【暑假初升高】(苏教版2019)数学初三（升高一）暑假-第02讲《子集、全集、补集》讲学案（必修1）

第02讲  子集、全集、补集

       【学习目标】

1. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
2. 在具体情境中，了解全集与补集的含义.
3. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.

【基础知识】

知识点一   子集

1.一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,那么集合A为集合B的子集.,记作 A⊆B（或 B⊇A）,读作“A包含于B”（或“B包含A”）.

2.规定：空集是任何集合的子集,即.

3.子集的性质：

（1）任何一个子集都是它本身的子集,即.

（2）若,且,则.

知识点二   韦恩图

韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A是B的子集,可用下图表示：

知识点三  真子集

1.如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集,记作A B（或B A）,读作：A真包含于B（或B真包含A）.

2.真子集的性质

（1）空集是任何非空集合的子集.

（2）若A B,B C,则A C.

知识点四   集合的相等与子集的关系

1.如果A⊆B且B⊆A,则A=B.

2.如果A=B,则A⊆B且B⊆A.

知识点五   有限集合的子集个数

若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2.

知识点六   补集

1.全集：在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,全集通常用表示.

2.如果集合A是全集的一个子集,则由中不属于A的所有元素组成的集合,称为A在中的补集,记作.

3. 数学表达式：.

4.用Venn图表示（阴影部分）如图所示：

5. 给定全集的子集及其任意一个子集A,则

①；

②；

③.

   【考点剖析】

考点一：集合的包含关系判断

例1．①，②，③，④，其中正确的个数为(       )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据元素与集合的关系、集合与集合的关系即可判断.

【详解】

正确；

正确；

不正确，左边是数集，右边是点集；

不正确，左边是点集，右边是点集，但点不相同.

故正确的有①②，共2个.

故选：B.

考点二：集合的相等

例2．已知，.若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据集合与集合相等列式即可求解

【详解】

因为

所以解之得：

故答案为：

考点三：空集的定义、性质及运算

例3．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.

【详解】

①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；

②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；

③空集是任意集合的子集，故，正确；

④空集没有任何元素，故，错误；

⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；

⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；

∴②③正确.

故选：B.

考点四：子集与真子集的个数问题

例4．设集合，则集合的子集个数为________

【答案】16

【解析】

【分析】

先化简集合A，再利用子集的定义求解.

【详解】

解：，

故A的子集个数为8，

故答案为：16

考点五：补集及其运算

例5．已知集合，，则　　

【答案】

【解析】．

考点六：集合关系中的参数取值问题

例6．设非空集合，，．

（Ⅰ）当时，求集合；

（Ⅱ）当时，求实数的取值范围．

【解析】（Ⅰ）当时，，

（Ⅱ）若，则有：

由于，有，

解得：，

的取值范围为：．

        【真题演练】

1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

【详解】

求解一元二次方程，得

，易知.

因为，所以根据子集的定义，

集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，

原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.

【点评】

本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.

2．已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【详解】

因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B．

故选B．

3．已知集合，则中元素的个数为（       ）

A．9 B．8 C．5 D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.

【详解】

当时，；

当时，；

当时，；

所以共有9个，

故选：A.

【点睛】

本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.

4．已知集合，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析：因为，所以，

故选D.

考点：集合的运算.

5．设a,b∈R，集合，则=(       )

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用集合中元素有意义，集合相等的意义列式计算作答.

【详解】

因，则，从而得，有，于是得，

所以.

故选：C

6．已知集合，则的子集个数为（       ）

A．3 B． C．7 D．8

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出，再按照子集个数公式求解即可.

【详解】

由题意得：，则的子集个数为个.

故选：B.

7．设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（       ）

A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}

【答案】C

【解析】

【分析】

利用集合相等求解.

【详解】

解：因为，

所以，

解得或，

的取值集合为，

故选：C

8．已知集合，且下列三个关系：①；②；③有且只有一个正确，则_______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据集合相等的条件，列出、、所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出、、的值后代入式子求值.

【详解】

由已知，若正确，则或，即或或或均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；

若正确，则正确，不符合题意；

所以正确，则有，故.

故答案为：

9．已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．

【答案】或

【解析】

【分析】

根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围.

【详解】

用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，

或

要使，只需或，解得或．

所以实数的取值范围或.

故答案为：或

       【过关检测】

一、单选题

1．下列集合中表示同一集合的是（       ）．

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】B

【解析】

【分析】

根据集合相等,检查集合中的元素是否一样即可判断.

【详解】

选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．

故选：B

2．设集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据集合的描述确定、的元素，进而判断它们的包含关系即可.

【详解】

由且，即，而，

所以为的子集，则.

故选：A

3．设集合，集合，若，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

直接由求解即可.

【详解】

由可得.

故选：D.

4．已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据是的子集列方程，由此求得的取值集合.

【详解】

由于，所以，

所以实数m的取值集合为.

故选：C

5．集合，，则M、P之间的关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

用列举法表示集合、，即可判断两集合的关系；

【详解】

解：因为，

，

所以，

故选：C

6．已知，，若，则的值为(       )

A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

A＝{－1，1}，若，则＝±1，据此即可求解﹒

【详解】

，，

若，则＝1或－1，故a＝1或－1．

故选：A．

7．设，，若，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据集合的包含关系，列不等关系，解不等式即可.

【详解】

由题：，，则.

故选：B

二、多选题

8．若，则(       )

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据题意可知集合B最少包含1，2两个元素，最多包含1，2，3或1，2，4三个元素.

【详解】

∵，

∴B＝{1，2}或B＝{1，2，3}或B＝{1，2，4}.

故选：ABC.

9．下列关系式错误的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】

【分析】

由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可.

【详解】

A选项由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，A错误；

B选项根据子集的定义可知正确；

C选项由于符号用于集合与集合间，C错误；

D选项是整数集，所以正确.

故选：AC.

10．以下满足的集合A有（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】

【分析】

直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案.

【详解】

由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集，

则所有符合条件的集合A为,,.

选项BD均不符合要求，排除.

故选：AC

三、填空题

11．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”，则的取值为____________．

【答案】0

【解析】

【分析】

根据题中定义，结合子集的定义进行求解即可.

【详解】

当时，，显然，符合题意；

当时，显然集合中元素是两个互为相反数的实数，而集合中的两个元素不互为相反数，所以集合、之间不存在子集关系，不符合题意，

故答案为：

12．已知集合，，若，则实数的取值范围是__.

【答案】

【解析】

【分析】

由可知集合中的元素都在集合中，即把集合中的元素带入集合应该满足，从而得到的取值范围.

【详解】

解：，且，

，解得，

故的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

13．已知集合，，若，求实数的取值范围．

【答案】或

【解析】

【分析】

分析得出，求得，对方程，计算得出，分、、三种情况讨论，在、的前题下 ，验证成立，在时，可得出，可求得实数的值，综合可得出实数的取值范围.

【详解】

因为，

对于方程，.

当时，，则，合乎题意；

当时，，此时，合乎题意；

当时，即当时，则，所以，，解得.

综上所述，实数的取值范围是或.

14．已知集合．

(1)若，求实数a的取值范围；

(2)若，求实数a的取值范围；

(3)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）由与，以及为的子集，确定出的范围即可；

（2）由与，以及为的子集，确定出的范围即可；

（3）分别求出与的补集，根据补集为补集的真子集，确定出的范围即可．

(1)

，；

(2)

，；

(3)

，，，，且，

．