【中职专用】高中数学 （北师大版2021·基础模块上册） 2.3.2一元二次不等式的基本解法（课件）

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第二单元 不等式 2.3.2一元二次不等式的基本解法
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
问题提出 如何解不等式0.007x2+0.2x-50≤0？
分析理解 当x变化时，不等式的左边可以看作 x 的二次函数y=0.007x2+0.2x-50．这样解不等式0.007x2+0.2x-50≤0 的问题就可以转化为求二次函数y=0.007x2+0.2x-50 的图像上 y≤0 所对应点的 x 的取值范围问题．
分析理解 二次函数y=0.007x2+0.2x-50的图像是开口向上的抛物线．因为△=b2-4ac=(0.2)2-4×0.007×(-50)=1.44＞0，所以抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是方程0.007x2+0.2x-50=0的两个解，解方程0.007x2+0.2x-50=0得x1=-100,x2= .
分析理解 所以图像与x轴的交点坐标（-100,0）（ ，0）. 对称轴方程为 ，顶点坐标为 ， 即（ ， ）. 故二次函数y=0.007x2+0.2x-50的简图如图2-4所示．
分析理解 观察图像可知： 当y=0时，对应抛物线与x轴的两个交点，此时x1=-100, x2= ； 当y＜0时，对应抛物线在x轴下方的所有点，此时x的取值范围是 -100＜x＜ . 故满足不等式0.007x2+0.2x-50≤0的 x 所在的区间为［-100， ].
分析理解 考虑到高速公路上的最低速度为60km/h ，如果希望该汽车急刹车的停车距离不超过50m，那么其行驶速度的范围是［60， ]，行驶速度的最大值为 ≈71(km/h).
抽象概括 一般地，使一元二次不等式成立的值叫作这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集． 上面的情形表明，二次函数图像的开口方向及其与x轴的交点坐标，可以确定其对应的一元二次不等式的解集．
例 .利用二次函数的图像解下列一元二次不等式． （1）-x2+3x+4＜0； （2）x2-2x+3＞0.
解 （1）△=b2-4ac=32-4×(-1)×4=25＞0，所以函数y=-x2+3x+4的图像与x轴有两个交点，解方程一x2+3x+4=0可得，x1=-1,x2=4. 函数y=-x2+3x+4的图像是开口向下的抛物线，与x轴的交点坐标是（-1,0),(4,0)，函数y=-x2+3x+4的图像如图2-5所示．
解 （2）△=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8＜0，所以函数y=x2-2x+3的图像与 x 轴无交点. 函数y=x2-2x+3的图像是开口向上的抛物线，与 x 轴无交点，其简图如图2-6所示． 观察图像可得，不等式x2-2x+3＞0的解集为R.
特别提示 例（1）中，注意到不等式﹣x2+3x+4＜0 x2-3x-4＞0，从而可将问题转化成解不等式x2-3x-4＞0，即当一元二次不等式的二次项系为负数时，可以利用不等式的性质将不等式化成二次项系数为正数的一元二次不等式，再求解.
探究发现 通过上面的分析，发现二次函数的图像、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间有着密切的联系，可以总结成表2-5.
合作交流 表2-5中要求a＞0，如果a＜0，应该怎样分析呢？请结合具体的例子进行思考，并将你的发现与同学进行交流讨论．
抽象概括 一般地，与二次函数y=ax2+bx+c(a＞0）对应的一元二次不等式有四种情形，分别是ax2+bx+c＞0,ax2+bx+c≥0,ax2+bx+c＜0,ax2+bx+c≤0．利用二次函数y=ax2+bx+c(a＞0）的图像求解相应的一元二次不等式，可以分为三步．
抽象概括 第一步：确定相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac，从而确定二次函数的图像与x轴的相交情况；如果有交点，则利用方程ax2+bx+c=0解出交点的横坐标． 第二步：画出二次函数y=ax2+bx+c的简图． 第三步：观察简图，写出不等式的解集．
P47，练习1.