2022-2023学年辽宁省部分学校联考高二（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2022-2023学年辽宁省部分学校联考高二（下）月考数学试卷（4月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知数列的通项公式是，则下列各数是中的项的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某种产品的广告费用单位：万元与销售额单位：万元之间的关系如表：

若与的回归直线方程为，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知直线：与圆：交于，两点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一小球做简谐振动，其运动方程为，其中单位：是小球相对于平衡位置的距离，单位：为运动时间，则小球第二次回到平衡位置时的速度是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  明代朱载堉发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音八度分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同已知大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟的波长成等比数列，且大吕和林钟的波长分别是，，则夹钟和南吕的波长之积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某校环保小组共有名成员，该环保小组计划前往该市个不同的景区开展环保活动，要求每个景区至少有人，且每个人只能去一个景区，则不同的分配方案有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

7.  过原点且与函数图像相切的直线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在正四棱锥中，，在棱上，在直线上，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列求导正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则

10.  如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则下列结论错误的为(    )

A. 是正三棱锥
B. 直线平面
C. 直线与所成的角是
D. 二面角为

11.  已知抛物线：，其准线为，焦点为，过点作两条互相垂直的直线和，设交抛物线于，两点，交抛物线于，两点，为坐标原点，则(    )

A. 为定值 B. 延长交准线于点，则轴
C.  D. 四边形面积的最小值为

12.  设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是(    )

A.
B. 若数列的前项和为，则
C. 是递减数列
D. 若对任意的，恒成立，则的取值范围是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  的展开式中，的系数是______用数字填写答案

14.  某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于分为优秀若该校有名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______ ．

15.  设等差数列，的前项和分别为，，且，则 ______ ．

16.  已知是函数图象上的任意一点，是直线上的动点，则，之间的最短距离是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
被赞誉为“波士顿比利”的美国知名跑者比尔罗杰斯曾经说过：“跑步是全世界最棒的运动”坚持跑步可以增强体质、提高免疫力、改善精神状态某数学兴趣小组从某地大学生中随机抽取人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如表所示．

分别估计该地男、女大学生喜欢跑步的概率；
能否有的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关？
参考公式：，其中．
参考数据：

18.  本小题分
如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面．
证明：平面平面．
若，，在棱上，且，求与平面所成角的正弦值．

19.  本小题分
设数列的前项和为，已知，．
证明：数列是等比数列；
设，求数列的前项和为．

20.  本小题分
某商场采用派发抵用券的方式刺激消费，设计了两个抽奖方案方案一：客户一次性抛掷两个质地均匀的骰子，若点数之积为，获得元的抵用券，若点数相同，获得元的抵用券，其他情况获得元的抵用券方案二：盒子中有编号为，，，的小球各一个除编号外其他均相同，客户从中有放回地摸球两次，若两次摸球的编号相同，获得元的抵用券，若两次摸球的编号之和为奇数，获得元的抵用券，其他情况获得元的抵用券．
若客户甲从两个方案中随机选择一个抽奖，求甲能获得不低于元抵用券的概率；
客户乙选择方案二的抽奖方式，记乙获得的抵用券金额为，若，求的取值范围．

21.  本小题分
已知椭圆：的离心率是，是椭圆上一点．
求椭圆的标准方程；
过点的直线与椭圆交于，异于点两点，直线，的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

22.  本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列；
设数列满足，求最小的实数，使得对一切正整数均成立．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：对于，，解得，不是正整数，故A错误；
对于，，解得，，均不是正整数，故B错误；
对于，，解得，不是正整数，故C错误，
对于，，解得或，
故数列的第项为．
故选：．
依次将选项中的代入，解出的值，即可求解．
本题主要考查数列的函数特性，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，，
得样本中心为，代入回归直线方程，即，
解得．
故选：．
根据表格的数据求得样本中心为，代入回归直线方程，即可求解．
难题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为圆：的圆心为，半径，
且圆心到直线：的距离，
所以．
故选：．
先求圆的圆心和半径，再用点到直线的距离公式求点到直线的距离，再利用弦长公式求．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：令，可得，解得，
因为，，所以当时，小球第二次回到平衡位置，此时，
又因为，所以，
则小球第二次回到平衡位置时的速度是．
故选：．
根据题意求得函数的解析式，求得，进而求得小球第二次回到平衡位置时的速度，得到答案．
本题考查了三角函数的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设该等比数列的公比为，则，即，
则夹钟和南吕的波长分别为，，
故夹钟和南吕的波长之积为．
故选：．
由等比数列的第一项和第四项用通项公式可求出公比，进而求出第二项和第五项可得答案．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：第一步：将名成员分成组，按照，，的方式来分，有种分配方案；
按照，，的方式来分，有种分配方案，
第二步：将组成员分配到个不同的景区开展环保活动，共有种分配方案，
故符合要求的分配方案有种，
故选：．
将名成员分成组，考虑每组的人数情况有，，和，，两种分组方法，再将组成员分配到个不同的景区开展环保活动，根据分步乘法计数原理可得答案．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，
设所求切线的切点为，则，
则，解得，即切线斜率为，
故所求切线方程为．
故选：．
由题意得，先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率，即可得出答案．
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所以，连接，，记，连接，
由正四棱锥的性质可知，，两两垂直，
则分别以，，的方向为轴、轴和轴轴的正方向，建系如图，
根据题意可得：，，，，
则，，
设，则，
从而，
故点到直线的距离，
即的最小值是．
故选：．
以为原点，分别以，，的方向为轴、轴和轴轴的正方向建立的空间直角坐标系，设和，求得点到直线的距离的表达式，进而求得最小值．
本题考查空间中距离的最值的求解，向量法应用，化归转化思想，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，若，则，故A正确；
对于，若，则，故B错误；
对于，若，则，故C正确；
对于，若，则，故D错误．
故选：．
根据基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，简单复合函数的导数对选项逐一分析即可得到答案．
本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，如图所示：

为等边三角形，
又、、两两垂直，面，．
过作底面的垂线，垂足为，连接交于，
由三垂线定理可知，为中点，
同理可证，连接交于，则为中点，
为底面中心，是正三棱锥，故A正确；
对于，将正四面体放入正方体中，如图所示，

显然与平面不平行．则选项错误；
对于，和成的角，即为和成的角，
即，故C正确；
对于，如图，没的中点为，连接，，

则根据题意可知，，
即为二面角的平面角，
设正四面体的棱长为，
则易证，，
，
，选项错误．
故选：．
根据正三棱锥的概念，线面平行的判定定理，异面直线所成角的概念，二面角的概念，即可分别求解．
本题考查正三棱锥的概念，线面平行的判定定理，异面直线所成角的概念，二面角的概念，化归转化思想，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由抛物线：可得准线为，焦点为，
设直线，代入抛物线：，得到，
设，，
则，，，，
对于中，由，为定值，所以选项正确；
对于中，由得，则，所以选项正确；
对于中，由，，可得
，故C选项错误；
对于中，设直线的倾斜角为，可得，即，
由选项可得，
所以，
因为，则直线的倾斜角为或，
同理可得，
所以，
当且仅时，等号成立，所以选项正确．
故选：．
设直线，联立方程组求得，及，，结合向量的数量积的运算，可判定选项正确；由，可判定选项正确；由，，化简可判定选项错误；设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为或，结合抛物线的性质得到，利用基本不等式，可判定符合题意．
本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，则A正确；
因为，
所以，
所以，
所以，
即，即，
即，则，故B正确；
因为，
所以，
所以，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，
即，故C错误；
由数列的单调性可知，
因为对任意的，恒成立，
所以，
所以，即，
解得或，则D正确．
故选：．
由判断；利用错位相减得，从而即可判断；通过对的正负的判断从而判断；由的单调性可得，求解即可判断．
本题考查数列的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查二项展开式的通项公式，属于基础题．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得的系数．
【解答】
解：的展开式的通项公式为，
令，求得，
可得的系数为，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：由，得正态分布曲线的对称轴为，
因为，所以，
则数学成绩为优秀的人数是．
故答案为：．
由已知结合正态分布曲线的对称性得，乘以总人数即可得出答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：等差数列，的前项和分别为，，
所以．
故答案为：．
根据给定条件，利用等差数列性质化简计算作答．
本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，且以点为切点的直线与直线平行，
则由题意可得，
得，解得或舍去．
则，之间的最短距离为点到直线的距离，
．
故答案为：．
设，且以点为切点的直线与直线平行，再利用导数的几何意义及点到直线的距离公式求解即可．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：由题意可得样本中女大学生有人，则女大学生喜欢跑步的频率是，
故该地女大学生喜欢跑步的概率是，
由题意可知样本中喜欢跑步的男大学生有人，则男大学生喜欢跑步的频率是，
故该地男大学生喜欢跑步的概率是；
由题意可得，
查表可得，
由于，所以有的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关． 

【解析】由表格可得男女生中喜欢跑步的人数，继而可求对应概率；
由数据计算卡方，参照卡方表即可判定结果．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立性检验的应用，属于基础题．
 

18.【答案】证明：由四边形为矩形，可得，
因为底面，且平面，所以．
又因为，且，平面，所以平面，
又由平面，所以平面平面．
解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，可得面的法向量，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成的角的正弦值为． 

【解析】根据题意得到，由底面，证得，进而证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面．
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面与平面垂直的证明，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：因为，
所以，
所以，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
由可得，则，
所以，
故，
当时，，
则，
则，
所以． 

【解析】根据与的关系可推出，进而即可证明数列是等比数列；
结合可得可得的通项公式，从而可求得，，，进而即可求得．
本题考查等比数列的定义与通项公式的应用，等差数列的求和公式的应用，化归转化思想，属中档题．
 

20.【答案】解：若客户选择方案一，则能获得不低于元抵用券的概率为，
若客户选择方案二，则能获得不低于元抵用券的概率为，
故甲从两个方案中随机选择一个抽奖，能获得不低于元抵用券的概率为；
由题可知的取值可能为，，，
又，，，
则，
由，解得．
又，
所以的取值范围为． 

【解析】计算出每种方案能获得不低于元抵用券的概率，即可求得答案；
确定的可能取值，求出每个值对应的概率，根据，即可求得答案．
本题考查古典概型的概率公式的应用，离散型随机变量的期望，不等式思想，属中档题．
 

21.【答案】解：设椭圆的焦距为，
由题意可得，解得，，
故椭圆的标准方程为：；
由题意可知直线的斜率不为，设直线：，，，
联立，整理得，
则，，，
因为，所以，，
所以，
故为定值，该定值为． 

【解析】由已知椭圆的离心率是，又过点，可得，直接解得，，即可得到椭圆的标准方程；
由直线过点，可设直线方程为：，，，联立方程组，由韦达定理可得，，又，得，，再代入化简即可求解．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
 

22.【答案】解：证明：因为，
所以．
又，
所以数列是一个首项为，公比为的等比数列．
由知，当为偶数时，，
当为奇数时，，
故

，
当时，，
则，
所以的最小值为． 

【解析】根据题意，将递推公式代入即可证明；
根据题意和的结论，利用分组求和法求得，然后利用不等式的性质即可求解．
本题考查数列递推关系的运用以及数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．