2022-2023学年广东省重点学校三校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省重点学校三校联考高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  的展开式中的常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  要得到函数的图象，只需把函数的图象(    )

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

5.  如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不颜色可供选用，
则不同的涂色方案数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知双曲线的左、右焦点分别为，，设点为右支上一点，点到直线的距离为，过的直线与双曲线的右支有两个交点，则下列说法正确的是(    )

A. 的最小值为
B.
C. 直线的斜率的取值范围是
D. 的内切圆圆心到轴的距离为

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

8.  已知向量，满足，，，则， ______ ．

9.  在正四棱台中，上、下底面边长分别为，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的高为______ ．

10.  已知抛物线，焦点为，过定点且斜率大于的直线交抛物线于，两点，，线段的中点为，则直线的斜率的最小值为______ ．

11.  对，，函数都满足：；；；则 ______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

12.  本小题分
已知锐角中，角、、所对的边分别为、、；且．
若角，求角；
若，求的最大值．

13.  本小题分
如图，三棱柱中，，是的中点，．
证明：平面；
若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积．

14.  本小题分
正数数列，满足，，且，，成等差数列，，，成等比数列．
求，的通项公式；
求证：．

15.  本小题分
在世界杯期间，学校组织了世界杯足球知识竞赛，有单项选择题和多项选择题都是四个选项两种：
甲在知识竞赛中，如果不会单项选择题那么就随机猜测已知甲会单项选择题和甲不会单项选择题随机猜测的概率分别是问甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他会这道单项选择题的概率；
甲在做某多项选择题时，完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，他选择一个选项、两个选项、二个选项的概率分别为，，已知多项选择题每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得分，部分选对得分，有选择错误的得分某个多项选择题有三个选项是正确的，记甲做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望．

16.  本小题分
已知椭圆：的离心率为分别为椭圆的左右顶点，，分别为椭圆的左右焦点，是椭圆的上顶点，且的外接圆半径为．
求椭圆的方程；
设与轴不垂直的直线交椭圆于，两点在轴的两侧，记直线，，，的斜率分别为，，，．
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)若，则求的面积的取值范围．

17.  本小题分
已知函数，，其中，．
当时，求函数的最大值；
是否存在实数，使得只有唯一的，当时，恒成立，若存在，试求出，的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由集合，，
所以．
故选：．
先求得，结合集合的交集的概念及运算，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由足，得，
．
则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：展开式的通项公式为，
令，解得，
则展开式的常数项为，
故选：．
求出展开式的通项公式，令的指数为，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
即只需把函数的图象向右平移个单位长度，即可得到的图象．
故选：．
利用辅助角公式进行化简，根据函数角的关系进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象变换，先利用辅助角公式进行化简，然后利用角的关系进行求解是解决本题的关键，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
首先涂一个陕西，有种结果，再涂湖北省，有种结果，
第二步涂安徽，分类若安徽与陕西同此时江西有三种，再湖南有三种，即
若安徽与陕西不同，则安徽有三种涂法，江西，湖南也各有三种涂法，即
共有
故选：．
本题是一个分步计数问题，首先涂一个陕西，有种结果，再涂湖北省，有种结果，第二步涂安徽，分类若安徽与陕西同此时江西有三种，再湖南有三种，若安徽与陕西不同，则安徽有三种涂法，江西，湖南也各有三种涂法，根据计数原理得到结果．
本题考查分步计数原理，对于计数原理的应用，解题的关键是分清事情分成几部分，注意做到不重不漏．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
设，
，
令得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
因为，
所以，
所以，
所以，
，
，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：．
根据题意可得，，设，求导分析单调性，进而可得与的大小关系，又，，，可得与的大小关系，即可得出答案．
本题考查数的大小关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：：由题设及下图知：当与右顶点重合时，最小为，错；
：令且，则，错；
：由渐近线方程为，过的直线与双曲线的右支有两个交点，
结合图知：直线的斜率的取值范围为，错；
：若内切圆与三边相切于，，，如下图，则，，，
又，即，
由，，即与右顶点重合，易知的内切圆圆心到轴的距离为，对．
故选：．
数形结合判断；令且，应用两点距离、点线距离及点在双曲线上列式化简判断；结合双曲线渐近线及直线与双曲线交点情况确定直线斜率范围判断；利用双曲线定义及内切圆性质确定圆心横坐标，即为双曲线右顶点横坐标判断．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
故答案为：．
利用求解．
本题考查了利用向量的数量积求向量的模及夹角，属于基础题．
 

9.【答案】或 

【解析】解：设正四棱台的外接球的半径为，则，解得，
连接，相交于点，连接，相交于点，连接，
则球心在直线上，连接，，
如图，当球心在线段上时，

则，
因为上、下底面边长分别为，
所以，，
由勾股定理得，，
此时该正四棱台的高为，
如图，当球心在的延长线上时，

同理可得，，
此时该正四棱台的高为．
故答案为：或．
求出外接球半径，找到球心的位置，分球心在线段上和在的延长线上两种情况，求出高．
本题考查棱台的结构特征，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：设直线的方程为，，，
代入抛物线方程可得，，，
，
，，，，
，，，，，
由，可得抛物线的焦点为，
，
当且仅当，即时取等号，
故直线的斜率的最小值为．
故答案为：．
设直线的方程为，，，利用，可求，进而可得焦点坐标，可得，可求最小值．
本题考查抛物线几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意，有，，，又，所以，，
所以，有，，，又，所以，，
所以当，，即，
又，所以，所以，所以．
故答案为：．
对函数的变量进行转化，先得出的表达式，再得出的表达式，进而得出的表达式．
本题主要考查递推数列，属于中档题．
 

12.【答案】解：，
，
即，
，
，
，即，
又，，，则，
；
由得，则，
由正弦定理得，
，
，
由正弦定理得，
则，
，
，
，
，
为锐角三角形，且，
，
，
，
当时，取得最大值，
故的最大值为． 

【解析】运用两角和差的正余弦公式进行化简即可；
根据中结论运用正弦定理得到，然后等量代换出，再利用降次公式化简，结合内角取值范围及求解．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】证明：，是的中点，，
，，平面，
又平面，，
，是的中点，，
，且，平面；
解：由知，，，，
平面，
，，取的中点，连接，，
可得，平面即为平面，
又平面，平面平面，
过点作于点，则平面，可得，
在三棱柱中，四边形为平行四边形，，
，，可得，则，
又，．
平面，． 

【解析】由已知得，结合，得平面，进一步得到，再说明，即可证明平面；
由知平面，证明平面平面，过点作于点，可得，进一步求得所用边长，结合平面，再由等体积法求三棱锥的体积．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
 

14.【答案】解：，，成等差数列，，，成等比数列，
，，
数列，为正数数列，
，
当时，，
，
，
，，
，，
，，，
数列时以为首项，为公差的等差数列，
，，
当时，；
当时，满足上式，．
证明：，
当时，；
当时，；
当时，

，
综上所述，对一切正整数，有． 

【解析】由条件可得，，由两式化简可求得，；
通过放缩法得，再由裂项相消法和放缩法即可证明．
本题考查求数列的通项公式和前项和、放缩法证明不等式成立，属于中档题．
 

15.【答案】解：记事件为“该单项选择题回答正确”，事件为“甲会该单项选择题”，
因为，
所以，
甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，会这道单项选择题的概率是．
由题意知：所有可能的取值为，，，
设事件表示甲选择了个选项，事件表示选择的选项是正确的，
所以，
，
，
所以随机变量的分布列为：

所以期望为． 

【解析】记事件为“该单项选择题回答正确”，事件为“甲会该单项选择题”，根据独立事件和互斥事件的概率公式，求得，结合条件概率的公式，即可求解．
由题意得到所有可能的取值为，，，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解．
本题主要考查条件概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】解：已知椭圆的离心率为，
所以，
即，
所以，，，
又，且外接圆半径为，
所以，
解得，
所以椭圆的方程为；
取的中点为，连接，
因为是的中位线，
所以，
设，，
代入椭圆方程中，
由点差法可得，
(ⅱ)因为，在轴的两侧，
若直线平行轴，
此时，不满足条件；
若直线斜率存在，
设直线为，
联立，消去并整理得
，
此时，
由韦达定理得，，
由(ⅰ)知，
同理可得，
所以，
因为，
所以，
由韦达定理可得，
解得或，
又，在轴的两侧，
所以，
解得，
所以，
即直线恒过，
此时，
令，，
则，
故的面积的取值范围为 

【解析】由题意，结合离心率公式和正弦定理列出等式即可求出椭圆的方程；
取的中点为，连接，易得，设，，代入椭圆方程中，利用点差法即可求出的值；
(ⅱ)因为，在轴的两侧，对直线平行轴和直线斜率存在分别进行讨论，设直线为，将直线方程与椭圆方程联立，结合(ⅰ)中所求得到的表达式，结合韦达定理以及，在轴的两侧，求出的值，得到直线恒过，代入三角形面积公式中，利用换元法再进行求解即可．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
 

17.【答案】解：当时，，
由，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，．
当时，恒成立，等价于：当时，恒成立，
，，
当时，，，在上单调递增，
要使得恒成立，只需即可，
得，此时不唯一，舍去；
当时，可得，单调递增，
当，单调递减，
若时，，，满足，此时不唯一舍去，
若时，，，由零点存在性定理得，，且，
当时，与题意矛盾舍去，
当时，在上单调递增，只需，此时不唯一，
当时，，单调递增；，单调递减，
要使恒成立，且唯一，
只需，所以，
令，
，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得，符合题意，
综上所述，存在实数，使得只有唯一的，当时，恒成立，，． 

【解析】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于难题．
当时，，求导分析单调性，即可得出答案．
当时，恒成立，等价于：当时，恒成立，，，分三种情况：当时，当时，当时，即可解得，的值．