2022-2023学年吉林省松原市前郭县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年吉林省松原市前郭县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 实数−2，0.3，17， 2，−π，0.1010010001…(依次增加一个0)中，无理数的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 下列说法正确的是( )
A. 过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离
B. 垂线段最短
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 同一平面内，两条直线的位置关系为平行和垂直
3. 下列方程组中是二元一次方程组的是( )
A. 2x−y=42x+y=1B. x−y=42x+y=3C. 2x−y=52y+z=1D. x+y=5x2+y2=12
4. 已知aA. a−m>b−mB. −2a−m>−2b−m
C. a−2>b−3D. am+25. 若点P在第二象限，点P到x 轴的距离是7，到y轴的距离是3，点P的坐标是( )
A. (−7,3)B. (7,−3)C. (−3,7)D. (3,−7)
6. 为了解某市参加中考的51000名学生的视力情况，抽查了其中1500名学生的视力情况进行统计分析，下列叙述正确的是( )
A. 51000名学生是总体
B. 每名学生是总体的一个个体
C. 1500名学生的视力情况是总体的一个样本
D. 以上调查是普查
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 某节能灯生产厂家为了解一批产品(灯泡)的使用寿命，应该采用的调查方式是______ (选填“全面调查”或“抽样调查”)．
8. 36的平方根为______ ．
9. 若xm−3−2yn−1=5是二元一次方程，则m= ，n= ．
10. 不等式3x−2≥4(x−1)的所有非负整数解的和为________．
11. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是 ．
12. 如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF.已知AD=4，AE=13，则DB长为______ ．
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,1)，B(−1,1)，C(−1,−2)，D(1,−2)，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CD→DA方向匀速循环前行，当机器人前行了2023s时，其所在位置的点的坐标为______ ．
14. 我国古典数学文献《增删算法统宗⋅六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意，可列方程组为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
15. 解不等式组x−32+3≥x+11−3(x−1)<8−x，并把解集在数轴上表示出来．
四、解答题（本大题共11小题，共79.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
计算：−13−14×[1−(−5)2]+3−27．
17. (本小题5.0分)
已知2a−1的算术平方根是3，a−b+2的立方根是2，求a−4b的平方根．
18. (本小题5.0分)
已知：如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC=1：2：4.求∠EOF的度数．
19. (本小题7.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为(−2,−2)，(3,1)，(0,2).若三角形ABC中任意一点P(a,b)，平移后对应点为P1(a−1,b+3)，将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1．
(1)在图中画出平移后的三角形A1B1C1；
(2)三角形A1B1C1的面积为______ ；
(3)点Q为y轴上一动点，当三角形ACQ的面积是3时，直接写出点Q的坐标．
20. (本小题7.0分)
已知关于x，y的二元一次方程组3x+y=4m+2x−y=6的解满足x+y<3，求满足条件的m的所有非负整数值．
21. (本小题7.0分)
如图，已知EF⊥BC，∠1=∠C，∠2+∠3=180°.试说明直线BC与AD的位置关系．
22. (本小题7.0分)
甲、乙两人解同一个方程组3x+ay=13①bx−3y=9②，甲因看错①中的a得解为x=6y=7，乙因抄错了②中的b解得x=1y=5，请求出原方程组的解．
23. (本小题8.0分)
某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x小时进行分组整理，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图(如图)，根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)这次抽样调查的学生人数是______人；
(2)扇形统计图中“A”组对应的圆心角度数为______，并将条形统计图补充完整；
(3)若该校有2000名学生，试估计全校有多少名学生每周的课外阅读时间不少于6小时？
24. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，若点Q的坐标为(ax+y,x+ay)，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”．
(1)已知点A(−2,6)的“12级关联点”是点A′，则点A′的坐标为______ ；
(2)已知点M(m−1,2m)的“−3级关联点”N位于x轴上，求点N的坐标；
(3)在(2)的条件下，若存在点H，使HM//x轴，且HM=2，直接写出H点坐标．
25. (本小题10.0分)
A、B两超市平日都是以同样的价格出售同样的商品，如笔记本每本18元，练习本每本3元．
(1)若小丽一日在A超市购买了笔记本和练习本共7本，总共花费了51元，则小丽笔记本和练习本各买了多少本？
(2)某节假日，A、B两超市推出不同的优惠方案：在A超市累计购物超过50元的部分打九折；在B超市累计购物超过80元的部分打八点五折．
①若小丽购物金额超过80元，则她去哪家超市购物更合算？
②若小丽打算到A超市购买一些笔记本送给同学，请问她至少购买多少本时，平均每本笔记本价格不超过17元？
26. (本小题10.0分)
如图，PQ//MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN=45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a−6|+(b−1)2=0.(友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向)
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．
(3)若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：无理数有： 2，−π，0.1010010001…，共3个，
故选B．
无理数包括：①含π的，②开方开不尽的根式，如 2，③一些有规律的数，根据进行判断即可．
本题考查了对无理数的定义的理解，掌握无理数是指无限不循环小数，有含π的，开方开不尽的根式，是解答此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，
故A说法错误，不符合题意；
垂线段最短，
故B说法正确，符合题意；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
故C说法错误，不符合题意；
同一平面内，两条直线的位置关系为平行和相交，
故D说法错误，不符合题意；
故选：B．
根据平行线的判定定理与性质定理求解判断即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、2x−y=4是分式方程，故该选项错误．
B、符合二元一次方程组的定义；
C、有三个未知数，是三元一次方程组，故该选项错误．
D、第二个方程的x2+y2=12二次的，故该选项错误．
故选：B．
根据二元一次方程组的定义对各个选项中的方程组进行判断即可．
本题考查的是二元一次方程组的定义，满足组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都是一次的整式方程是二元一次方程组．
4.【答案】B
【解析】解：A、由aB、由a−2b，由−2a>−2b，得−2a−m>−2b−m，原变形正确，故此选项符合题意；
C、由aD、当m=−2时，m+2=0，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
利用不等式的性质对各选项进行判断．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5.【答案】C
【解析】解：∵点P在第二象限，点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标为−3，纵坐标为7，
∴点P的坐标为(−3,7)．
故选C．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A.51000名学生的视力情况是总体，故选项不符合题意；
B.每名学生的视力情况是总体的一个个体，故选项不符合题意；
C.1500名学生的视力情况是总体的一个样本，故选项符合题意；
D.以上调查是抽样调查，故选项不符合题意；
故选：C．
总体：所要考察对象的全体；个体：总体的每一个考察对象叫个体；样本：抽取的部分个体叫做一个样本；样本容量：样本中个体的数目．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，理清概念是关键．
7.【答案】抽样调查
【解析】解：某节能灯生产厂家为了解一批产品(灯泡)的使用寿命，应该采用的调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
8.【答案】± 6
【解析】解：∵ 36=6，
∴6的平方根为± 6，
∴ 36的平方根为± 6．
故答案为± 6．
本题先求36的算术平方根后再求平方根即可．
本题考查了算术平方根和平方根的性质，掌握平方根和算术平方根的性质是解题的关键．
9.【答案】4 2
【解析】解：∵xm−3−2yn−1=5是二元一次方程，
∴m−3=1，n−1=1，
解得m=4，n=2，
故答案为：4，2．
含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，根据二元一次方程的定义列式即可求解．
此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
10.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了解一元一次不等式，不等式的非负整数解的应用，解此题的关键是能求出不等式的非负整数解，难度适中．
先求出不等式的解集，再求出不等式的非负整数解，即可得出答案．
【解答】
解：3x−2≥4(x−1)，
3x−2≥4x−4，
x≤2，
所以不等式的非负整数解为0，1，2，
0+1+2=3，
故答案为：3．

11.【答案】25°
【解析】
【分析】
本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边平行，等腰直角三角板的锐角是45°．
根据两直线平行，内错角相等求出∠3，进而可得出答案．
【解答】
解：如图，
∵直尺的对边平行，∠1=20°，
∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=45°−∠3=45°−20°=25°．
故答案为25°．
12.【答案】5
【解析】解：∵平移前后对应点所连接的线段平行且相等，
∴AD=BE=4，
∴DB=AE−AD−BE=13−4−4=5．
故答案为：5．
利用平移的性质可知AD=BE，由此可解．
本题主要考查平移的性质，解题的关键是掌握“平移前后对应点所连接的线段平行且相等”．
13.【答案】(−1,0)
【解析】解：∵A(1,1)，B(−1,1)，C(−1,−2)，D(1,−2)，
∴AB=CD=2，CB=AD=3，
∴机器人从点A出发沿着AB→BC→CD→DA回到点A所走路程是：2+2+3+3=10，
∴每过10秒点P回到A点一次，
∵2023÷10=202……3，
∴第2023秒时于第3秒时机器人所在的位置相同，
∵3−2=1，
∴此时机器人在BC上，距离B为1个单位长度，
∴机器人所在点的坐标为(−1,0)，
故答案为：(−1,0)．
由点的坐标可得智能机器人从点A出发沿着AB→BC→CD→DA回到点A所走路程是10，即每过10秒点P回到A点一次，判断2023÷10的余数可知智能机器人的位置．
本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
14.【答案】x+9=2(y−9)x−9=y+9
【解析】解：设甲有羊x只，乙有羊y只．
∵“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍”，
∴x+9=2(y−9)；
∵“如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，
∴x−9=y+9．
联立两方程组成方程组x+9=2(y−9)x−9=y+9．
故答案为：x+9=2(y−9)x−9=y+9．
设甲有羊x只，乙有羊y只，根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15.【答案】解：解不等式x−32+3≥x+1，得：x≤1，
解不等式1−3(x−1)<8−x，得：x>−2，
则不等式组的解集为−2将解集表示在数轴上如下：

【解析】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
首先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后把不等式的解集在数轴上表示出来．
16.【答案】解：−13−14×[1−(−5)2]+3−27
=−1−14×(1−25)−3
=−1+6−3
=2．
【解析】根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解．
本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：∵2a−1=32，
∴a=5，
∵a−b+2=22，
∴b=−1，
∴± a−4b=± 5−4×(−1)=± 9=±3．
【解析】利用算术平方根、立方根性质求出a与b的值，即可确定出所求．
此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
18.【答案】解：设∠BOC=x°，则∠DOF=2x°，∠AOC=4x°，
由题意得：x+4x=180，
解得：x=36，
∴∠BOC=36°，∠DOF=72°，∠AOC=144°，
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOE=∠COE=12∠BOC=12×36°=18°．
∴∠EOF=180°−∠DOF−∠COE
=180°−72°−18°
=90°．
【解析】设∠BOC=x°，则∠DOF=2x°，∠AOC=4x°，根据∠BOC+∠AOC=180°，得出x+4x=180，解方程得出x=36，可得∠BOC=36°，∠DOF=72°，∠AOC=144°，根据角平分线的定义可得∠BOE=18°，根据平角的定义，由∠EOF=180°−∠DOF−∠COE，即可求解．
本题考查了结合图形中角度的计算，平角的定义，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
19.【答案】7
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；

(2)三角形A1B1C1的面积=5×4−12×1×3−12×3×5−12×2×4=7，
故答案为：7；
(3)设点Q的纵坐标为m，
则12×|2−m|×2=3，
解得m=−1或m=5，
∴Q(0,−1)或(0,5)．
(1)根据点P(a,b)，平移后对应点为P1(a−1,b+3)，找出对应点即可求解；
(2)根据割补法求解即可；
(3)设点Q的纵坐标为m，则12×|2−m|×2=3，求出m的值即可得出结果．
本题考查了平移变换的性质，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
20.【答案】解：3x+y=4m+2 ①x−y=6 ②
①+②得：4x=4m+8
∴x=m+2，
把 x=m+2代入②得m+2−y=6
∴y=m−4，
∴x+y=(m+2)+(m−4)=2m−2，
∵x+y<3
∴2m−2<3，
∴m<52，
所以满足条件的m的所有非负整数值为：0，1，2．
【解析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的所有非负整数解即可．
此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】解：∵∠1=∠C(已知)，
∴GD//AC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠2=∠DAC(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠2+∠3=180° (已知)，
∴∠3+∠DAC=180°(等量代换)，
∴AD//EF(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠ADC=∠EFC(两直线平行，同位角相等)，
∵EF⊥BC (已知)，
∴∠EFC=90°(垂直的定义)，
∴∠ADC=90°(等量代换)，
∴AD⊥BC(垂直的定义)．
【解析】先证明GD//AC，可得∠2=∠DAC，再证明∠3+∠DAC=180°，可得AD//EF，从而可得结论．
本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质并灵活应用是解本题的关键．
22.【答案】解：3x+ay=13①bx−3y=9②，
把x=6y=7代入②得：6b−21=9，
解得：b=5，
把x=1y=5代入①，得3+5a=13，
解得：a=2，
即方程组为3x+2y=13①5x−3y=9②，
①×3+②×2，得19x=47，
解得：x=3，
把x=3代入①，得9+2y=13，
解得：y=2，
所以原方程组的解是x=3y=2．
【解析】把x=6y=7代入②得出6b−21=9，求出b，把x=1y=5代入①得出3+5a=13，求出a，得出方程组3x+2y=13①5x−3y=9②，①×3+②×2得出19x=47，求出x，再把x=3代入①求出y即可．
本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
23.【答案】(1)50；
(2) 57.6°
B时间段的人数为50×30%=15人，
则D时间段的人数为50−(8+15+20+2)=5人，
补全图形如下：
(3)估计全校每周的课外阅读时间不少于6小时的学生有2000×5+250=280人．
【解析】
解：(1)这次调查的学生人数为8÷16%=50人，
故答案为：50；
(2)扇形统计图中“A”组对应的圆心角度数为360°×16%=57.6°，故答案为：57.6°；
图形见答案．
(3)见答案．
【分析】
(1)由A时间段的人数及其所占百分比可得总人数；
(2)用360°乘以A组的百分比可得，用总人数乘以B组的百分比求得其人数，再用总人数减去其他各组人数之和求得D组人数即可得；
(3)用总人数乘以样本中D、E人数之和所占比例即可得．
本题考查频率分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】(5,1)
【解析】解：(1)由题意得：A′(5,1)，
故答案为：(5,1)；
(2)由题意得：N(−3m+3+2m,−6m+m−1)，
∴−6m+m−1=0，
解得：m=−15，
∴N(165,0)；
(3)由(2)得：m=−15，
∴M(−65,−25)，
∵HM//x轴，且HM=2，
∴H(45,−25)或H(−165,−25).
(1)根据新定义代入求解；
(2)先根据新定义写出坐标，再根据x轴上的点的特征，列方程求解；
(3)根据平行直线的关系求解．
本题考查了点的坐标特征，掌握数形结合思想是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设小丽笔记本买了x本，练习本买了y本，
依题意，得：x+y=718x+3y=51，
解得：x=2y=5．
答：小丽笔记本买了2本，练习本买了5本．
(2)①设小丽的购物原价为m(m>80)元．
在A超市购买需付金额为50+0.9(m−50)=0.9m+5(元)，
在B超市购买需付金额为80+0.85(m−80)=0.85m+12(元)．
当0.9m+5<0.85m+12时，80当0.9m+5=0.85m+12时，m=140；
当0.9m+5>0.85m+12时，m>140．
答：当购物金额超过80元不足140元时，小丽去A超市购物更合算；当购物金额等于140元时，小丽去两超市购物费用相同；当购物金额超过140元时，小丽去B超市购物更合算．
②设小丽购买了n本笔记本，则总金额为(0.9×18n+5)元，
依题意，得：0.9×18n+5≤17n，
解得：n≥614．
又∵n为正整数，
∴n的最小值为7．
答：小丽至少购买7本时，平均每本笔记本价格不超过17元．
【解析】(1)设小丽笔记本买了x本，练习本买了y本，根据小丽购买笔记本和练习本共7本且总共花费了51元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)①设小丽的购物原价为m(m>80)元，则在A超市购买需付金额为(0.9m+5)元，在B超市购买需付金额为(0.85m+12)元，分0.9m+5<0.85m+12、0.9m+5=0.85m+12和0.9m+5>0.85m+12三种情况，求出m的取值范围或m的值即可得出结论；
②设小丽购买了n本笔记本，则总金额为(0.9×18n+5)元，根据平均每本笔记本价格不超过17元，即可得出关于n的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用、代数式以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)①用含m的代数式表示出在A，B两超市购买所需费用；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】6 1
【解析】解：(1)|a−6|+(b−1)2=0，
∴a−6=0，b−1=0，
∴a=6，b=1，
故答案为：6，1；
(2)设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．
如图，设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则BO⊥AO，

∴∠ABO+∠BAO=90°，
∵PQ//MN，
∴∠ABQ+∠BAM=180°，
∴∠OBQ+∠OAM=90°，
又∵∠OBQ=t°，∠OAM=6t°，
∴t°+6t°=90°，
∴t=907(s)；
(3)设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM′的位置，∠MAM′=18×6=108°，
分两种情况：
①当9
∵∠BAN=45°=∠ABQ，
∴∠ABQ′=45°−t°，∠BAM″=∠M′AM″−∠M′AB=6t−45°，
当∠ABQ′=∠BAM″时，BQ′//AM″，
此时，45°−t°=6t−45°，
解得t=907；
②当18
∵∠BAN=45°=∠ABQ，
∴∠ABQ′=45°−t°，∠BAM″=45°−(6t°−90°)=135°−6t°，
当∠ABQ′=∠BAM″时，BQ′//AM″，
此时，45°−t°=135°−6t，
解得t=18；
综上所述，射线AM再转动907秒或18秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
(1)依据|a−5|+(b−1)2=0，即可得到a，b的值；
(2)依据∠ABO+∠BAO=90°，∠ABQ+∠BAM=180°，即可得到射线AM、射线BQ第一次互相垂直的时间；
(3)分两种情况讨论，依据∠ABQ′=∠BAM″时，BQ′//AM″，列出方程即可得到射线AM、射线BQ互相平行时的时间．
本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．