三年（2021-2023）高考数学真题专项06立体几何（解答题）（理）含答案

  专题06 立体几何（解答题）（理）

知识点目录

知识点1：线面角

知识点2：二面角

知识点3：距离问题

知识点4：立体几何存在性问题

近三年高考真题

知识点1：线面角

1．（2023•甲卷（理））在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为1．

（1）求证：；

（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．

2．（2022•浙江）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

3．（2022•甲卷（理））在四棱锥中，底面，，，，．

（1）证明：；

（2）求与平面所成的角的正弦值．

4．（2022•北京）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

5．（2022•乙卷（理））如图，四面体中，，，，为的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

6．（2021•上海）如图，在长方体中，已知，．

（1）若是棱上的动点，求三棱锥的体积；

（2）求直线与平面的夹角大小．

7．（2021•浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

知识点2：二面角

8．（2023•北京）如图，四面体中，，，平面．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

9．（2023•乙卷（理））如图，在三棱锥中，，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，．

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面；

（3）求二面角的正弦值．

10．（2022•天津）直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面的正弦值；

（3）求平面与平面夹角的余弦值．

11．（2023•上海）已知直四棱柱，，，，，．

（1）证明：直线平面；

（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小．

12．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥中，，，，为中点．

（1）证明；

（2）点满足，求二面角的正弦值．

13．（2022•新高考Ⅱ）如图，是三棱锥的高，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

14．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为．

（1）求到平面的距离；

（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

15．（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的正弦值．

16．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

17．（2021•乙卷（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．

（1）求；

（2）求二面角的正弦值．

18．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

知识点3：距离问题

19．（2023•天津）在三棱台中，若平面，，，，，分别为，中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

知识点4：立体几何存在性问题

20．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．

（1）证明：；

（2）点在棱上，当二面角为时，求．

21．（2021•北京）如图，在正方体，为的中点，交平面交于点．

（Ⅰ）求证：为的中点；

（Ⅱ）若点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．