与不等式，数形结合是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
分式方程的解为正数，即，
，
又使分式方程有意义，，
，
，
综上：且．
故选：．
先解分式方程，使方程的解大于零，再使分式方程有意义即可．
本题考查了分式方程，掌握使分式方程解大于零且分式方程有意义是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，
，，
在和中，

≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
故选：．
连接，先证明≌，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，可得，根据，，可知是等边三角形，从而可知是等边三角形，可知，根据求解即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
解得．
故多边形是边形．
故答案为
根据多边形的内角和定理：求解即可．
主要考查了多边形的内角和定理．边形的内角和为：此类题型直接根据内角和公式计算可得．
 

12.【答案】 

【解析】解：点和点关于原点对称，
，，
，
故答案为：．
根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解．
本题考查关于原点对称的点的特征．熟练掌握关于原点对称的两点，横纵坐标均互为相反数，是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：分式的值为零，则且，
解得：．
故答案为：．
直接利用分式的值为零，则分子为零且分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，注意分式的分母不为零是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，分别是，，的中点，
，
、分别为、中点，
，
四边形的周长为：，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：不等式组，
解得：，
不等式组恰好有个整数解，
整数解为，，，
，
解得：．
故答案为：．
表示出不等式组的解集，根据不等式组恰好有个整数解，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】或或 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．
求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【解答】

解：，平分，
，
当在时，，
，
；
当在点时，，
则；
当在时，，
则；
故答案为：或或．  

18.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，作，使得，连接，，则，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，关于对称，
，
，
的最小值为，
与的周长的和，
与的周长的和的最小值为．
作点关于的对称点，作，使得，连接，，则，，求出的最小值，可得结论．
本题考查轴对称最短问题，坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
解集表示在数轴上，如图所示：
． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：，
方程两边同乘，得，
移项，得，
合并同类项，得，
检验：当时，，
所以原方程无解；
原式

，
当时，原式． 

【解析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，检验后得出结论；
根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式方程的解法，分式的化简求值，掌握解分式方程的一般步骤、分式的混合运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，即为所作．
 

【解析】利用基本作图过一点作已知直线的垂线过点作于．
本题考查了作图基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出，，证出，，，由证明≌，即可得出结论．
 

23.【答案】解：设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：购买一个商品需要元，购买一个商品需要元；
设购买商品个，则购买商品个，
依题意得：，
解得：，
设进货成本为元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
答：本次进货商店花费成本最低为元． 

【解析】设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，根据花费元购买商品和花费元购买商品的数量相等，列出分式方程，解解方程即可；
设购买商品个，则购买商品个，根据商品的数量不少于商品数量的倍，列出一元一次不等式，解得，再设进货成本为元，则，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
 

24.【答案】等腰 

【解析】解：折叠，
，
“折痕”一定是等腰三角形；
故答案为：等腰；
“折痕”，如图所示：

点与点重合，
，
矩形，
，，，
，
，
；
当在边上时，如图所示，，

即当与重合时，此时，面积最大为．
当在边上时，如图所示，过作交于点，交于，

，，
即当为中点时，此时，面积最大为．
综上：或．
根据折叠的性质，即可得出结论；
根据题意，画出图形，利用矩形的性质，勾股定理，求出的长，即可得解；
分在和在上，两种情况进行求解，即可．
本题考查矩形与折叠，坐标与图形．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键．