专题4.2 平面直角坐标系 重难点题型12个-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）

这是一份专题4.2 平面直角坐标系 重难点题型12个-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版），文件包含专题42平面直角坐标系重难点题型12个原卷版docx、专题42平面直角坐标系重难点题型12个解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。

专题4.2 平面直角坐标系 重难点题型12个

题型1 位置的确定方法及运用
【解题技巧】确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。
1．（2022·河南郑州·七年级期末）根据下列表述，能确定位置的是（       ）
A．学校报告厅第三排 B．巩义市人民路 C．东经，北纬 D．北偏东
【答案】C
【分析】根据位置的确定需要两个条件对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．学校报告厅第三排，没有明确具体位置，故此选项不合题意；
B．巩义市人民路，不能确定位置，故此选项不合题意；
C．东经113°，北纬34°，能确具体位置，故此选项符合题意；
D．北偏东30°，没有明确具体位置，故此选项不合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个条件是解题的关键．
2．（2022·浙江·八年级课时练习）在某游乐场，以中心广场为观测点，若有序数对表示图中“太阳神车”的位置，有序数对表示图中“雪域金翅”的位置，则与图中“天地双雄”位置对应的有序数对为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“太阳神车”与“雪域金翅”的位置结果找到位置的表示方法，即可求解．
【详解】∵“太阳神车”的位置为(500,20°)，“雪域金翅”的位置为(400,340°)，
∴可知有序数对的第一个值为：目标距离观测点中心广场的距离，第二个值为：目标与观测点中心广场的连线与正东方向的旋转角度度数，
∴根据图形可知，“天地双雄”距离观测点中心广场的距离为：500，天地双雄”与观测点中心广场的连线与正东方向的旋转角度度数为120°，即有序数对为(500,120°)，故选：B．
【点睛】本题考查了用有序数对表示位置的知识，理解题意是解答本题的关键．
4．（2022·云南昭通·七年级期末）如果把电影票上“5排3座”记作，那么表示（       ）
A．“4排4座” B．“9排4座” C．“4排9座” D．“9排9座”
【答案】C
【分析】由于将“5排3座”记作，根据这个规定即可确定表示的点．
【详解】解：“5排3座”记作，表示“4排9座”．故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据有序实数对确定点的位置，解题的关键是理解题目的规定，知道坐标与位置的对应关系．
4．（2022·四川达州·八年级期末）如图，雷达探测器测得六个目标出现，按照规定的目标表示方法，目标的位置表示为，按照此方法在表示目标的位置时，其中表示不正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标，可得答案．
【详解】解：因为E（5，210°），F（3，300°），
可得：A（4，30°），B（2，90°），C（6，120°），D（4，240°），故选项C错误，不符合题意．故选：C．
【点睛】此题考查了坐标确定位置，解题的关键是利用圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标．
5．（2022·绵阳市·八年级课时练习）家长会前，四个孩子分别向家长描述自己在班里的座位，在没有其他参考信息的情况下，家长能根据描述准确找到自己孩子座位的是（       ）
A．小强说他坐在第一排 B．小明说他坐在第三列
C．小刚说他的座位靠窗 D．小青说她坐在第二排第五列
【答案】D
【分析】直接利用坐标确定位置需要两个量，进而分析得出答案
【详解】解∶A、小强说他坐在第一排，无法确定座位位置，故此选项不符合题意；
B、小明说他坐在第三列，无法确定座位位置，故此选项不符合题意；
C、小刚说他的座位靠窗，无法确定座位位置，故此选项不符合题意；
D、小青说她坐在第二排第五列，能准确确定座位位置，故此选项符合题意．故选：D
【点睛】本题主要考查了利用坐标确定位置．掌握具体位置的确定需两个量是解题关键．
6．（2022·河北秦皇岛·八年级期中）有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为，请你把这个英文单词写出来_________________．

【答案】BOOK
【分析】根据每一个点的坐标确定其对应的位置，最后写出答案即可．
【详解】解：（2，1）对应的字母是B，（1，3）对应的字母是O，（1，3）对应的字母是O，
（4，2）对应的字母是K．故答案为：BOOK．
【点睛】本题考查了坐标位置的确定，熟记有序数对的规定，找出各点的对应字母是解题的关键．

题型2 坐标确定点的位置（坐标）
1．（2022·广西百色·八年级期末）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点．“马”位于点，则位于原点位置的是（ ）

A．炮 B．兵 C．相 D．车
【答案】A
【分析】根据题意可以画出平面直角坐标系，从而可以写成炮所在点的坐标．
【详解】解：由题可得，如下图所示，

故炮所在的点的坐标为（0，0），故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系．
2．（2022·山东·郯城七年级期末）如图所示是永州市几个主要景点示意图的一部分，如果用（0，1）表示九嶷山的中心位置点C，用（﹣2，0）表示盘王殿的中心位置点A，则千家峒的中心位置点B表示为（　　）

A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，﹣1）
【答案】A
【分析】根据已知两点的坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标．
【详解】根据题意建立坐标系，如图，

由坐标系可知，千家峒的中心位置点B表示为（﹣3，1）．故选：A．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，熟练掌握根据题意建立平面直角坐标系并确定点的位置是解题的关键．
3．（2022·浙江·宁波咸祥中学八年级开学考试）如图，在正方形网格中，若点的坐标分别是，则点的坐标为(　　)

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用已知点的坐标确立平面直角坐标系，进而得出点的坐标．
【详解】解：∵，∴可建立平面直角坐标系，如图所示：

∴点的坐标为．故选：C
【点睛】本题考查了点的坐标，点的坐标就是在平面直角坐标系中，坐标平面内的点与一对有序实数是一一对应的关系，这对有序实数则为这个点的坐标．
4．（2022青海·西宁七年级期中）如图所示是做课间操时，小明、小红、小刚三人的相对位置，如果用（4，5）表示小明的位置，（2，4）表示小刚的位置，则小红的位置可表示为（       ）

A．（0，0） B．（0，1） C．（1,0） D．(1,1)
【答案】D
【分析】先根据所给例子，确定出表示方法，再表示小红的位置即可．
【详解】解：如图，
∵用（4，5）表示小明的位置，（2，4）表示小刚的位置，
∴小红的位置可表示为（1，1）故选D

【点睛】本题考查了用有序数对确定位置，一对有顺序的数叫做有序数对，理解有序数对是两个数据是解题的关键．
5．（2022·北京市第十三中学分校七年级期中）我校两校区，均坐落在富有文化底蕴的老北京城区内．什刹海校区周边，有德胜门箭楼、钟鼓楼、郭守敬纪念馆、宋庆龄故居、梅兰芳纪念馆等名胜古迹；诚毅校区所处的西四地区，更有妙应寺白塔、历代帝王庙、程砚秋故居、鲁迅博物馆等，学校以此为依托，开展了内容丰富、形式多样的学生活动．出发前，小华利用所学知识，通过建立平面直角坐标系，来给活动地点定位．如图，以什刹海校区为例，若德胜门箭楼的坐标为（﹣3，0），鼓楼的坐标为（6，﹣6），则（﹣1.5，﹣2.4）最有可能表示的是 ___．

【答案】宋庆龄故居．
【分析】据德胜门箭楼的坐标（-3，0），鼓楼的坐标（6，-6），得出原点位置及单位长度，从而得出答案．
【详解】解：如图，

（﹣1.5，﹣2.4）最有可能表示的是宋庆龄故居．故答案为：宋庆龄故居．
【点睛】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及单位长度．
6．（2022·甘肃平凉·七年级期末）如图为某中学新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若教学楼的坐标为，图书馆的坐标为，解答下列问题：
(1)在图中找到坐标系中的原点，并建立平面直角坐标系；(2)若体育馆的坐标为，食堂的坐标为，请在图中标出体育馆和食堂的位置，并求出教学楼到体育馆的距离（1格=150米）．

【答案】(1)见解析
(2)体育馆和食堂的位置见解析；教学楼到体育馆的距离为750米
【分析】（1）根据点A的坐标即可确定原点的位置；
（2）由（1）可直接标出C，D的位置，进而即可求解．
（1）解：根据点A、B的坐标，确定原点O，建立平面直角坐标系，如图所示：

（2）体育馆和食堂的位置如上图所示，教学楼到体育馆的距离为5×150＝750（米）．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的应用，关键是要能根据已知点的坐标确定原点的位置，然后才能标出其他点的坐标．

题型3 象限内和坐标轴上点的特征
解题技巧：掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）.
坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.
1．（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）点在（       ）
A．轴上 B．轴上 C．第一象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据轴上点的纵坐标为0即可判断．
【详解】∵点的纵坐标为0，∴点在轴上，故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律，理解坐标轴上的点的特点是解题的关键．
2．（2022·湖南·花垣县华鑫学校七年级期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（        ）

A．（5，2） B．（-6，3） C．（-4，-6） D．（3，-4）
【答案】C
【分析】根据点在第三象限点的坐标特点，即可解答．
【详解】解：根据题意得：小手盖住的点位于第三象限，
A.（5，2）在第一象限，故本选项不符合题意；B.（-6，3）在第二象限，故本选项不符合题意；
C.（-4，-6）在第三象限，故本选项符合题意；D.（3，-4）在第四象限，故本选项不符合题意；故选：C
【点睛】本题主要考查了点在第三象限时点的坐标特征，比较简单．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
3．（2022·辽宁·兴城市滨海经济区学校七年级期中）在平面直角坐标系中，点P（3，-6）位于（          ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征解答即可．
【详解】解：∵3>0， -6＜0，∴点P(3，-6)位于第四象限．故选：D．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-）．
4．（2022·广西南宁·七年级期末）下列点的坐标中，位于第三象限的是（       ）
A．（6，﹣4） B．（5，2） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣3，4）
【答案】C
【分析】根据平面直角坐标系中，第三象限内的点的横、纵坐标均小于0即可得．
【详解】解：在平面直角坐标系中，第三象限内的点的横、纵坐标均小于0，
观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．
【点睛】本题考查了点所在的象限，熟练掌握平面直角坐标系中，第三象限内的点的横、纵坐标均小于0是解题关键．
5．（2022·山东省青岛第六十三中学八年级期中）在平面直角坐标系中，点P（a-2，-a）在第二象限，则a的取值范围是（       ）
A．a>2 B．0 【答案】C
【分析】根据点A在第二象限得出其横坐标小于0、纵坐标大于0，列出关于a的不等式组，解之可得答案．
【详解】解：根据题意，得：，解得： a＜0，故选：C．
【点睛】本题考查的是点的坐标特点与解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校八年级阶段练习）在直角坐标系中，点A（﹣m，m﹣1）在第二象限则点B（﹣m﹣2，m﹣4）的位置是（        ）
A．在第一或二象限 B．在第二或三象限 C．在第三或四象限 D．在第一或四象限
【答案】B
【分析】首先确定m的取值范围，然后再确定−m−2，m−4的符号，进而可得点B所在象限．
【详解】解：∵点A（−m，m−1）在第二象限，
∴，解得：m＞1，∴−m−2＜0，m−4＞0或＜0，
∴点B（−m−2，m−4）的位置是在第二或三象限．故选：B．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握第一象限（＋，＋），第二象限（−，＋），第三象限（−，−），第四象限（＋，−）．

题型4 点到坐标轴的距离
解题技巧：点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
1．（2022·河北唐山·七年级期末）在平面直角坐标系中点到y轴的距离为（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值解答即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中点到y轴的距离为|1|=1，故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值．
2．（2022·山东临沂·七年级期中）已知第三象限的点，那么点P到x轴的距离为（       ）
A．4 B． C． D．3
【答案】D
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
【详解】解：∵第三象限的点，
∴点P到x轴的距离为｜﹣3｜＝3．故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
3．（2022·山东临沂·七年级期末）已知点A在第二象限，到x轴的距离是6，到y轴的距离是5，点A的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据第二象限坐标正负性可得，横坐标为负，纵坐标为正．
【详解】已知点A在第二象限，根据坐标性质可知，x=−5，y=6，点A的坐标为(−5，6)．
【点睛】此题考查了象限坐标的性质，解题的关键是根据象限坐标的正负性确定点的坐标．
4．（2022·宁夏·吴忠市第二中学七年级期中）若点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标有可能是（ ）
A．（3，4） B．（4，3） C．（-3，-4） D．（3，-4）
【答案】B
【分析】根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可．
【详解】解：∵点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，
∴点P的横坐标为4或-4，纵坐标为3或-3，
∴点P的坐标可能为（4，3）或（4，-3）或（-4，3）或（-4，-3），故选B．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟知点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键．
5．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是1，则______．
【答案】3或5
【分析】点到y轴的距离，为点横坐标的绝对值，计算出即可．
【详解】解：∵点到y轴的距离是1，
∴，
得：，
解得：或．
故答案为：或
【点睛】本题考查了平面直角系中点到坐标轴的距离，掌握数形结合的思想是解本题的关键．点到坐标轴的距离：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
6．（2022·安徽·八年级阶段练习）已知：点Q的坐标（2a，3a－1）．(1)若点Q在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为16，求点Q的坐标．(2)若点Q到两坐标轴的距离相等，求点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)或，．
【分析】（1）根据第三象限的横坐标和纵坐标均为负数，并根据点到两坐标轴的距离之和为16列方程求出的值即可得出点的坐标；
（2）根据点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数解答即可．
（1）解：点在第三象限，，，
又据点到两坐标轴的距离之和为16，
，即，解得，
，，故点的坐标为；
（2）解：点到两坐标轴的距离相等，
，或，解得或，
当时，，，
当时，，，
点或，．
【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，解题的关键是掌握点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数．

题型5.与坐标轴平行的坐标特征
【解题技巧】
①l1∥x轴，则l1⊥y轴；l1∥y轴，则l1⊥x轴。
②l1∥x轴，则l1上所有点纵坐标相等。l2∥y轴，则l2上所有横纵坐标相等。
1．（2022·福建厦门·七年级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，3），B（－2，－1），C（x，y），若AC∥y轴，则线段BC的最小值为（       ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】由垂线段最短可知点BC⊥AC时，BC有最小值．
【详解】解：依题意可得：

∵AC//y轴，A(1，3)，C(x， y)，∴x=1，
根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，
∵B(-2，-1)，即BC的最小值= 2+1=3，故选： C．
【点睛】本题主要考查的是垂线段的性质、点的坐标的定义，掌握垂线段的性质是解题的关键．
2．（2022·河南濮阳·七年级期末）已知平面直角坐标系中有，两点，且轴，则点的坐标为__________．
【答案】
【分析】根据轴可得，点M，N的纵坐标相同，进行求解即可．
【详解】∵轴，∴点M，N的纵坐标相同，
∴，解得：，把代入，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中与坐标轴平行的线段的点坐标的特点，熟记与x轴平行的点，纵坐标相同是解题的关键．
3.（2022·五常市教师进修学校）已知：平面直角坐标系中，点M的坐标是，线段平行于y轴，且，则N的坐标是___________．
【答案】或
【分析】平行于y轴得到M和N两点的横坐标相等，分N点在M点上方和下方两种情况讨论即可求解．
【详解】解：由题意可知：∵平行于y轴，∴M和N两点的横坐标相等，
由和M的坐标是可知：当N点在M点上方时，N的坐标是，
当N点在M点下方时，N的坐标是，故答案为：或．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，属于基础题，注意要分情况考虑，避免漏解．
4．（2022·山东金乡·初二期末）已知点和点，若直线轴，则的值为________．
【答案】-1
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，列出方程求解即可．
【解析】解：∵点A（m+1，-2），B（3，m-1），直线AB∥x轴，∴m-1= -2，
解得m= -1．故答案为：-1．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键．
5．（2021·西宁市中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是________．
【答案】或
【分析】由题意，设点B的坐标为(-2，y)，则由AB=9可得，解方程即可求得y的值，从而可得点B的坐标．
【详解】∵轴∴设点B的坐标为(-2，y)
∵AB=9∴解得：y=8或y=－10
∴点B的坐标为或故答案为：或
【点睛】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况．
6．（2022·上饶市实验中学初二期末）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上； （2）点P在y轴上；（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；
【答案】（1）P（﹣6，0）；（2）P（0，12）；（3）P（1，14）；（4）P（﹣12，﹣12）或（﹣4，4）．
分析：（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；
（2）利用y轴上点的坐标性质横坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；
（3）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案；
【解析】（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，∴2a+8=0，解得：a=﹣4，
故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，则P（﹣6，0）；
（2）∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，∴a﹣2=0，解得：a=2，
故2a+8=2×2+8=12，则P（0，12）；
（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，∴a﹣2=1，解得：a=3，
故2a+8=14，则P（1，14）；

题型6 象限角平分线上点的特征
解题技巧：象限角平分线上点的坐标特点：第一、三象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．
1．（2022·湖北）若点在第二、四象限的角平分线上，则______．
【答案】
【分析】第二、四象限角平分线上点的坐标互为相反数，据此列出关于a的方程求解．
【详解】解：∵在第二、四象限角平分线上，
∴，．故答案为：−2．
【点睛】此题考查象限角平分线上点坐标特点，一、三象限角平分线上点的纵横坐标相等；二，四象限角平分线上点的纵横坐标互为相反数．
2．（2022·射阳县第二初级中学）已知点A（2a+5，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上，则a＝_____．
【答案】﹣8．
【分析】根据第一、三象限角平分线上的点的坐标特点：点的横纵坐标相等，即可解答．
【详解】点A（2a+5，a-3）在第一、三象限的角平分线上，且第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等，∴2a+5=a-3，解得a=-8．故答案为：-8．
【点睛】本题考查了各象限角平分线上点的坐标的符号特征，第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标互为相反数．
3．（2022·福建七年级期中）在平面直角坐标系中，点在第一、三象限的角平分线上，则m的值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】第一、三象限的角平分线解析式为y=x，代入即可求解．
【详解】解：∵点P（2m+3，3m-1）在第一、三象限的角平分线上，
∴解得，．故选A．
【点睛】本题考查的知识点是点的坐标的性质，由题意得出一、三象限的角平分线解析式为y=x是解此题的关键．
4．（2022·浙江）在平面直角坐标系中，已知点
（1）若点在轴上，求的值.（2）若点在第一、三象限的角平分线上，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据点在x轴上纵坐标为0求解；
（2）根据第一、三象限的角平分线上的横坐标，纵坐标相等求解．
【详解】解：（1）由题意得：，解得；
（2）由题意得： ，解得.
【点睛】此题考查了点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，第一、三象限的角平分线上的点的特征．
5．（2022·成都市八年级专题练习）（1）若点（5-a，a-3）在第一、三象限的角平分线上，求a的值．
（2）已知两点A（-3，m），B（n，4），若AB∥x轴，求m的值，并确定n的范围．
（3）点P到x轴和y轴的距离分别是3和4，求P点的坐标．
【答案】（1）a＝4；（2）m＝4，n≠-3；（3）P点的坐标为（4，3）或（-4，3）或（4，-3）或（-4，-3）．
【分析】（1）根据象限角平分线的特点，即可求解；
（2）根据平面直角坐标系中平行线的性质确定m的值，根据两点不重合，求得n的范围；
（3）根据平面直角坐标系的意义，即可求点的坐标．
【详解】（1）因为点在第一、三象限的角平分线上，所以，所以．
（2）因为AB∥x轴，所以，因为两点不重合，所以n≠-3．
（3）设P点的坐标为，由已知条件得|y|＝3，|x|＝4，所以，，所以P点的坐标为(4，3)或(-4，3)或(4，-3)或(-4，-3)．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，角平分线的性质，平行线的性质，理解平面直角坐标系的定义是解题的关键．
6．（2022·义乌市稠州中学教育集团八年级月考）已知平面直角坐标系中，点，根据下列条件求出的值．（1）点到轴距离为3；（2）点在某象限的角平分线上．
【答案】（1）x=或x=；（2）x=或x=
【分析】（1）根据点到x轴的距离即为纵坐标的绝对值可得；
（2）根据点在某象限的平分线上可得方程，解之即可．
【详解】解：（1）∵到x轴的距离为3，
∴，解得：x=或x=；
（2）∵点P在某象限的平分线上，
∴，解得：x=或x=．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是理解点到坐标轴的距离以及象限的平分线上点坐标的特征．

题型7 与坐标相关的对称问题
【解题技巧】点与点关于轴对称 横 坐标不变， 纵 坐标互为相反数；
点与点关于轴对称 纵 坐标相等， 横 坐标互为相反数；
点与点关于原点对称横、纵坐标均互为 相反数 ；
1．（2022·甘肃·武威第九中学八年级期末）点P（-2，4）关于x轴对称的点的坐标为________．
【答案】
【分析】根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：点P（-2，4）关于x轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求关于轴对称的点的坐标，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
2．（2022·宁夏·吴忠市第二中学八年级期末）点M(a，5)与点N(-3，b)关于y轴对称，则2a - b =______．
【答案】
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质，即横坐标互为相反数，纵坐标不变，得出a，b的值，再利用有理数的运算法则求出答案．
【详解】解：∵点M（a，5），点N（−3，b）关于y轴对称，
∴a＝3，b＝5，
∴2a−b＝2×3−5＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
3．（2022·湖南邵阳·八年级期末）已知点和点关于x轴对称，则______．
【答案】1
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y），进而得出a，b的值即可．
【详解】解：∵点A（a，3）与点B（4，b）关于x轴对称，
∴a=4，b=-3，
则a+b=4-3=1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆关于坐标轴对称的坐标性质是解题关键．
4．（2022·绵阳市八年级课时练习）已知点，若点M关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据点M关于x轴的对称点在第三象限，可知点M在第二象限，让根据第二象限点的特征列不等式计算即可．
【详解】解：∵点M关于x轴的对称点在第三象限，∴点M在第二象限，
则，解不等式得：，解不等式得：，
∴不等式组的解集为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征，解不等式组等知识点，熟知平面直角坐标系中各个象限中点的坐标特征是解本题的关键．
5．（2022·浙江八年级期末）平面直角坐标系中，点关于点成中心对称的点的坐标是_______．
【答案】（-1，2）
【分析】设Q（1，0），连结PQ并延长到点P′，使P′Q＝PQ，设P′（x，y），则x＜0，y＞0．过P作PM⊥x轴于点M，过P′作PN⊥x轴于点N．利用AAS证明△QP′N≌△QPM，得出QN＝QM，P′N＝PM，即1-x＝3-1，y＝2，求出x＝-1，y＝2，进而得到P′的坐标．

【详解】解：如图，设Q（1，0），连结PQ并延长到点P′，使P′Q＝PQ，设P′（x，y），则x＜0，y＞0．
过P作PM⊥x轴于点M，过P′作PN⊥x轴于点N．
在△QP′N与△QPM中，，∴△QP′N≌△QPM（AAS），
∴QN＝QM，P′N＝PM，∴1-x＝3-1，y＝2，∴x＝-1，y＝2，∴P′（-1，2）．故答案为（-1，2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的判定与性质，准确作出点P（3，-2）关于点（1，0）对称的点P′是解题的关键．
6．（2022·山东·济南八年级期末）已知有序数对及常数k，我们称有序数对为有序数对的“k阶结伴数对”．如的“1阶结伴数”对为即．若有序数对与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（       ）
A．－2 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据“k阶结伴数对”的定义求出有序数对的“k阶结伴数对”为，再利用和关于y轴对称，求出，进一步可求出．
【详解】解：由题意可知：有序数对的“k阶结伴数对”为，
∵和关于y轴对称，
∴，解得：．故选：B
【点睛】本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，解题的关键是理解新定义，求出有序数对的“k阶结伴数对”为，掌握坐标轴对称的特点，得到．

题型8 坐标的平移问题
解题技巧： 平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0

1．（2022·甘肃·景泰县八年级期中）在直角坐标系中，点向右平移3个单位长度后的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平移规律，让点P的横坐标加3，纵坐标不变即可．
【详解】解：平移后点P的横坐标为﹣2+3＝1，纵坐标不变为3,
所以点P（－2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（1，3）．故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化——平移，平移变换是中考的常考点，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
2．（2022·江苏·八年级期末）点A在平面直角坐标系xOy中的坐标为（5，3），将坐标系xOy中的x轴向上平移2个单位长度，y轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点A的坐标为（       ）
A．（2，5） B．（8，0） C．（8，5） D．（8，1）
【答案】D
【分析】将问题看作求在原来的坐标系中，将点先沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向下平移2个单位长度后的点的坐标，再根据点坐标的平移变换规律即可得．
【详解】解：由题意，将所求问题转为求在原来的坐标系中，将点先沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向下平移2个单位长度后的点的坐标，
则平移后的点的坐标为，即为，
所以在新坐标系中，点的坐标为，故选：D．
【点睛】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．
3．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（　　）
A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1）
【答案】A
【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，即，故选：A．
【点睛】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．
4．（2022·广西·柳州市柳江区穿山中学七年级阶段练习）如图，点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（     ）


A．18 B．20 C．28 D．36
【答案】A
【分析】直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形的面积=2△的面积求解即可．
【详解】解：∵点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是（m，4）和（3，n），
∴可知将线段AB向右平移4个单位，向上平移3个单位得到的位置，
∴m=1，n=1，∴与坐标分别是（1，4）和（3，1），
∴线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形的面积=2△的面积=2××6×3=18，故选：A．

【点睛】本题主要考查坐标系中线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
5．（2022·新疆·七年级期中）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是，将线段AB平移得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（         ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据点的坐标得出平移方式，再根据点坐标的平移变换规律即可得．
【详解】解：将线段AB平移得到线段，且，
将点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度即可得到点，
又，，即，故选：A．
【点睛】本题考查了点坐标的平移，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．
6．（2022·贵州毕节·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，若将线段平移至处，点分别在x轴和y轴上，则的面积为（       ）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】A
【分析】由题意平移方式为向下平移1个单位，向左平移1个单位，（3，0），（0，1），推出O＝3，O＝1，利用三角形面积公式求解．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，若将线段平移至处，点分别在x轴和y轴上，∴平移方式为向下平移1个单位，向左平移1个单位，
∴（3，0），（0，1），∴O＝3，O＝1，
∴△O的面积＝×3×1＝1.5，故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变化−平移，三角形的面积等知识，解题的关键是判断出点，的坐标．
题型9 坐标系中的作图问题（平移与对称）
1．（2022·宁夏·吴忠市第二中学七年级期中）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-1，8），B（－5，3），C（0，6）．

(1)画出△ABC向右平移7个单位后的图形，并写出三个顶点的坐标．
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析，，，；(2)
【分析】（1）根据平移的性质得出三角形ABC三个顶点的对应点的位置，顺次连接即可；然后再根据所作图形写出三个顶点的坐标；
（2）利用割补法计算即可．
（1）解：如图所示，由图可得：，，；

（2）△ABC的面积为：．
【点睛】本题考查了作图—平移，坐标与图形，掌握平移的性质，得出对应顶点的位置是解题的关键．
2．（2022·福建·武平县七年级期中）（1）将A，B，C三点的横坐标增加2，纵坐标减小3，写出对应的点A1，B1，C1，的坐标，并说出是如何平移的；（2）画出△A1B1C1，并求出△A1B1C1的面积．

【答案】（1），，，先向右平移两个单位，再向下平移三个单位；
（2）图见解析，△A1B1C1的面积为：20.5．
【分析】（1）由图可得A，B，C三点的坐标，然后将这些坐标的横坐标增加2，纵坐标减小3即可求出A1，B1，C1的坐标，根据平面直角坐标系中点平移的特点可知是如何平移的；
（2）利用割补法即可求出求出△A1B1C1的面积．
【详解】（1）由图知，，，将它们的横坐标增加2，纵坐标减小3，得：，，，根据平面直角坐标系中点平移的特点求得图象先向右平移两个单位，再向下平移三个单位；
（2）△A1B1C1如图所示：

△A1B1C1的面积为：．
【点睛】本题考查了图形的平移、写出点的坐标、运用割补法求三角形的面积，数形结合是解题的关键．
3．（2022·湖北·七年级期中）如图，△ABC在直角坐标系中，

(1)把△ABC向上平移2个单位，再向右平移3个单位得△A′B′C′，在图中画出两次平移后得到的图形△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标.(2)如果△ABC内部有一点Q，根据（1）中所述平移方式得到对应点Q′，如果Q′坐标是（m，n），那么点Q的坐标是　 　.(3)求平移后的三角形面积.
【答案】(1)(2)（m－3，n－2）(3)7
【分析】（1）把△ABC的各顶点分别向上平移2个单位，再向右平移3个单位，得到平移后的各点，顺次连接各顶点即可得到；（2）根据（1）平移的方向和距离即可得到点Q的坐标；
（3）的面积等于边长为4和5的长方形的面积减去直角边长为1，3的直角三角形的面积，直角边长为2，4的直角三角形的面积，直角边长为5，3的直角三角形的面积．
（1）解：如图，即为所求，；

（2）∵把△ABC向上平移2个单位，再向右平移3个单位得，
∴△ABC内的任意一点都向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到对应点，
∵△ABC内部有一点Q，平移后得到对应点，坐标是（m，n），
∴点Q的坐标是(m-3，n-2)，故答案为（m－3，n－2）；
（3）的面积=4×5-×2×4-×1×3-×3×5=7．
【点睛】此题考查了平移作图，平移的性质，解决本题的关键是得到相应顶点的平移规律；图形的平移要归结为各顶点的平移；格点中的三角形的面积通常整理为长方形的面积与几个三角形的面积的差．
4．（2022·陕西·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．


(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
(2)求四边形AA1B1B的面积．
【答案】(1)图见详解
(2)6

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）根据梯形的面积公式即可求得结果．
（1）
解：如图所示，△为所作图形；
（2）
解：，，四边形是梯形，
四边形的面积．


【点睛】本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
5．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，、、．

(1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出点的坐标；
(2)求出的面积；
【答案】(1)见详解
(2)4
【分析】（1）先确定点A、B、C三点关于y轴的对称点A′、B′、C′的坐标，再将A′、B′、C′两两连接，即可，
（2）选取网格点E、F，连接BE、EF、AF，构成梯形ABEF，则△ABC的面积等于梯形ABEF的面积减去△BEC与△AFC的面积之和，据此即可作答．
（1）
∵A(−1,2)、B(−4,0)、C(−3,−2)，
又∵点A、B、C三点与点A′、B′、C′关于y轴，
∴点A′、B′、C′的坐标分别为(1,2)、(4,0)、(3,−2)，
即作图如下：

△A′B′C′即为所求，B′(4,0)；
（2）
选取网格点E、F，连接BE、EF、AF，构成梯形ABEF，如图，

根据网格图可知BE=2，AF=4，EF=3，EC=1，CF=2，
∴，，，
∵，
∴，
即△ABC的面积为4．
【点睛】本题考查了直角坐标系中求解坐标关于y轴对称的对称点坐标以及利用网格求解三角形面积的知识，掌握关于y轴对称的两个点的坐标，其纵坐标相等，横坐标互为相反数是解答本题的关键．
6．（2022·河南·郑州市第十九初级中学八年级期末）已知：如图，已知△ABC．

(1)写出图中A，B，C三个点的坐标．
(2)画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1．
(3)写出△A1B1C1与△ABC对应点的坐标之间的关系．
【答案】(1)，，；
(2)图见详解
(3)横坐标相同，纵坐标互为相反数
【分析】（1）根据直角坐标系得出坐标即可；
（2）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置；
（3）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点坐标关系解答．
（1）解：由坐标系可得：，，；
（2）解：如图所示：

（3）解：由（2）可知：△与对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．

题型10 坐标系中的新定义问题
1．（2022·浙江·八年级课时练习）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如（，为实数）的数叫做复数，用表示，任何一个复数在平面直角坐标系中都可以用有序数对表示，如：表示为，则可表示为______．
【答案】（2，－1）
【分析】根据题目中的定义求解即可．
【详解】解：由题意，得：可表示为（2，－1），故答案为：（2，－1）．
【点睛】本题考查了点的坐标，弄清题目中的新定义是解题的关键．
2．（2022·浙江八年级）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且线段PP′的长度为线段OP长度的5倍，则k的值为___．
【答案】±5
【分析】先根据点P在x轴正半轴确定出点P的坐标，然后利用k表示出P'的坐标，继而表示出线段PP′的长，再根据线段PP′的长为线段OP长的5倍得到关于k的方程，解方程即可求得答案.
【详解】解：设P（m，0）（m＞0），由题意：P′（m，mk），
∵PP′＝5OP，∴|mk|＝5m，∵m＞0，∴|k|＝5，∴k＝±5．故答案为：±5．
【点睛】本题考查了新定义下的阅读理解能力，涉及了点的坐标，绝对值的性质，两点间的距离等知识，正确理解新定义是解题的关键.
3．（2022·山东七年级期末）对于平面直角坐标系xOy 中的点P(a,b) ，若点P 的坐标为(a+kb,ka+b) （其中k为常数，且k≠0 ），则称点P' 为点P的“k属派生点”.例如：P(1,4) 的“2属派生点”为P'(1+2×4,2×1+4)，即P'(9,6).（l）求点P(−2,3) 的“3属派生点”P'的坐标：（2）若点P的“5属派生点”P'的坐标为(3,−9) ，求点P的坐标：（3）若点P在x 轴的正半轴上，点P的“收属派生点”为P'点，且线段PP'的长度为线段OP 长度的2倍，求k的值.
【答案】（1）(7,−3)；（2）点P(−2,3)；（3）k=±2
【解析】
【分析】（1）根据“k属派生点”计算可得；（2）设点P的坐标为（x、y），根据“k属派生点”定义及P′的坐标列出关于x、y的方程组，解之可得；（3）先得出点P′的坐标为（a，ka），由线段PP′的长度为线段OP长度的2倍列出方程，解之可得．
【详解】解：（1）点P(−2,3) 的“3属派生点”P'的坐标为(−2+3×3,−2×3+3) ，即(7,−3)
（2）设P(x,y) ，依题意，得方程组：x+5y=35x+y=−9 ，解得x=−2 ，.∴点P(−2,3)
（3）∵点P在x轴的正半轴上，
∴b=0，a＞0．∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka）
∴线段PP′的长为P′到x轴距离为|ka|．
∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，∴|ka|=2a，即|k|=2，∴k=±2．
【点睛】考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键．
4．（2022·北京市朝阳外国语学校七年级期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 （其中为常数，且 ），则称是点的“族衍生点”．例如：点 的“族衍生点”的坐标为，即．（1）点的“族衍生点”的坐标为  ；
（2）若点的“族衍生点”的坐标是 ，则点的坐标为  ；
（3）若点（其中），点的“族衍生点”为点，且，求的值．
【答案】（1） ；（2）；（3）
【分析】（1）利用“m族衍生点”的定义可求解；
（2）设点A坐标为（x，y），利用“m族衍生点”的定义列出方程组，即可求解；
（3）先求出点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），由AB＝OA，可求解．
【详解】解：（1）点的“族衍生点”的坐标为 ，即 ，故答案为：；
（2）设点坐标为 ，由题意可得： ， 点坐标为 ，故答案为：．
（3）点， 点的“族衍生点”为点， ，
， ， ．
【点睛】本题主要考查新定义问题，平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，准确根据题意解题是关键．
5．（2022·厦门市第十一中学）在平面直角坐标系中，已知点，点（其中为常数，且），则称是点的“系置换点”．例如：点的“3系置换点”的坐标为，即．
（1）点(2，0)的“2系置换点”的坐标为________；
（2）若点的“3系置换点”的坐标是(-4，11)，求点的坐标．
（3）若点（其中），点的“系置换点”为点，且，求的值；
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据题中新定义直接将m的值代入即可得出答案；
（2）根据题中新定义列出关于、的二元一次方程组求解即可得出答案；
（3）根据题中新定义可得出点B的坐标，再根据列方程求解即可得出答案．
【详解】解：（1）点(2，0)的“2系置换点”的坐标为，即；
（2）由题意得：解得： 点A的坐标为：；
（3）点为
即点B坐标为，
为常数，且．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法、绝对值方程，理解“系置换点”的定义并能运用是本题的关键．
6．（2022·长沙市七年级月考）阅读理解，解答下列问题：在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（，），则称点B为点A的“k级湘一点”，如点A（2，5）的“2 级湘一点”为B（，），即B（9，）．（1）已知点P（，1）的“5级湘一点”为P1 ，则点P1的坐标为 ；
（2）已知点Q的“4 级湘一点”为Q1（5，3），求Q点的坐标；（3）如果点C（，）的“2 级湘一点”C1在第二象限，①求c的取值范围；②在①中，当c取最大整数时，连接OC1，坐标平面内是否存在点M（2，），使得，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（，）；（2）（，）；（3）①；②或
【分析】（1）根据“k级湘一点”的定义，即可解答；
（2）设 ，根据点Q的“4 级湘一点”为Q1（5，3），可列出方程组，解出即可；
（3）①根据“k级湘一点”的定义，求出点C1，再根据C1在第二象限，即可求解；
②根据题意，求出，可得出直线OC1的解析式，从而得到当时，M、O、C1三点共线，继而，然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：（1）∵点P（，1）的“5级湘一点”为P1 ，
∴ ，即 ；
（2）设 ，∵点Q的“4 级湘一点”为Q1（5，3），
∴ ，解得： ，∴Q点的坐标为（，）；
（3）①∵C1是点C（，）的“2 级湘一点”，
∴ ，即 ，
∵C1在第二象限，∴ ，解得：；
②存在，理由如下：∵，且c取最大整数，∴c=-2，∴，
设直线OC1的解析式为 ，将代入，得： ，解得： ，
∴设直线OC1的解析式为 ，
∵M（2，），当M、O、C1三点共线时，有 ，
解得： ，即 ，∴当时，M、O、C1三点共线，∴，
如图，当，即点M在上方时，，

∵，M（2，），∴ ，
解得： ，∴；
当，即点M在下方时，，
∴，解得： ，∴，
综上所述，m的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了实数下的新定义，解二元一次方程组，平面直角坐标系内求三角形的面积，理解新定义，并利用数形结合思想是解题的关键．

题型11 点在坐标系内的变化规律
1．（2022·岳池县七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，向右平移3个单位长度到达点，再向上平移6个单位长度到达点，再向左平移9个单位长度到达点，再向下平移12个单位长度到达点，再向右平移15个单位长度到达点……按此规律进行下去，该动点到达的点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••，探究规律可得A2021（3033，-3030），从而求解．
【详解】解：由题意A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••，
可以看出，9=，15=，21=，
得到规律：点A2n+1的横坐标为，其中的偶数，
点A2n+1的纵坐标等于横坐标的相反数+3，，即，
故A2021的横坐标为，A2021的纵坐标为，
∴A2021（3033，-3030），故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
2．（2022·湖北七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上．向右．向下．向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到，，，，…那么点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图象移动的得出移动4次一个循环，得出结果即可；
【详解】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，
∵，∴的坐标是；故答案选D．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律题，准确计算是解题的关键．
3．（2022·甘肃白银市·八年级期末）如图，点A(0，1)，点A1(2，0)，点A2(3，2)，点A3(5，1)…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为___________．

【答案】(3032，1010)
【分析】观察图形得到奇数点的规律为，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），由于2021是奇数，且2021＝2n﹣1，则可求A2021（3032，1010）．
【详解】解：观察图形可得，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，∴A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），
∵2021是奇数，且2021＝2n﹣1，∴n＝1011，∴A2021（3032，1010），故答案为：（3032，1010）．
【点睛】本题考查了点的坐标规律，熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．
4．（2022·扎鲁特旗教师培训中心七年级期末）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点已知点的终结点为点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为____
【答案】
【分析】利用点P（x，y）的终结点的定义分别写出点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（−3，3），点P4的坐标为（−2，−1），点P5的坐标为（2，0），…，从而得到每4次变换一个循环，然后利用2021＝4×505＋1可判断点P2021的坐标与点P1的坐标相同．
【详解】解：根据题意得点P1的坐标为（2，0），则点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（−3，3），点P4的坐标为（−2，-1），点P5的坐标为（2，0），…，而2021＝4×505+1，
所以点P2021的坐标与点P1的坐标相同，为（2，0），故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标的变化规律探索，找出前5个点的坐标，找出变化规律，是解题的关键．
5．（2022·山东泰安·七年级期末）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒运动到点（为正整数），则点的坐标是______．

【答案】
【分析】通过观察可得，An每6个点的纵坐标规律：，0，，0，-，0，点An的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，1秒钟走一段，P运动每6秒循环一次，点P运动n秒的横坐标规律： ，1，，2，，3，…，，点P的纵坐标规律：，0，，0，0，0，…，确定P2021循环余下的点即可．
【详解】解：∵图中是边长为1个单位长度的等边三角形，
∴ A2（1，0）A4（2，0）A6（3，0）
…
∴An中每6个点的纵坐标规律：，0，，0，﹣，0，
点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，1秒钟走一段，P运动每6秒循环一次
点P的纵坐标规律：，0，，0，-，0，…，点P的横坐标规律： ，1，，2，，3，…，，
∵2021＝336×6+5，∴点P2021的纵坐标为，
∴点P2021的横坐标为，∴点P2021的坐标，故答案为：．
【点睛】本题考查点的规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，确定点的坐标规律是解题的关键．
6．（2022·厦门市第十一中学）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为2021个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标________．

【答案】
【分析】先求出“凸”形的周长为20，得到的余数为1，由此即可解决问题．
【详解】解：，，，，，
∴， “凸”形的周长为20，
又∵的余数为1，细线另一端所在位置的点在的中点处，坐标为．故答案为：．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出“凸”形的周长，属于中考常考题型．

题型12 坐标系中的动点问题
解题技巧：动点问题，通常假设运动时间为t，将时间t视作常数进行图形分析，列出关于未知数t的方程，求解方程来解决。
1．（2022·辽宁葫芦岛市·七年级期中）如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，分别以OC，OA所在直线为 x 轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，点A（，），C（，），且．
（1）C点的坐标为 ，A点的坐标为 ；（2）三角形AOC的面积是 ；（3）已知坐标轴上有两动点P，Q，两动点同时出发，点P从C点出发，沿x轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发，沿y轴正方向以每秒个单位长度的速度移动，Q点到达A点时，PQ同时停止移动．AC的中点D的坐标是（，），设运动时间为秒，求为何值时，三角形ODP的面积等于三角形ODQ 的面积．

【答案】（1）（6，0）（0，12）；（2）36；（3）时，三角形ODP的面积等于三角形ODQ 的面积．
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，c的值即可；（2）根据三角形面积公式进行解答即可；（3）根据D点坐标得到三角形的高，再根据三角形面积相等列出关于t的方程即可求解．
【详解】（1）∵，∴2c−a＝0，c−6＝0，解得a＝12，c＝6，
∴A（0，12），C（6，0）；故答案案为：（6，0）；（0，12）
（2）∵A（0，12），C（6，0）；∴OA=12，OC=6∴S△AOC＝×OA×OC＝×12×6＝36，故答案为：36；
（3）∵ AC的中点D的坐标是（，），
∴三角形ODP底边OP上的高为6，三角形ODQ底边OQ上的高为3，

由已知，得，，若使三角形ODP的面积等于三角形ODQ的面积
则可列方程 解，得， ∴时，三角形ODP的面积等于三角形ODQ的面积．
【点睛】本题考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是熟知三角形的面积公式，学会用转化的思想思考问题，属于中考综合题．
2．（2022·汕头市潮南区两英镇墙新学校七年级期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b）且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．
（1）点B的坐标为　 　；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为　 　；
（2）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
（3）在O﹣C﹣B的线路移动过程中，是否存在点P使△OBP的面积是10，若存在求出点P移动的时间；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（4,6），（1,6）；（2）2秒或6秒；（3）或.
【分析】（1）利用非负数的性质可以求得a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标；（2）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可．（3）分为点P在OC、BC上分类计算即可．
【详解】（1）∵a、b满足+|b-6|=0，∴a-4=0，b-6=0，解得a=4，b=6，∴点B的坐标是（4，6），
∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的线路移动，∴2×3.5=7，
∵OA=4，OC=6，∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：7-6=1，
即当点P移动4秒时，此时点P在线段CB上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是（1，6）；
故答案为（4，6），（1，6）．
（2）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点P在OC上时，点P移动的时间是：4÷2=2秒，
第二种情况，当点P在BA上时．点P移动的时间是：（6+4+2）÷2=6秒，
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是2秒或6秒．
（3）如图1所示：∵△OBP的面积=10，∴OP•BC=10，即×4×OP=10．解得：OP=5．∴此时t=2.5s

如图2所示；∵△OBP的面积=10，∴PB•OC=10，即 ×6×PB=10．解得：BP=．
∴CP=．∴OC+CP=6+=，∴此时t=s，
综上所述，满足条件的时间t的值为2.5s或s．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
3．（2022·吉林船营·初一期末）如图①，长方形OABC，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，设点P运动时间为．
（1）B点坐标为 ；
（2）①当t=2时，则BP= ；当t=4时，BP= ；
②当时，CP= ；（用含t的式子表示）
（3）如图②，点p出发3s后，一直线l从y轴位置出发沿x轴正方向运动，且始终与y轴平行，运动速度为每秒2个单位长度．当t为何值时，点到直线的距离为2？

【答案】（1）；（2）①1；1 ②；（3）或5时
【分析】（1）根据、两点坐标可得：长方形的长为4，宽为3，便可求出点坐标．
（2）根据数形结合时，，时，，即可求解．
（3）分类讨论相遇前和相遇后的距离，根据总距离=所走的距离+所走的距离点到直线的距离，列出一元一次方程即可求解．
【解析】（1）∵，∴，∴
（2）①当时，∴
当时，∴
②当时，∴
（3）分两种情况：当点与直线相遇前时∴
当点与直线相遇后∴ ∴当或时点到直线的距离为．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，行程问题中相遇问题的等量关系，难点在于要分情况讨论，根据相遇问题列出方程是解题的关键．
4．（2022·江西兴国·初二期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点A的坐标　 　，点B的坐标　 　，AO和BC位置关系是　 　；
（2）在P、Q的运动过程中，连接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）（－8，0）；（－4，－4）；平行 （2）（，0）或（8，0） （3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°；理由见解析
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b，得到点A、B、C的坐标，根据坐标与图形性质判断AO和BC位置关系；（2）过B点作BE⊥AO于E，根据三角形的面积公式求出AP，得到点P的坐标；
（3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．
【解析】解：（1）∵，∴a＋8＝0，b＋4＝0，解得，a＝−8，b＝−4，
则A（−8，0），B（−4，−4），C（0，−4），
∵点B的坐标为（−4，−4），点C的坐标为（0，−4），∴BC∥AO，
故答案为：（−8，0），（−4，−4），BC∥AO；
（2）过B点作BE⊥AO于E，设时间经过t秒，S△PAB＝4S△QBC，则AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC＝4，
①当点Q在点C的上方时，CQ＝4﹣t，
∴S△APB＝AP•BE＝×2t×4＝4t，S△BCQ＝CQ•BC＝（4−t）×4＝8−2t，
∵S△APB＝4S△BCQ，∴4t＝4（8﹣2t）
解得，t＝ ，∴AP＝2t＝ ，∴OP＝OA﹣AP＝ ，∴点P的坐标为（，0）；
②当点Q在点C的下方时，CQ＝t﹣4，∴S△BCQ′＝2t－8∴4t＝4（2t﹣8）
解得，t＝8，∴AP＝2t＝16，∴OP＝AP﹣OA＝8，∴点P的坐标为（8，0），
综上所述，点P的坐标为（，0）或（8，0）；

（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．
理由如下：①当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，∴∠OPQ＝∠PQH，
∵BC∥AO，QH∥AO，∴QH∥BC，∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠OPQ＋∠CBQ＝∠PQH＋∠BQH，∴∠PQB＝∠OPQ＋∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ＋30°；
②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO 如图3所示，∴∠OPQ＝∠PQJ，
∵BC∥AO，QH∥AO，∴QH∥BC，∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠HQB＋∠BQP＋∠PQJ＝180°，∴30°＋∠BQP＋∠OPQ＝180°，即∠BQP＋∠OPQ＝150°，
综上所述，∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
5．（2022·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）如图长方形OABC的位置如图所示，点B的坐标为（8，4），点P从点C出发向点O移动，速度为每秒1个单位；点Q同时从点O出发向点A移动，速度为每秒2个单位；

(1)请写出点A、C的坐标；(2)几秒后，P、Q两点与原点距离相等．(3)在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积有何变化，说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4）
(2)经过秒，P、Q两点与原点距离相等
(3)在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积不会变化，为16，理由见解析
【分析】（1）根据点B的坐标进行求解即可；
（2）设运动时间为t，分别表示出OP和OQ的长，据此建立方程求解即可；
（3）根据进行求解即可．
（1）解：∵四边形OABC为长方形，点B的坐标为（8，4），
∴OA=BC=8，OC=AB=4，
∴点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4）；
（2）解：设运动时间为t，则，∴，
∵P、Q两点与原点距离相等，∴，∴，解得，
∴经过秒，P、Q两点与原点距离相等；
（3）解：在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积不会变化，为16，理由如下：
由（2）可得，
∴，
∴在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积不会变化．
【点睛】本题主要考查坐标与图形，一元一次方程的应用，正确理解题意求出OC和OA的长是解题的关键．
6．（2022·广东·九年级）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．

(1)以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 　 　；
(2)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形，则的坐标为 　 　，长方形的面积为 　 　；
(3)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形的面积 　 　（线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形的面积是三角形的3倍？
【答案】(1)（10，6）(2)（14，6），36 (3)（﹣12t+60）或（12t﹣60），t＝2
【分析】（1）根据长方形的性质，坐标的确定方法求解即可．
（2）运动2秒相当于图形向右平移4cm，确定坐标即可，计算出的长度，计算面积即可．
（3）分0≤t≤5和t＞5两种情况计算即可．
(1)∵AB＝10cm，BC＝6cm，∴C的坐标为（10，6），故答案为：（10，6）．
(2)∵长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒，

∴点C向右平移4cm，
∵C（10，6），∴（14，6），故答案为：（14，6）．
∵AB＝10，＝4，∴＝6，∴长方形的面积为36（）．故答案为：36．
(3)当t≤5时，如图：

∵＝AB﹣＝10﹣2t，∴长方形的面积为6×（10﹣2t）＝﹣12t+60（），
当t＞5时，如图：

∵＝﹣AB＝2t﹣10，∴长方形的面积为6×（2t﹣10）＝12t﹣60（），
故答案为：（﹣12t+60）或（12t﹣60）；
当t≤5时，如图：

长方形的面积为﹣12t+60，
△面积的3倍为，
由题意得：﹣12t+60＝18t，解得t＝2；
当t＞5时，如图：

同理可得：12t﹣60＝18t，解得t＝﹣10（舍去），∴t＝2．
【点睛】本题考查直角坐标系，涉及长方形形性质，三角形面积等，解题的关键是画出图形，用含t的代数式表示相关线段的长度．