重难点突破01 玩转指对幂比较大小-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（解析版）

重难点突破01 玩转指对幂比较大小 目录（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）常见函数的麦克劳林展开式：①②③④⑤⑥题型一：直接利用单调性【例1】（2023·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，，，则的大小关系是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据指数函数在上递增可得，；根据对数函数在上递增可得，，根据指数函数在上递减和值域可得，，∴．故选：D【对点训练1】（2023·天津滨海新·统考三模）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，则，，大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】，因为是定义在上的偶函数，所以，因为，，，且在上单调递减，所以，即．故选：A．【对点训练2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为在上单调递减，所以，即．因为在上单调递增，所以，即．因为在上单调递增，所以，即．综上，．故选：D【对点训练3】（2023·天津·统考二模）设，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意得，，由于为上的单调增函数，故，故，故选：C题型二：引入媒介值【例2】（2023·天津河北·统考一模）若，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，，而，即，所以，，的大小关系为．故选：B【对点训练4】（2023·天津南开·统考二模）已知，，，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得：，，且，则，因为，则，所以．故选：B．【对点训练5】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知，，，则三者的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，即 又由，可得，因为，即，所以．故选：C．【对点训练6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由对数函数的运算性质，可得，，，所以．故选：D．题型三：含变量问题【例3】（理科数学-学科网2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷））已知，，，，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题可设，因为，所以的图象关于直线对称．因为，当时，，所以，，，所以，所以在上单调递增，由对称性可知在上单调递减．因为，所以，所以；又，，由对称性可知，且，因为，所以，又在上单调递减，所以，所以，故选：A．【对点训练7】（云南省大理市辖区2023届高三毕业生区域性规模化统一检测数学试题）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，由，得，设，则，当时，单调递增，因，当且仅当时取等号，故，又，所以，故，∴，则，即有，故．故选：C．【对点训练8】（江西省宜春市2023届高三模拟考试数学（文）试题）已知实数x，y，，且满足，，则x，y，z大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因，，则，即，令，则，函数在上单调递增，有，即，从而当时，，令，，在上单调递减，则由，得，所以．故选：A【对点训练9】（山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测数学试题）已知函数，若，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以在上是奇函数．所以对求导得，令，则当时，，所以在上单调递增，则时，，即，所以在上单调递增．因为，所以，因为在上单调递增，所以．令，则所以当时，单调递减；当时，单调递增．所以，而，即，所以，即．所以，即，则所以所以，即．故选：A【对点训练10】（2023·陕西西安·统考一模）设且，则的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，可得，则因为，所以，则，因为，所以．故选：A．题型四：构造函数【例4】（2023·山东潍坊·三模）已知，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，构造函数，，令，则，∴在上单减，∴，故，所以在上单减，∴，∵，构造函数，，令，则，∴在上单减，∴，故，所以在上单减，∴，故．故选：D．【对点训练11】（2023·广西·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由指数幂的运算公式，可得，所以，构造函数，其中，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，故，当且仅当时取等号，由于，则，则，所以，所以，所以．故选：C．【对点训练12】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】，设，则在恒成立，所以函数为单调递减函数，所以，即，所以．因为，所以，即，所以，即，所以，综上，．故选：A【对点训练13】（河北省唐山市开滦第二中学2023届高三核心模拟（三）数学试题）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，则，令且，则为减函数，所以，而，故，故在上递增，则，即在上恒成立，所以，即，由，令且，则，所以在上递增，则，即在上恒成立，所以，即．综上，．故选：C【对点训练14】（湖北省武汉市2023届高三5月模拟训练数学试题）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，，又，则，，所以，对于，令，则，此时，所以．故选：A．【对点训练15】（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，设，函数定义域为，则，故在上为增函数，有，即，所以，故．设，函数定义域为，则，，解得；，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减．当时，取最大值，所以，即，时等号成立，所以，即，又，所以．故选：D．【对点训练16】（2023·河南·模拟预测）已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令函数，求导得，函数在上递减，当时，，则，于是，即，令函数，求导得，函数在上递增，当时，，则，于是，即，当时，，，则，即，而，于是，即，所以a，b，c，d的大小关系是，C正确．故选：C题型五：数形结合【例5】（广东省六校2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知，为函数的零点，，若，则（    ）A． B．C． D．与大小关系不确定【答案】C【解析】易知为函数的零点，又解之：，负根舍去；又，即与有三个交点，交点横坐标分别为，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设切点为切线方程为：过原点，此时的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，故选：C【对点训练17】（2023·天津和平·统考三模）已知满足，则的大小关系为（    ） A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意知：把的值看成函数与图像的交点的横坐标，因为，，易知；把的值看成函数与图像的交点的横坐标，，易知；把的值看成函数与图像的交点的横坐标，，与，易知．所以．故选：B．【对点训练18】（2023·广东汕头·统考三模）已知，，，则a，b，c大小为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】可以看成与图象的交点的横坐标为，可以看成与图象的交点的横坐标为，可以看成与图象的交点的横坐标为，画出函数的图象如下图所示，   由图象可知，．故选：D．【对点训练19】（江苏省南通市海门市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故令，则，．易知和均为上的增函数，故在为增函数．∵，故由题可知，，即，则．易知，，作出函数与函数的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在内，即，，．故选：B．【对点训练20】（河南省洛平许济2022-2023学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题）已知，则这三个数的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，由，解得，由，解得，所以在上单调递增，在上单调递减；因为，所以，即，所以，所以，又递增，所以，即；，在同一坐标系中作出与的图象，如图：由图象可知在中恒有，又，所以，又在上单调递增，且所以，即；综上可知：，故选：A【对点训练21】（2023·全国·高三专题练习）已知y＝（x－m）（x－n）＋2 023（n>m），且α，β（α