【中职专用】高中数学 高教版2021·拓展模块一上册 5.3 实系数一元二次方程的解法（练习）

5.3 实系数一元二次方程的解法

同步练习

1．关于实系数方程，下列说法错误的是（    ）

A．时，方程有两个不相等实根

B．时，方程有两个不相等虚根

C．时，方程有两个相等实根

D．时，方程有两个互为共轭复数的虚根

【答案】D

【分析】根据实系数二次方程的根与判别式的关系判断.

【详解】解：A. 时，方程有两个不相等实根，故A正确；

B. 时，方程有两个不相等虚根，故B正确；

C. 时，方程有两个相等实根，故C正确，D错误.

故选：D.

2．若是实系数一元二次方程的一个根，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据题意，将根代入方程，再利用复数的概念列出方程组，解之即可求解.

【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根，

所以，则有，即

所以，解得：，

故选：C

3．若实系数一元二次方程的一个根是，则这个方程可以是______．

【答案】

【分析】设出方程与另一个根为，根据系数都为实数结合韦达定理得出与都是实数，则一定为虚数，设，即可列式解出，则，，即，，代入方程化简即可得出答案.

【详解】设一元二次方程为，

设这个一元二次方程的一个根是，另一个根为，

由韦达定理可得：，，

这个一元二次方程的系数都为实数，

，都是实数，

则与都是实数，

则一定为虚数，设，

则为实数，得，解得，

为实数，得，解得，

则，

则，，即，，

则一元二次方程为，

化简为：，

故答案为：.

4．若关于的实系数一元二次方程有一个根为，则_________.

【答案】

【分析】根据虚根成对的知识求得正确答案.

【详解】依题意，关于的实系数一元二次方程有一个根为，

则另一个根是，

.

故答案为：

5．若(i为虚数单位)是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则__________ ．

【答案】

【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出.

【详解】∵(为虚数单位)是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，

∴（为虚数单位）也是关于的实系数一元二次方程的的一个虚根，

∴，解得

故答案为：．

6．设z是实系数一元二次方程的根.求出所有z；

【答案】（1）；（2）见详解

【分析】（1）利用实系数方程求解复数根即可；

（2）代入复数，化简求解即可.

【详解】解：（1），

即，

即或，

故或，

即或；

1．关于的实系数一元二次方程的一根为，则__________．

【答案】4

【分析】由实系数一元二次方程的虚数根成对出现得另一根为，再由根与系数关系得结论．

【详解】由题意方程另一根为，

所以．

故答案为：4．

2．若关于的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用判别式小于0列方程即可求解.

【详解】因为关于的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，

所以，解得：.

故实数的取值范围是.

故答案为：

3．若一个实系数一元二次方程的一个根是，则此方程的另一个根__________.

【答案】

【分析】根据实系数的一元二次方程的虚根的共轭关系，即可求解方程的另一根，得到答案.

【详解】由题意，一个实系数一元二次方程的一个根是，

根据实系数的一元二次方程的虚根成对，且互为共轭关系，

所以方程的另一个根为.

故答案为：.

4．“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：若实系数一元二次方程有虚根，

则，即，

所以“”是“实系数一元二次方程有虚根”的必要不充分条件，

故选：A

5．若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设方程为，根据韦达定理分别将用表示，即可得出答案.

【详解】解：设方程为，

则，所以，

，所以，

则方程为，

故只有B选项符合题意.

故选：B.

1．若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，由求解.

【详解】因为关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，

所以，

即，即 ，

解得 ，

所以m的取值范围是，

故答案为：

2．若是实系数一元二次方程的一个根，则______．

【答案】

【分析】将代入方程可得，即可求出.

【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根，

所以，即，

整理得，

所以，解得，则.

故答案为：.

3．已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点为，则这个方程可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由实系数一元二次方程虚根的性质可得，，再由韦达定理即可得解.

【详解】由题意，该方程的一个根为，

则该方程的另一个根，

由，可得方程可以为.

故选：A.

4．若关于的实系数一元二次方程的一个根为（为虚数单位），则_____．

【答案】

【分析】根据根与系数关系求得，从而求得.

【详解】依题意可知：关于的实系数一元二次方程的两个根为，

所以，，

所以，即，

所以.

5．已知复数，，（，是虚数单位）．

(1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；

(2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

 (1)

∵

则在复平面对应的点坐标为，在复平面对应的点落在第一象限，∴，解得．

(2)

∵是方程的根

则，即，

所以，解得．