2022-2023学年陕西省西安市雁塔区曲江一中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市雁塔区曲江一中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列从左到右的变形中，是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知，则下列各式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，沿方向平移后的图像为，已知，，则平移的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，交于点，连接若，，，则的周长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，，则点到的距离为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，过点作于，交于点，于，，，，的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解：        ．

12.  如图，已知等腰三角形，，，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则       

13.  若关于的不等式的正整数解是，，，，则整数的最小值是______．

14.  如图，在中，，平分交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为______ ．

15.  如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是______ ．

16.  如图，在中，，，，为边上一动点不与点重合，为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解下列不等式：

 

18.  本小题分
解不等式组，并将解集表示在数轴上．

19.  本小题分
如图，已知线段，请用尺规作图法，求作等腰直角，使其斜边等于线段保留作图痕迹，不写作法

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为、、．
请按下列要求画图：
将先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到，画出；
与关于原点成中心对称，画出．
在中所得的和关于点成中心对称，请直接写出对称中心点的坐标．
 

21.  本小题分
我们研究一个新函数时，常常会借助图象研究新函数的性质，在经历“列表、描点、连线”的步骤后，就可以得到函数图象；请运用这样的方法对函数进行探究：
如表列出了部分研究数据，请在平面直角坐标系中画出该函数的图象．

结合所画图象回答下列问题：当时，的取值范围是什么？

22.  本小题分
某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同经洽谈，购买个气排球和个篮球共需元；购买个气排球和个篮球共需元．
每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共个，总费用不超过元，且购买气排球的个数少于个，有哪几种购买方案？

23.  本小题分
如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为．
求的度数．
求证：是的中点．

24.  本小题分
如图，为等腰直角三角形，，．

如图，点为斜边上一动点点不与线段两端点重合，将绕点顺时针方向旋转到，连接、、求证：．
问题迁移：在的条件下，若，请直接写出的最小值为______ ．
问题解决：如图，点为等腰直角三角形斜边上一点，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
 

2.【答案】 

【解析】解：，等式两边不相等，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义和方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 

3.【答案】 

【解析】解：，当时，，故A不成立；
B.，，故B不成立；
C.，，故C不成立；
D.，，故D成立；
故选：．
根据不等式的性质逐一判断即可解题．
本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：点平移后对应点是点．
线段就是平移距离，
已知，，
．
故选：．
利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离．
考查图形平移性质，关键找到平移前后的对应点．
 

5.【答案】 

【解析】解：不等式的解集为：，
故选：．
解不等式求得不等式的解集，然后根据数轴上表示出的不等式的解集，再对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，，
即不等式的解集为．
故选C．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
垂直平分，
，
的周长是，
，
，，
，
的周长是，
故选：．
根据题意可知垂直平分，可得到，然后得到，从而可以求得的周长．
本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
由已知得，又由，即可求得答案．
此题考查了完全平方公式．此题比较简单，注意掌握完全平方公式：，注意整体思想的应用．
【解答】
解：由得：
，
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：作于，

，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
作于，利用含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，再根据，得，代入计算可得答案．
本题主要考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
的周长，
故选：．
根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到答案．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
故答案为：．
分别利用提取公因式法进行因式分解即可．
本题主要考查了提取公因式法进行因式分解，正确利用上述法则进行因式分解是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
．
以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，
，
．
．
，
．
故答案为：．
利用等腰三角形的性质先求出、，再利用三角形的外角与内角的关系得结论．
本题考查了等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”等知识点是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：不等式的解集是：，
不等式的正整数解恰是，，，，
，
的取值范围是．
整数的最小值是．
故答案为：．
首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，正确确定的范围是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：过作于，

，
，
平分，，
，
点为的中点，，
，
的面积．
故答案为：．
过作于，由角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式即可求出的面积．
本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，
，
，
，
，
，
旋转，
，，
，
，
即旋转角的度数是．
故答案为：．
先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，设交于点，

，为的中点，
，
点在线段的垂直平分线上，
为等边三角形，
，
点在线段的垂直平分线上，
为线段的垂直平分线，
，，
点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足，
，，
，，
则在和中，
，
≌．
，
，，，
，，
，
解得：，
，
故答案为：．
连接，，设交于点，先判定为线段的垂直平分线，再判定≌，然后由全等三角形的性质可得答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，掌握数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
去括号得：，
移项得：，
解得：；
，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为得：． 

【解析】先去括号、移项、合并同类项，把的系数化为即可；
先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把的系数化为即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
解集在数轴上表示为：
 

【解析】分别求出两个不等式的解集，然后求出它们的公共部分即可．
本题主要考查对解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示：即为所求；

由作图可知：，，，
，
，
是以为斜边的等腰直角三角形． 

【解析】分别以，为圆心，大于的长为半径，画弧，交于两点，连接两交点的直线交于点，以为圆心，为半径画弧，交的中垂线于点，连接，，即为所求．
本题考查作图复杂作图．熟练掌握中垂线的作图方法，作线段等于已知线段的作图方法，是解题的关键．
 

20.【答案】如图所示；
如图所示；

连接，，得到对称中心的坐标为．
 

【解析】解：根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
根据网格结构找出、、关于原点的中心对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
连接，，交点就是对称中心．
本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义．
 

21.【答案】解：描点、连线，画出函数图象，如图所示．

观察函数图象可知：当时，． 

【解析】描点、连线，画出函数图象；
观察函数图象，找出当时，的取值范围．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象，解题的关键是：根据给定的数据，画出函数图象；观察函数图象，找出当时的取值范围．
 

22.【答案】解：设每个气排球的价格是元，每个篮球的价格是元．
根据题意得：，
解得：，
所以每个气排球的价格是元，每个篮球的价格是元．
设购买气排球个，则购买篮球个．
根据题意得：，
解得，
又为正整数，
排球的个数可以为，，，
购买方案三种：购买排球个，篮球个，
购买排球个，篮球个，
购买排球个，篮球个． 

【解析】设每个气排球的价格是元，每个篮球的价格是元．根据“购买个气排球和个篮球共需元；购买个气排球和个篮球共需元．”列出方程组，即可求解；
设购买气排球个，则购买篮球个，根据“总费用不超过元，且购买气排球的个数少于个，”列出不等式组，即可求解．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：三角形是等边，
，
又，
，
又，
；
证明：连接，

等边中，是的中点，
，
由知，
，
，
又，
是的中点． 

【解析】由等边的性质可得：，然后根据等边对等角可得：，最后根据外角的性质可求的度数；
连接，由等边三角形的三线合一的性质可得：，结合的结论可得：，然后根据等角对等边，可得：，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：是的中点．
此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质．
 

24.【答案】 

【解析】证明：将绕点顺时针方向旋转到，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
≌，
；

解：为等腰直角三角形，，，≌，
，
则点在直线上运动，

作点关于的对称点，连接，交于，此时最小，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
的最小值为；

解：≌，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
是等腰直角三角形，
，
．
利用证明≌，得；
由知，，则点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，交于，此时最小，再根据勾股定理求的长即可；
由得，则，再根据勾股定理可得的长，从而得出的长．
本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轴对称最短路线问题，确定点的运动路径是解题的关键．