初升高数学衔接班十四讲学生及教师版 试卷

初高衔接班第2讲：一元二次方程【学习目标】1．能用十字相乘法、配方法、公式法解一元二次方程2．掌握韦达定理并利用韦达定理解题3．理解“设而不求”的数学思想【知识要点】1．一元二次方程（1）定义：含有一个未知数且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程（2）一般形式： 2．解一元二次方程的常用方法①韦达定理；②直接开平方法；③配方法；④因式分解法；⑤公式法（求根公式）；⑥换元法等。3．根的判别式一元二次方程的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．对于一元二次方程，有当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x1，2＝；[来源:学,科,网Z,X,X,K]当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，；当Δ＜0时，方程没有实数根．4．韦达定理（根与系数的关系）若一元二次方程的两根分别是，那么，x1·x2 这一关系也被称为韦达定理．5．以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 6．一元二次方程的两根之差的绝对值（求根公式或韦达定理）若x1和x2分别是一元二次方程两根，则（其中 ）．【精讲精练】一．一元二次方程的解法[来源:Z,xx,k.Com]例1判定关于x的方程：x2－ax＋(a－1)＝0 的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． 【答案】：当时，两个相等实数根：1 当时，两个不等实数根：1，[来源:学科网ZXXK] 【解析】：十字相乘， 当时，两个相等实数根：1 当时，两个不等实数根：1，变式 判定关于x的方程：x2－2x＋a＝0 的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．【答案】：，两不等实数根；，两相等实数根1；，无实数根。【解析】：（1）当，即时，有两个不等实数根：当，即时，有两个相等实数根：1当，即时，没有实数根二．韦达定理例2 以－3和1为根的一元二次方程是 ． 【答案】： 【解析】：由韦达定理，得，不妨设变式 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．【答案】：【解析】：由，即求的两根。三．“设而不求”思想（韦达定理的应用）例3 若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ． 【答案】：2006【解析】：由韦达定理，得，原式=变式1 已知是一元二次方程的两根，试用a表示代数式【答案】：【解析】：由韦达定理，得，则 原式=例4 已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x+k(k+1)=0的两实根的平方和为9，求实数k的值.【答案】：【解析】：设方程的两个实数根为，则有， 得： 又，得，∴变式 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值． 【答案】： 【解析】：设方程的两个实数根为，则有， 得： 又，得，∴四．一元二次方程解的情况的判断例5 若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）[来源:Zxxk.Com]A. B C. 且 D 且【答案】：【解析】：，得且变式1 关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0（1）试判定当m取何值时，该方程有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？（2）试判定当m取何值时，该方程有两个相等的正根？【答案】：（1），两不等实根；，两相等实根；，无实数根 （2）【解析】：（1）当，即时，有两个不等实数根 当，即时，有两个相等实数根 当，即时，无实数根 （2）由题意得：，得 【思维拓展】已知两不等实数a，b满足，，求的值.【答案】：【解析】：是一元二次方程的不等实根则有原式=【课外作业】1．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（ ）A. B. 3 C. 6 D. 9【答案】：【解析】：斜边长如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ．【答案】：【解析】：由韦达定理，得： 原式= 。[来源:学&科&网Z&X&X&K]3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？ 【答案】：且 【解析】：由题意，得 ，即且。4.关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，求实数m的值． 【答案】：【解析】：，得5．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果，求实数k的取值范围 【答案】：（1）略；（2）【解析】：（1），∴方程有两个不相等的实数根 （2），即