北京市第五十七中学高三暑期检测数学试题及参考答案

北京市第五十七中学高三暑期检测（数学试题）2023.8

一．选择题，每题4分，共计40分。

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，

则（    ）  

3.下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是(    )

A. B. C. D.

4.函数是(   )

A 偶函数，且最大值为      B 偶函数，且最小值为

C 奇函数，且最小值为      D奇函数，且最大值为

5.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及

火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）

A．200 B．400 C．600 D．800

6.如果函数在定义域内存在区间，使在上的值域是],那么称为“倍增函数”.若函数为“倍增函数”,则实数的取值范围是(　　)

A.         B. C.        D.

7．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（       ）

A．18 B．24 

C．36 D．48

8.已知函数，若存在使得恒成立，则的取值范围(     )

A       B        C        D

9.数列中，，定义：使为整数的

数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（    ）

A          B         C       D

10、已知成等比数列，且．若，则（    ）

A．                B．  

C．                    D．

二、填空题，共计5题，总分25分。

11.若复数, ,则的共轭复数的虚部为           

12、若函数在区间（，）是减函数，则的取值范围是　       　．

13.若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是          

14.已知数列的前项和为，，．是等差数列，且，，则的通项公式为       ；设，求=      

15．函数，给出下列命题：

①无论取何值，恒有两个零点；

②存在实数，使得的值域是；

③存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对；

④当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是.

其中，所有正确命题的序号是___________.

三.解答题：总分85分。

16. 已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，

条件①：的最大值为；

条件②：的一条对称轴是直线；

条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为.

求：（Ⅰ）函数的解析式；

（Ⅱ）若将函数图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移各单位，得到函数的图像，若在区间上的最小值为，求的最大值

17、△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

(1)求

(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

18.已知函数f（x）＝x3－ax2－a2x＋1，其中a＞0.

（I）当a＝1时，求f（x）的单调区间；

（II）若曲线y＝f（x）在点（－a，f（－a））处的切线与y轴的交点为（0，m），

求m＋的最小值.

19.已知椭圆的左顶点为A, 上、下顶点分别为，直线的方程为.

（Ⅰ）求椭圆E的方程及离心率；

（Ⅱ）是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点. 过P作垂直于y轴的直线交直线于点，再过Q作垂直于x轴的直线交直线于点N. 求的大小.

20. 已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若，求证：函数只有一个零点，且；

（Ⅲ）当时，记函数的零点为，若对任意且都有成立，求实数的最大值.

21. 已知为有穷数列．若对任意的，都有（规定），则称具有性质．

设．

（Ⅰ）判断数列，是否具有性质？若具有性质，写出对应的集合；

（Ⅱ）若具有性质，证明：；

（Ⅲ）给定正整数，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值．