三年（2021-2023）高考数学真题专项06立体几何（解答题）（理）含答案

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  专题06 立体几何（解答题）（理）知识点目录知识点1：线面角知识点2：二面角知识点3：距离问题知识点4：立体几何存在性问题 近三年高考真题知识点1：线面角1．（2023•甲卷（理））在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为1．（1）求证：；（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．    2．（2022•浙江）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．    3．（2022•甲卷（理））在四棱锥中，底面，，，，．（1）证明：；（2）求与平面所成的角的正弦值．    4．（2022•北京）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．    5．（2022•乙卷（理））如图，四面体中，，，，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．    6．（2021•上海）如图，在长方体中，已知，．（1）若是棱上的动点，求三棱锥的体积；（2）求直线与平面的夹角大小．    7．（2021•浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．    知识点2：二面角8．（2023•北京）如图，四面体中，，，平面．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．    9．（2023•乙卷（理））如图，在三棱锥中，，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的正弦值．    10．（2022•天津）直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值．    11．（2023•上海）已知直四棱柱，，，，，．（1）证明：直线平面；（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小．    12．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥中，，，，为中点．（1）证明；（2）点满足，求二面角的正弦值．    13．（2022•新高考Ⅱ）如图，是三棱锥的高，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值．    14．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为．（1）求到平面的距离；（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．    15．（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值．    16．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．    17．（2021•乙卷（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．    18．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．    知识点3：距离问题19．（2023•天津）在三棱台中，若平面，，，，，分别为，中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离．    知识点4：立体几何存在性问题20．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．（1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求．    21．（2021•北京）如图，在正方体，为的中点，交平面交于点．（Ⅰ）求证：为的中点；（Ⅱ）若点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．