2023年河南省平顶山市中考数学二调试卷（含解析）

2023年河南省平顶山市中考数学二调试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  用正负数表示相反意义的量，在生活中有着广泛的应用若零上记作，则零下可记作(    )

A.  B.  C.  D.

2.  河南省文旅厅官方网站显示，年“五一”假期，郑汴洛等城市旅游出现“爆棚式”增长全省接待游客达万人次，位居全国第一，旅游收入超亿，位居全国前三名将数据“万”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  为纪念五四青年节，某校举办了主题为“践行青年使命，谱写青春华章”的诗歌朗诵比赛，小明作为记录员，根据七位评委对某位选手所打的分数制作了如下的表格：

如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

7.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

8.  下列选项中，菱形与正方形都具有的性质是(    )

A. 四个角相等
B. 两条对角线相等
C. 四条边相等
D. 两条对角线把图形分成四个等腰直角三角形

9.  如图，在中，已知，，点为的中点，过点作轴，垂足为将向右平移，当点的对应点落在边上时，点的对应点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度物质的溶解度会随温度的变化而变化已知硝酸钾和氯化钾在水中的溶解度与温度的关系如图所示，溶液浓度的计算方法如图，下列说法错误的是(    )

A. 硝酸钾的溶解度随温度变化的情况比氯化钾明显
B. 当时，硝酸钾的溶解度等于氯化钾的溶解度
C. 当时，硝酸钾加入水中得到的溶液浓度为
D. 当时，氯化钾加入水中得到的是饱和氯化钾溶液

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请写出一个绝对值大于的负无理数______ ．

12.  不等式组的解集是______ ．

13.  不透明的布袋中有红、黄、蓝种只是颜色不同的钢笔各支，先从中摸出支，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出支，记录下颜色，那么这两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的概率为______ ．

14.  如图，湖的旁边有一建筑物，某数学兴趣小组决定测量它的高度他们首先在点处测得建筑物最高点的仰角为，然后沿方向前进米到达处，又测得点的仰角为请你帮助该小组同学，计算建筑物的高度约为______ 米结果精确到米，参考数据

15.  如图，在矩形中，点为边上一点，且，，连接，将绕点逆时针旋转，当点的对应点落在直线上时，点的运动路径的长为______ 结果保留

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．
化简：．

17.  本小题分
某地政府为了旅游宣传，决定从甲、乙两家民宿中推选一家为“最美民宿”进行线上推广现从两家的顾客中各随机抽取名，进行满意度调查打分满分分，只打整数分，并对分数整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
(ⅰ)甲民宿名顾客的满意度分数为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
(ⅱ)甲、乙两家民宿的满意度分数的平均数、众数、中位数、分及分以上人数所占百分比如下表所示：

(ⅲ)乙民宿名顾客的满意度分数条形统计图如图：

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述表中的，，的值；
五一假期期间，共有人入住甲民宿，人入住乙民宿，估计入住两家民宿的顾客能打分及分以上的人数共有多少人？
根据以上信息，你会选择哪一家为“最美民宿”？请说明理由写出两条理由即可

18.  本小题分
如图，已知一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
求一次函数和反比例函数的解析式；
点为轴上一动点，且的值最小．
画出点的位置，并直接写出点的坐标；
求出此时的面积．

19.  本小题分
阅读材料：北师大版七年级下册教材页为大家介绍了杨辉三角．

应用规律：
直接写出的展开式， ______ ；
的展开式中共有______ 项，所有项的系数和为______ ；
代数推理：
已知为整数，求证：能被整除．

20.  本小题分
某中学为弘扬中国传统文化，深度开展“读名著，诵经典”活动，计划采购，两类图书通过市场调研，每套种图书的价格是每套种图书价格的倍，用元购买的种图书比用元购买的种图书多套．
，两种图书每套价格分别为多少元？
现学校计划采购，两类图书共套，且种图书数量不低于种图书数量的一半，请你用函数的知识说明，如何采购能使总费用最低？并求出最低费用时的购买方案．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，已知点坐标为，且，连接．
求抛物线的解析式，并直接写出其顶点的坐标；
将线段向右水平移动个单位长度，若它与抛物线有交点，求出的取值范围．

22.  本小题分
提出问题：古希腊数学家欧几里得约公元前公元前，被称为“几何学之父”在其所著的几何原本中，包含了条公理、条公设、个定义和个命题，即先提出公理、公设和定义，再由简到繁予以证明，并在此基础上形成了欧式几何学体系几何原本第卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积如图，上述结论可表示为，你能说明其中的道理吗？
探索问题：小明在探究的过程中发现，线段的位置有两种情况，即过圆心和不过圆心．
如图，当经过圆心时，小明同学进行了如下推理：连接，易得，又，所以∽，可得对应边成比例，进而可知，当经过圆心时，得当不经过圆心时，请补全下列推理过程．
已知：如图，为的切线，为切点，与相交于，两点，连接，．
求证：．
证明：______ ．
解决问题：如图，已知为的直径，为延长线上一点，切于点，连接，若
，，请直接写出的长．

 

23.  本小题分
在边长为的正方形中，点是射线上一动点点不与，重合，与相交于点，射线与射线相交于点，是的中点，连接，．
如图，当点在中点时，判断：与的位置关系为______ ；
如图，当点在的延长线上时，中的结论是否仍然成立？请给出证明；
在点运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若零上记作，则零下应记作，
故选：．
根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
本题考查了正数和负数，确定相反意义的量是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
将一个数表示成，其中，为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：由折叠的性质得到：，
，
，
，
．
故选：．
由折叠的性质得到，由平角定义求出，由，得到．
本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由折叠的性质求出的度数．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：．
根据平方差公式、完全平方公式及整式的加减法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是平方差公式、完全平方公式及整式的加减法则，熟知以上知识是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意知，剪掉小正方形或或阴影部分能折叠成一个正方体，剪掉小正方形阴影部分不能折叠成一个正方体，
故选：．
根据正方体的展开图得出结论即可．
本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：．
根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
此题主要考查了中位数，解题的关键是了解中位数、众数、平均数及方差的定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选A．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：菱形的四条边相等，四个角不一定相等，故A不合题意．
菱形的两条对角线互相垂直，但不相等，且把图形分成四个直角三角形，故B、不合题意．
正方形的四条边相等，故C符合题意．
故选：．
根据菱形和正方形的性质即可解答．
本题考查正方形和菱形的性质，熟悉性质是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，点为的中点，
，，
，
，
，，
点的坐标为，
将向右平移，当点的对应点落在边上时，点的对应点，
如图，作轴于点，

，
，
，
将是向右平移了个单位长度，
点的对应点的坐标为
故选：．
根据等腰三角形和含的直角三角形的性质得点的坐标为，作轴于点，则，所以，所以，可知将是向右平移了个单位长度，根据平移法则即可求出答案．
本题考查了坐标与图形变化平移，等腰三角形的性质，关键是求出的坐标和掌握平移法则．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知：
A.硝酸钾的溶解度随温度变化的情况比氯化钾明显，
故选项A说法正确，不符合题意；
B.当时，硝酸钾的溶解度等于氯化钾的溶解度，
故选项B说法正确，不符合题意；
C.当时，硝酸钾加入水中得到的溶液浓度为，
故选项C说法错，符合题意；
D.当时，氯化钾加入水中得到的是饱和氯化钾溶液，
故选项D说法正确，不符合题意．
故选：．
根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．
本题主要考查了函数的图象，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：答案不唯一．
运用实数的绝对值知识和大小比较方法进行求解．
此题考查了实数绝对值的应用和大小比较的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
 

12.【答案】 

【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果，两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的结果有种，
两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，
建筑物的高度约为米，
故答案为：．
根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：矩形中，，
在中，，，
，
将绕点逆时针旋转得到，当点落在线段上时，，

，
的长为；
当点落在线段的延长线上时，

，
，
的长为，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
在中，由勾股定理得到：，再由题意分类讨论：当点落在线段上时、当点落在线段的延长线上时，分别求出的长即可．
本题考查了轨迹、矩形的性质、弧长的计算以及旋转的性质，解答本题的关键是分类讨论：点落在线段上、点落在线段的延长线上．
 

16.【答案】解：


；



． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：将样本中，甲民宿顾客满意度分数出现次数最多的是分，共出现次，因此甲民宿顾客满意度分数的众数是分，即，
将样本中名顾客对乙民宿满意度分数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是分，即，
乙民宿顾客满意度分数在分及分以上人数所占百分比为，即，
答：，，；
人，
答：入住两家民宿的顾客能打分及分以上的人数大约有人；
甲民宿，理由：甲民宿顾客满意度分数的平均数、中位数都比乙民宿顾客满意度分数的平均数、中位数要大，因此选择甲民宿． 

【解析】根据中位数、众数的定义进行计算即可；
分别求出样本中，入住甲民宿、乙民宿的顾客打分及分以上的人数所占的百分比，估计总体中入住甲民宿、乙民宿的顾客打分及分以上的人数所占的百分比，由频率进行计算即可；
根据平均数、中位数的大小比较得出答案．
本题考查条形统计图，平均数、中位数、众数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，
，，
，，
一次函数为，反比例函数为；
令，则，
，
点关于轴的对称点，
设直线为，
代入点得，，
解得，
直线为，
令，则，
解得，
；
≌，
． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
求得点的坐标，作出点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的值最小，为线段的长度；
利用轴对称的性质，利用即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称最短路线问题，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：根据规律得：
；
，
的展开式中共有项，所有项的系数和为；
故答案为：，，；
证明：，




，
能被整除．
直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案；
直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案．
本题考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．
 

20.【答案】解：设种图书每套元，则种图书每套元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：种图书每套元，种图书每套元；
设学校购买种图书套，购买种图书套，购买图书的总费用元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
种图书数量不低于种图书数量的一半，
，
解得，
当时，最小，最小值为，
此时套，
答：学校购买种图书套，则购买种图书套时，总费用最低，最低费用为元． 

【解析】设种图书每套元，则种图书每套元，根据用元购买的种图书比用元购买的种图书多套列出方程，解方程即可，注意验根；
设学校购买种图书套，则购买种图书套，购买图书的总费用为元，根据总费用两种图书费用之和列出函数解析式，再根据种图书数量不低于种图书数量的一半求出的取值范围，由函数的性质求最值．
本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式或方程和不等式．
 

21.【答案】解：把点坐标代入抛物线，得，
，
，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为；
当时，
，
令，
，，
令，
，，
，
，
． 

【解析】由点坐标和，求抛物线的解析式，用配方法求顶点的坐标；
找到与抛物线有交点时的临界值，一个是平移后的纵坐标为，一个是与重合．
本题考查了二次函数的图象与性质，图象的交点问题，关键是让线段运动起来，找到临界值．
 

22.【答案】见解析 

【解析】证明：如图，连接并延长，交于点，连接，

为的直径，
，
，
为的切线，为切点，
，即，
，
，
，
，
又，
∽，
，
；
解：如图，连接、，

为的直径，
，即，
为的切线，
，即，
，
，
，
又，
∽，
，即，
，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，不合题意，舍去，
．
连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理可得，根据三角形内角和定理得，由切线的性质得，即，进而可得，再根据圆周角定理可得，于是得到，以此可证明∽，利用相似三角形的性质即可得到证明；
连接、，易证明∽，利用相似三角形的性质可得，进而得到，，于是得，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求出的值，进而求出的长．
本题主要考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解题关键是根据题干所给条件，证明三角形相似，利用相似三角形的性质解决问题．
 

23.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
成立；理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，是的中点，
，
，
，
，
，
，
；
分两种情况：当点在边上时，
，要使是等腰三角形，必须，
，
，
，
，
；
当点在的延长线上时，
，要使是等腰三角形，必须，
，
，
，
，
，
，
综上所述，当是等腰三角形时，或．
由正方形的性质得出，，由证明≌，由全等三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出，由平行线的性质得出，因此，得出，即可得出结论；
同，即可得出结论；
分两种情况：当点在边上时，由，要使是等腰三角形，必须，得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质得出，得出；当点在的延长线上时，同方法可得；即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．