2022-2023学年安徽省六安市霍邱县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省六安市霍邱县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数是，则一次项系数和常数项分别为(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

3.  下列计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  用配方法解方程时，变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，若，则下列式子成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的标为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

10.  在一次数学活动课上，小颖发现：将三角板的直角顶点放在长方形纸片的边上动，恰好存在两直角边分别经过点，情形如图如果，，则的长应为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  要使在实数范围内有意义，应当满足的条件是______ ．

12.  若关于的一元二次方程有一根为，则的值是______ ．

13.  安徽省电动自行车管理条例自年月日起施行条例规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量件与销售单价元件满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为______ 元

14.  如图，在长方形纸片中，，，将纸片分别沿，折叠，使点落在边上的点处，点落在上的点处．
______ ；
：： ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
解方程：，

17.  本小题分
围墙内一棵大树被风吹歪后斜靠在旁边的围墙上，然后在围墙的顶部被折断，树梢着地如图，已知围墙高，树的根部到围墙的距离，树梢着地点到围墙的距离，求大树折断前的高度．

18.  本小题分
古希腊数学家海伦在他的著作度量论中，给出了计算三角形面积的公式：，其中，，，分别为三角形的三边长，为三角形的面积我国宋代数学家秦九韶在他的著作数书九章中，也曾提出由三角形三边求三角形面积的方法，它们实质上是相同的请根据上面的公式解决问题；已知三角形的三边长分别为，，，若，，是方程的两个实数根，请利用上面的公式求该三角形的面积．

19.  本小题分
观察下列等式：
，，．
按照上面的规律，写出第个等式是______ ：
猜想第个等式，并证明你的猜想．

20.  本小题分
自我县开展文明城市创建工作以来，全县人民凝聚力量，众志成城全力打造精神文明高地，掀起了一场又一场“美丽风暴”“整治风暴”“文明风暴”某小区原有一块宽为的长方形荒地，物业部门计划将其分为，，三部分，分别种植不同的花卉，美化人居环境若，地块为正方形，地块的面积比地块的面积少，试求该长方形荒地的长．

21.  本小题分
如图各图都是边长为的小正方形组成的网格，小正方形的边所在直线的交点称为格点，若两个格点间的距离是无理数，则称该无理数为这两个格点的“无理间距”．
例如，图中无理间距有共有个数值相等的，不重复计数，下同；图中无理间距除了外，还有，，共有个．
观察图形，解决下面问题：
图中无理间距应有个，除了，，外，还有______ ；
请在图中画出端点为格点的线段，使它们的长度分别为你在中所填的无理间距每个无理间距画一条线段即可

22.  本小题分
观察下面一元二次方程的解法：

解：这里，，，．
所以，方程的根为，即，．
；
解：这里，，，，
所以，方程的根为，
即，．
【观察思考】
方程的两个根都是有理数称为有理数根，而方程的两个根是含有无理数的实数根若一元二次方程均为整数，且的根是有理数，应满足的条件是______ ：
【问题解决：】
若一元二次方程有两个不相等的有理数根，求满足条件的正整数的值．

23.  本小题分
已知：如图，在中，，点是边的中点，，分别是在，上的点，连接，，且延长到，使，连接，．
求证：≌；
求的度数；
探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：当时，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B.被开方数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C.的根指数是，不是，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D.是二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：去括号得，
移项、合并得，
所以一次项系数为，常数项为．
故选：．
先把方程化为一般式得到，然后根据一次项系数和常数项的定义求解．
本题考查了一元二次方程的一般式：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，故选项A计算错误；
B.，故选项B计算错误；
C.，故选项C计算错误；
D.，故选项D计算正确．
故选：．
利用二次根式的性质化简各选项，根据计算结果得结论．
本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先将常数项移到方程右边，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，最后将方程左边写成完全平方式即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即加上一次项系数一半的平方，难度适中．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
，
即，
故选：．
根据三角形的内角和定理和勾股定理即可得结论．
本题考查了勾股定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，，
．
故选：．
先把和化简，再进行减法运算得到，则，，然后根据乘方的意义计算．
本题考查了二次根式的加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于，列出关于的方程，解方程可得的值．
【解答】
解：根据题意得：，即，
解得：，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，，
，，
以点为圆心，长为半径画弧，
．
在中，，
．
的坐标为：．
故选：．
利用勾股定理求出线段长即可知道点的坐标．
本题考查了平面直角坐标系背景下勾股定理的应用，熟练掌握一些勾股数便于提升做题的速度．
 

9.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
，
，，
又，
，
解得：或，
，
，
故选：．
根据方程有两个实数根，得，即，由根与系数的关系，可得，，又由，即可求得的值．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果，是一元二次方程的两根，那么有，的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意知，
，
四边形为长方形，
，，，
，
，
∽，
，
设，则，
，
整理得，，
解得，，，
即的长应为或，
故选：．
根据得出，再根据长方形的性质证得，，从而得到∽，最后根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在实数范围内有意义，
，
解得．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得，
即的值为．
故答案为：．
根据一元二次方程解的定义，把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
，
即每件头盔的售价应为元，
故答案为：．
根据商店计划每周销售该头盔获利元，列出一元二次方程，解方程取满足题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】  ：： 

【解析】解：是由沿折叠而成，
，
同理：，
四边形是长方形，
，
，
，

，
故答案为：；
由折叠的性质可知，，
在中，，
；
设，则，，
，
在中，
，即，
解得：，
即，
，
：：：：：：，
故答案为：：：．
利用折叠的性质推导出，，利用，进一步解答即可得解；
在中，求得，进而得到；设，则，，在中，利用勾股定理，解得：，进而得到，最后列比例式解答即可．
本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题．
 

15.【答案】解：


． 

【解析】先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】解：移项得：，
方程左边因式分解得：，
可得或，
解得：，． 

【解析】方程移项后，左边分解因式，利用两数相乘积为两数中至少有一个为转化为两个一元一次方程，求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
因此，大树折断前的高度为． 

【解析】直接利用勾股定理分别得出，的长，进而得出答案．
本题考查了勾股定理的应用，正确利用勾股定理得出，的长是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
或，
解得，，
或，或，
又，
，
．
故该三角形的面积为． 

【解析】先利用因式分解法求出方程的解，再求出，然后代入公式，计算即可．
此题考查二次根式的应用，关键是根据三角形的面积公式解答．也考查了解一元二次方程．
 

19.【答案】 

【解析】解：第个等式是，
故答案为：．
第个等式：．
证明：


．
由题目式子的规律，即可得到答案；
由式子的规律，即可猜想出结论．
本题考查算术平方根，规律型：数字的变化类，关键是发现数字的变化规律．
 

20.【答案】解：设地块的边长为，则地块的宽为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
．
答：长方形荒地的长为． 

【解析】设地块的边长为，则地块的宽为，根据地块的面积比地块的面积少，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】， 

【解析】解：，；

如图所示：
根据勾股定理求解；
根据勾股定理作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】完全平方数 

【解析】解；一元二次方程均为整数，且的根是有理数，
应该为完全平方数；
故答案为：完全平方数；
，
，
是正整数，
或或，
当时，，不是完全平方数，不符合题意；
当时，，为完全平方数；
当时，，为完全平方数，
综上所述，满足条件的正整数的值为或．
利用一元二次方程的求根公式，只有当为完全平方数时，一元二次方程均为整数，且的根是有理数；
先利用根的判别式的意义得到，则或或，然后依次对个整数进行判断，最后确定满足条件的的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式的意义和解一元二次方程．
 

23.【答案】证明：点是边的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：由知，≌，
，
在中，，
，
，
即；
解：线段、与之间的数量关系为：，证明如下：
，，
；
由知，≌，
，
由知，，
在中，由勾股定理得：，
． 

【解析】由证明≌即可；
由全等三角形的性质得，再由直角三角形的性质得，则，即可得出结论；
由线段垂直平分线的性质得，再由全等三角形的性质得，然后由勾股定理得，即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．