数学必修 第二册6.2 平面向量的运算课时训练

课后强化训练5  向量的数量积

1．若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a·b等于(　　)

A．－3   B．－6

C．6   D．2

2．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　)

A．直角梯形   B．菱形

C．矩形   D．正方形

3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　　)

A．100 J   B．50 J

C．50 J  D．200 J

4．(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是(　　)

A．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2

B．|a·b|＝|a||b|

C．λ(a＋b)＝λa＋λb

D．|a·b|≤|a||b|

5．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于(　　)

A．－   B. 

C．－   D.

6．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　)

A．3   B. 

C．2   D.

7．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________．

8．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．

9.如图，已知△ABC是等边三角形．

(1)求向量与向量的夹角；

(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．

10.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.

(1)若＝，求x，y的值；

(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．

11．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．向量a在向量b上的投影向量可表示为·

B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是

C．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60°

D．若a·b＝0，则a⊥b

12．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　)

A．－7  B．7  C．25  D．－25

13．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)

A．8   B．－8

C．8或－8   D．6

14．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________________，·＝________________.

15．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．

16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.

(1)若点D是线段OB上靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；

(2)求·的取值范围．

参考答案

1．B　2.C　3.B　4.ACD　5.A　6.B

7.

8.b

解析　设a与b的夹角为θ，

∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，

又|b|＝5，

∴|a|cos θ＝，＝，

即a在b上的投影向量为b.

9．解　(1)∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝60°.

如图，延长AB至点D，使BD＝AB，

则＝，

∴∠DBC为向量与的夹角．

∵∠DBC＝120°，

∴向量与的夹角为120°.

(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，

∴与的夹角为90°.

10．解　(1)若＝，

则＝＋，

故x＝y＝.

(2)因为||＝4，||＝2，

∠BOA＝60°，

所以∠OBA＝90°，

所以||＝2.

又因为＝3，

所以||＝.

所以||＝

＝，cos∠OPB＝.

设与的夹角为θ，

所以与的夹角θ的余弦值为－.

所以·＝||||cos θ＝－3.

11．AB　[对于选项A，根据投影向量的定义，知A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，

又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，若△ABC是等边三角形，则，的夹角为120°，故C错误；对于选项D，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．]

12．D　13.A

14．等边三角形　－8

解析　·＝

||||cos∠BAC，

即8＝4×4cos∠BAC，

于是cos∠BAC＝，

因为0°<∠BAC<180°，

所以∠BAC＝60°.

又AB＝AC，

故△ABC是等边三角形．

此时·＝||||cos 120°＝－8.

15．90°

解析　由题意可画出图形，如图所示，

在△OAB中，

因为∠OAB＝60°，

|b|＝2|a|，

所以∠ABO＝30°，

OA⊥OB，

即向量a与c的夹角为90°.

16．解　(1)由已知可得＝，连接MA，MB(图略)，

四边形OAMB是菱形，则＝＋，

所以＝－＝－(＋)＝－－.

(2)易知∠DMC＝60°，且||＝||，

那么只需求MC的最大值与最小值即可．

当MC⊥OA时，MC最小，

此时MC＝，

则·＝××cos 60°＝.

当MC与MO重合时，MC最大，

此时MC＝1，

则·＝cos 60°＝.

所以·的取值范围为.