2022-2023学年湖南省株洲市茶陵县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省株洲市茶陵县七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图所示的个图案中是轴对称图形的是(    )

A. 阿基米德螺旋线 B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图 D. 太极图

2.  下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  甲、乙、丙、丁四名同学进行立定跳远测试，每人次立定跳远成绩的平均数都是米，方差分别是，，，，则这四名同学立定跳远成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5.  如图，直线、相交，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在长为，宽为的矩形中，有形状、大小完全相同的个小矩形，若求阴影部分的面积，应先求一个小矩形的面积，设小矩形的长为，宽为，则列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  设，，，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  将分解因式的结果是______ ．

12.  计算：______．

13.  已知一组数据，，，，，的中位数为，则其平均数为______ ．

14.  如图，直线，平分，若，则的度数是______ ．

15.  已知，则 ______ ．

16.  若多项式是一个完全平方式，那么______．

17.  如图：，，的面积为，则四边形的面积为______．

18.  如图，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上将图中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转如图所示，在旋转一周的过程中：

当旋转秒时，则的度数______ ；
第秒时，所在直线恰好平分，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共71.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
因式分解：；
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
解下列方程组：
；
．

22.  本小题分
如图，已知，．
求证：；
若，平分，求的度数．

23.  本小题分
已知，求下列各式的值．
；
．

24.  本小题分
某中学举办党史知识竞赛，设定满分分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组每组人学生成绩单位：分如下．
甲组：
乙组：

以上成绩统计分析表中 ______ ， ______ ．
小明同学说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中属中游略偏上”观察上面表格判断，小明可能是______ 组的学生．
若要从甲、乙两组学生中选择一个组参加决赛，你认为应选哪个组？请说明理由．

25.  本小题分
元宵节是中国传统节日，百盛超市对甲乙两件童装分别打八折和七五折销售，没有打折之前，件甲衣服和件乙衣服需要元，打折后件甲衣服和件乙衣服需要元．
打折前甲、乙两种品牌的单价分别是多少元？
某儿童福利院需要购买件甲衣服，件乙衣服，问打折后比打折前优惠多少元？

26.  本小题分
如图，已知，点是射线上一动点与点不重合，，分别平分和，分别交射线于点，．
当时，的度数是______ ，的度数是______ ．
当时，求的度数用含的式子表示；
当点运动到使，时，求的度数用含的代数式表示

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，是因式分解，故此选项符合题意；
B、右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．
此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘单项式的法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．

【解答】
解：与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C符合题意；
D.，故D不符合题意；
故选C．  

4.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
这四名同学立定跳远成绩最稳定的是丁；
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图形可得：，
．
故选B．
根据图形及可求出和的值，进而能得出的值．
本题考查了邻补角和对顶角的知识，比较简单，注意在计算角度时不要出错．
 

6.【答案】 

【解析】解：大矩形的长为，
；
观察图形，可知：，
根据题意可列方程组，
故选：．
根据大矩形的长及其内小长方形各边间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
逆用同底数幂乘法法则计算即可．
本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为；
；
；
所以，
即．
故选：．
将、、转化为同底数形式，即可比较大小．
本题考查幂的乘方，有理数大小比较，熟练掌握幂的乘方，根据数的特点，将数变为同底数形式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，，
由折叠可知，
，
故选：．
如图，由平行线的性质可求得，，由折叠的性质可知，即可求得．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．得出是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了完全平方公式，本题关键是把变形为，注意整体思想的应用．先把，，代入，得到，变形为，把看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于的方程，解方程即可求解．
【解答】
解：，，，
，
，
，
，
，
又，
．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据积的乘方的运算法则计算即可．
本题考查了积的乘方，解题的关键是熟记法则，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，是正整数．
 

13.【答案】 

【解析】解：一组数据，，，，，的中位数为，
这组数据从小到大排列为，，，，，
，则，
这组数据的平均数为，
故答案为：．
根中位数求得的值，进而求得平均数，即可求解．
本题考查了求中位数，平均数，熟练掌握中位数的定义，求得是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：
，，
平分，
，
，
．
故答案为：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
得：，
故答案为：．
方程组两方程相减即可求出的值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

16.【答案】 

【解析】解：多项式是一个完全平方式，
，
．
根据首末两项是和的平方可得，中间一项为加上或减去它们乘积的倍．
本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特点并灵活运用是解题的关键，注意不要漏解．
 

17.【答案】 

【解析】解：过作于，

的面积为，
，
，
，，
四边形的面积



，
故答案为：．
过作于，根据的面积为求出，求出四边形的面积，再代入求出答案即可．
本题考查了平行线的性质，三角形的面积和梯形的面积等知识点，能求出四边形的面积是解此题的关键．
 

18.【答案】  或 

【解析】解：，，
，
三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，
当旋转秒时，；
故答案为：；
，所在直线恰好平分，
或，
或，
解得：或．
故答案为：或．
根据旋转的速度，求出的度数即可；
由平角的定义可得或，然后列出方程求解即可．
本题主要考查了一元一次方程的应用，几何图形中角度的计算，角平分线的定义，根据角平分线定义、平角的定义、列出方程是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

．


． 

【解析】首先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
利用整式的混合运算法则化简求解即可．
本题考查了整式的混合运算，提取公因式以及公式法分解因式，正确应用整式的混合运算法则和公式是解题的关键．
 

20.【答案】解：

，
当时，
原式


． 

【解析】直接利用整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
 

21.【答案】解：，
代入，可得，
解得，，
将代入，可得，
故方程组的解为．
，
，可得，
解得，，
将代入，可得，
故方程组的解为． 

【解析】直接利用代入消元法解方程组即可；
直接利用加减消元法解方程组即可．
本题考查的是二元一次方程组的解法，熟练掌握利用代入消元法与加减消元法解二元一次方程组是解本题的关键．
 

22.【答案】证明：，，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
． 

【解析】根据平行线的判定解答即可；
根据平行线的判定和性质以及角平分线的定义解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：原式，
，，
原式．
原式．
，，
原式． 

【解析】提公因式法分解因此，凑出与即可．
先多项式乘法计算，再凑出与即可．
本题考查因式分解与多项式乘法的应用，根据题目要求灵活分解与计算是解题的关键．
 

24.【答案】    甲 

【解析】解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数；
乙组学生成绩中，数据出现的次数最多，所以众数．
故答案为：，；
小明可能是甲组的学生，理由如下：
甲组的中位数是分，而小明得了分，
因为，
所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
选乙组参加决赛．理由如下：
甲、乙两组学生平均数相同，而，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
根据中位数的意义即可得出答案；
根据平均数与方差的意义即可得出答案．
本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
 

25.【答案】解：设打折前甲、乙两种品牌的单价分别是，元，根据题意得，
，
解得：，
答：打折前甲、乙两种品牌的单价分别是，元；
打折前：元；
打折后：元，
元
答：打折后比打折前优惠元． 

【解析】设打折前甲、乙两种品牌的单价分别是，元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
分别计算打折前后所需的费用，求其差即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列出方程或算式是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：，，
，
；
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：，；
，
，
；
平分，平分，
，，
，
，
；
，
，
当时，
则有，
，
，
的度数为，
由，，
，
，
．
由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；由角平分线的定义可以证明，即可求出结果；
同的方法，即可求解；
可先证明，由得，，所以，则可求出的度数．
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．