2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学试卷

这是一份2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学试卷，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分、共30分。在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）3的相反数是（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
2．（3分）如所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x3÷x2＝x B．x2•2x3＝2x6 C．x+3x2＝4x3 D．（x3）2＝x5
4．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　）
​

A． B．
C． D．
5．（3分）某校对部分参加夏令营的中学生的年龄进行统计，结果如下表：
年龄/岁
13
14
15
16
17
18
人数/人
5
8
11
20
9
7
则这些学生年龄的众数是（　　）
A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁
6．（3分）在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD．∠1＝122°，则∠2的度数为（　　）
​

A．48° B．58° C．68° D．78°
8．（3分）《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，所列方程正确的是（　　）
A．×2＝ B．＝×2
C．×2＝ D．＝×2
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝30°，BC＝3，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF交AB于点M，交AC于点N，连接BN，则AN的长为（　　）​

A．2+ B．3+ C．2 D．3
10．（3分）如图，∠MAN＝60°，在射线AM，AN上分别截取AC＝AB＝6，连接BC，∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若有意义，则实数a的取值范围是 　 　．
12．（3分）分解因式：2m2﹣18＝　 　．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
14．（3分）某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛．这两名运动员10次测试成绩（单位：m）的平均数是＝6.01，＝6.01，方差是s甲2＝0.01，s乙2＝0.02，那么应选 　 　去参加比赛．（填“甲”或“乙”）
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4，CE＝5，则CD的长为 　 　．
​

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），将线段AO绕点A逆时针旋转120°，得到线段AB，连接OB，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值是 　 　．
​

17．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为 　 　．
​

18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点M为BC的中点，E是BM上的一点，连接AE，作点B关于直线AE的对称点B′，连接DB′并延长交BC于点F．当BF最大时，点B′到BC的距离是 　 　．​

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：÷﹣，其中m＝2．
20．（12分）为了推进“优秀传统文化进校园”活动．学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：A．民族舞蹈组；B．经典诵读组；C．民族乐器组；D．地方戏曲组，为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项．并将调查结果绘制成如所示两幅统计图．
​
请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 　 　人；
（2）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是C和D小组的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元．
（1）每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？
（2）某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？
22．（12分）小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是30°，测得大厦顶部的仰角是37°，已知他家楼顶B处距地面的高度BA为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
（1）求两楼之间的距离AC（结果保留根号）；
（2）求大厦的高度CD（结果取整数）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

五、解答题（满分12分）
23．（12分）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中100≤x≤160，且x为整数），当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？
六、解答题（满分24分）
24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求的长．

25．（12分）△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF，交DE于点M．
（1）如图1，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当BC＝6，CE＝2时，请直接写出AM的长．
​
八、解答题（满分14分）
26．（14分）抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，4），点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当△BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接BQ，过点B作直线l⊥BQ，连接QF并延长交直线l于点M，当BQ＝BM时，请直接写出点Q的坐标．
​

2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分、共30分。在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）3的相反数是（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可．
【解答】解：3的相反数﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义．正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．
2．（3分）如所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握定义是解答本题的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x3÷x2＝x B．x2•2x3＝2x6 C．x+3x2＝4x3 D．（x3）2＝x5
【分析】分别根据同底数幂的除法、单项式乘单项式、整式的加法及幂的乘方的运算法则进行计算求解．
【解答】解：∵x3÷x2＝x；故A符合题意；
x2•2x3＝2x5；故B不符合题意；
x和3x2不是同类项；故C不符合题意；
（x3）2＝x6；故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的除法、单项式乘单项式、整式的加法及幂的乘方的运算法则是解题的关键．
4．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　）
​

A． B．
C． D．
【分析】主视图是从物体的正面观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
【解答】解：从正面看，图形的下面是3个正方形，上面1个正方形，．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握主视图的定义．
5．（3分）某校对部分参加夏令营的中学生的年龄进行统计，结果如下表：
年龄/岁
13
14
15
16
17
18
人数/人
5
8
11
20
9
7
则这些学生年龄的众数是（　　）
A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁
【分析】根据众数是出现次数最多的数就可以求解．
【解答】解：∵在这一组数据中16是出现次数最多的，出现了20次，
∴这些学生年龄的众数是16岁；
故选：D．
【点评】此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数．解题的关键是理解众数的意义，正确认识表格．
6．（3分）在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【解答】解：6个白球和14个红球一共有20个球，所以摸到白球的概率是＝．
故选：C．
【点评】本题考查概率公式，概率计算一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
7．（3分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD．∠1＝122°，则∠2的度数为（　　）
​

A．48° B．58° C．68° D．78°
【分析】由平行线的性质可求得∠AMF＝58°，再由对顶角相等即可求解．
【解答】解：如图，

∵AB∥CD．∠1＝122°，
∴∠AMF＝180°﹣∠1＝58°，
∴∠2＝∠AMF＝58°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
8．（3分）《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，所列方程正确的是（　　）
A．×2＝ B．＝×2
C．×2＝ D．＝×2
【分析】根据用快、慢马送所需时间与规定时间之间的关系，可得出用慢马送需要（x+1）天，用快马送需要（x﹣3）天，利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马速度的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵用慢马送，需要的时间比规定时间多一天，用快马送，所需的时间比规定时间少3天，且规定时间为x天，
∴用慢马送需要（x+1）天，用快马送需要（x﹣3）天．
根据题意得：×2＝．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝30°，BC＝3，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF交AB于点M，交AC于点N，连接BN，则AN的长为（　　）​

A．2+ B．3+ C．2 D．3
【分析】利用基本作图的MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NB，则∠NBA＝∠CAB＝30°，所以∠CNB＝60°，再计算出∠CBN＝45°，过C点作CH⊥BN于H点，如图，利用等腰直角三角形的性质得到BH＝CH＝3，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到NH＝，然后计算BH+NH即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴NA＝NB，
∴∠NBA＝∠CAB＝30°，
∴∠CNB＝∠A+∠NBA＝60°，
∵AB＝AC，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠CBN＝∠ABC﹣∠NBA＝75°﹣30°＝45°，
过C点作CH⊥BN于H点，如图，
∴BH＝CH＝BC＝×3＝3，
∴NH＝CH＝，
∴BN＝BH+NH＝3+，
又∵AN＝BN，
∴AN＝3+．
故选：B．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形三边的关系．
10．（3分）如图，∠MAN＝60°，在射线AM，AN上分别截取AC＝AB＝6，连接BC，∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．
【解答】解：∵∠MAN＝60°，AC＝AB＝6，
∴△ABC是边长为6的正三角形，
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD＝∠NAD＝30°，AD⊥BC，CD＝DB＝3，
①当矩形EFHG全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时0＜x≤3，
∵EG∥AC，
∴∠NAD＝∠AGE＝30°，
∴AE＝EG＝x，
在Rt△AEF中，AE＝x，∠EAF＝60°，
∴EF＝AE＝x，
∴S＝x2；
②图3时，AE+AF＝AC，即x+x＝6，解得x＝4，由图2到图3，此时3＜x≤4，
如图4，由题意可知△EQB是正三角形，
∴EQ＝EB＝BQ＝6﹣x，
∴GQ＝x﹣（6﹣x）＝2x﹣6，
∴S＝S矩形EFHG﹣S△PQG
＝x2﹣×（2x﹣6）2
＝﹣x2+12x﹣18，
③图6时，x＝6，由图3到图6，此时4＜x≤6，
如图5，由题意可知△EKB是正三角形，
∴EK＝EB＝BK＝6﹣x，FC＝AC﹣AF＝6﹣x，EF＝x，
∴S＝S梯形EFCK
＝（6﹣x+6﹣x）×x
＝﹣x2+3x，
综上所述，S与x的函数关系式为S＝，
因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，
故选：A．






【点评】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若有意义，则实数a的取值范围是 　a≥2　．
【分析】根据二次根式具有非负性，（a≥0）是一个非负数，进而得出答案．
【解答】解：有意义，
故a﹣2≥0，
解得a≥2，
故答案为：a≥2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的非负性是解题关键．
12．（3分）分解因式：2m2﹣18＝　2（m+3）（m﹣3）　．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（m2﹣9）
＝2（m+3）（m﹣3）．
故答案为：2（m+3）（m﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜9　．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列式计算即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，
解得：k＜9，
故答案为：k＜9．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，结合已知条件列得（﹣6）2﹣4k＞0是解题的关键．
14．（3分）某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛．这两名运动员10次测试成绩（单位：m）的平均数是＝6.01，＝6.01，方差是s甲2＝0.01，s乙2＝0.02，那么应选 　甲　去参加比赛．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵两名运动员10次测试成绩（单位：m）的平均数是＝6.01，＝6.01，方差是s甲2＝0.01，s乙2＝0.02，
∴S甲2＜S乙2，
∴这10次测试成绩比较稳定的运动员是甲；
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4，CE＝5，则CD的长为 　　．
​

【分析】由“ASA”可证△ABD≌△ECD，可得AB＝CE＝5，由勾股定理可求BC的长，即可求解．
【解答】解：∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（ASA），
∴AB＝CE＝5，
∴BC＝＝3，
∴CD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），将线段AO绕点A逆时针旋转120°，得到线段AB，连接OB，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值是 　　．
​

【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，由旋转的性质得，AO＝AB，∠OAB＝120°，在Rt△ABC中求出BC、AC的长，即可得出点B的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k的值．
【解答】解：过点B作BC⊥y轴于点C，
由旋转的性质得，AO＝AB，∠OAB＝120°，
∵点A的坐标为（0，2），
∴AO＝2，
∴AB＝2，
∵∠OAB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣∠OAB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°，
∴，
由勾股定理得，
∴OC＝AO+AC＝2+1＝3，
∴点B的坐标为，
∵点B恰好落在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴，
故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转，解答本题的关键是求出点B的坐标．
17．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为 　　．
​

【分析】根据平行四边形ABCD推出平行四边形AEBC，根据△OAF和△EFB相似，进而求出各个三角形的面积比，设S△OAF＝x，表示出其他三角形面积，进而作答．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
又∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴AC＝BE，
∴BE＝2•OA，
∴△OAF∽△EBF，
∴＝＝，
∴S△EBF＝4S△OAF，
＝＝2，
∴S△AEF＝2S△AOF，
同理S△EBF＝2S△OBF，
S△OBC＝S△OAB，
设S△OAF＝x，
则S△EBF＝4x，S△AEF＝2x，S△OBF＝2x，
S△AOB＝S△BOC＝S△AOF+S△BOF＝x+2x＝3x，
S四边形BCOF＝S△BOC+S△BOF＝3x+2x＝5x，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查平行四边形及三角形的相似，相似比和面积比，解题的关键是根据三角形的相似比表示出三角形的面积．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点M为BC的中点，E是BM上的一点，连接AE，作点B关于直线AE的对称点B′，连接DB′并延长交BC于点F．当BF最大时，点B′到BC的距离是 　　．​

【分析】​当DF⊥AB'时，BF有最大值，即点E与点F重合，由勾股定理可求CE的长，可求BE＝B'E＝4，通过证明△EB'H∽△EDC，即可求解．
【解答】解：如图，过点B'作BH⊥BC于H，
∵点B关于直线AE的对称点B′，
∴AB＝AB'，BE＝B'E，∠AEB＝∠AEB'，∠ABE＝∠AB'E，
当DF⊥AB'时，BF有最大值，
∴∠AB'F＝∠AB'E＝90°，
∴点E与点F重合，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝∠AEB'，
∴AD＝DE＝10，
∴CE＝＝＝6，
∴BE＝4＝B'E，
∵B'H⊥BC，DC⊥BC，
∴B'H∥CD，
∴△EB'H∽△EDC，
∴，
∴，
∴HB'＝，
∴点B′到BC的距离是，
故答案为：．

【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，确定点F的位置是解题的关键．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：÷﹣，其中m＝2．
【分析】先对原式进行化简，然后把m的值代入化简后的算式进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
∴当m＝2时，原式＝．
【点评】本题考查分式的应用，熟练掌握分式化简求值的方法和步骤是解题关键．
20．（12分）为了推进“优秀传统文化进校园”活动．学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：A．民族舞蹈组；B．经典诵读组；C．民族乐器组；D．地方戏曲组，为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项．并将调查结果绘制成如所示两幅统计图．
​
请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 　100　人；
（2）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是C和D小组的概率．
【分析】（1）从两个统计图可知，样本中参加C组的有35人，占调查人数的35%，由频率＝可求出调查人数；
（2）求出样本中选择D组的学生所占的百分比，进而可求出相应的圆心角度数，求出选择B组的学生人数，即可补全条形统计图；
（3）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）35÷35%＝100（人），
故答案为：100；
（2）D组所对应的扇形圆心角的度数为：360＝36°，
选择B组的人数为：100﹣15﹣35﹣10＝40（人），补全条形统计图如下：

（3）用树状图表示所有等可能出现的结果如下：

共有12种等可能出现的结果，其中2个小组恰好是C和D小组的有2种，
所以选中的2个小组恰好是C和D小组的概率为＝．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率＝是正确解答的关键．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元．
（1）每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？
（2）某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？
【分析】（1）设每个甲种驱蚊手环的售价是x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，根据“卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环（100﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个甲种驱蚊手环的售价是x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元；
（2）设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环（100﹣m）个，
根据题意得：36m+20（100﹣m）≤2500，
解得：m≤，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为31．
答：最多可购买甲种驱蚊手环31个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（12分）小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是30°，测得大厦顶部的仰角是37°，已知他家楼顶B处距地面的高度BA为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
（1）求两楼之间的距离AC（结果保留根号）；
（2）求大厦的高度CD（结果取整数）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

【分析】（1）过点B作BE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AB＝CE＝40米，BE＝AC，然后在Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，即可解答；
（2）在Rt△BED中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥CD，垂足为E，

由题意得：AB＝CE＝40米，BE＝AC，
在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，
∴BE＝＝＝40（米），
∴BE＝AC＝40（米），
∴两楼之间的距离AC为40米；
（2）在Rt△BED中，∠DBE＝37°，
∴DE＝BE•tan37°≈40×0.75＝51.9（米），
∵CE＝40米，
∴DC＝DE+CE＝51.9+40≈92（米），
∴大厦的高度CD约为92米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中100≤x≤160，且x为整数），当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？
【分析】（1）先设出函数解析式，然后根据待定系数法即可求出函数解析式；
（2）将函数化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可得到利润的最大值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
∵当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件，
∴，
解得，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+320；
（2）设利润为w元，
由题意可得：w＝（x﹣100）（﹣2x+320）＝﹣2（x﹣130）2+1800，
∴当x＝130时，w取得最大值，此时w＝1800，
答：当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是会用待定系数法求一次函数的解析式和会用二次函数的性质求最值．
六、解答题（满分24分）
24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求的长．

【分析】（1）连接OE，利用直径所对的圆周角为直角，角平分线的定义，圆周角定理，垂直的定义，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接OG，OC，利用同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，圆周角定理求得∠AOG的度数，再利用圆的弧长公式计算即可．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE平分∠ACB交⊙O于点E，
∴∠ACE＝∠ACB＝45°，
∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，
∴OE⊥AB，
∵EF∥AB，
∴OE⊥FE．
∵OE为⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：连接OG，OC，
∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°．
∵∠ACE＝45°，EG⊥AC，
∴∠MEC＝45°，
∴∠GOC＝2∠MEC＝90°，
∴∠AOG＝∠AOC﹣∠GOC＝30°，
∵AB＝8，AB是⊙O的直径，
∴OA＝OG＝4，
∴的长＝＝．

【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，垂直的定义，平行线的性质，圆的切线的判定定理，圆的弧长公式，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
25．（12分）△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF，交DE于点M．
（1）如图1，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当BC＝6，CE＝2时，请直接写出AM的长．
​
【分析】（1）可证得∠BAD＝∠BAE＝30°，进一步得出结果；
（2）连接BD，可证明△BAD≌△CAE，从而∠ABD＝∠ACE＝120°，BD＝CE，进而得出∠DBE＝60°，从而得出∠DBE+∠BEF＝60°+120°＝180°，从而BD∥EF，结合BD＝EF得出四边形BDFE是平行四边形，从而得出DM＝EM；
（3）分为两种情形：当点E在BC的延长线上时，作AG⊥BC于G，可得出CG＝3，AG＝3，从而EG＝CG+CE＝3+2＝5，进而得出AE＝2，进一步得出结果；当点E在BC上时，作AG⊥BC于G，可得出EG＝1，AE＝2，进一步得出结果．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴∠BAC＝60°，∠BAE＝，
∴∠BAE＝30°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴DM＝EM；
（2）如图1，

DM＝EM仍然成立，理由如下：
连接BD，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝60°，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°，BD＝CE，
∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DBE+∠BEF＝60°+120°＝180°，
∴BD∥EF，
∵CE＝EF，
∴BD＝EF，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴DM＝EM；
（3）如图2，

当点E在BC的延长线上时，
作AG⊥BC于G，
∵∠ACB＝60°，
∴CG＝AC•cos60°＝AC＝3，
AG＝AC•sin60°＝AC＝3，
∴EG＝CG+CE＝3+2＝5，
∴AE＝＝2，
由（2）知：DM＝EM，
∴AM⊥DE，
∴∠AME＝90°，
∵∠AED＝60°，
∴AM＝AE•sin60°＝2×＝，
如图3，

当点E在BC上时，
作AG⊥BC于G，
由上知：AG＝3，CG＝3，
∴EG＝CG﹣CE＝3﹣2＝1，
∴AE＝，
∴AM＝2×＝，
综上所述：AM＝或．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”等模型．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，4），点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当△BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接BQ，过点B作直线l⊥BQ，连接QF并延长交直线l于点M，当BQ＝BM时，请直接写出点Q的坐标．
​
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据直角三角形三角形函数值可得BE＝EF，BF＝EF，则△BEF的周长＝3EF，结合已知可得等式3EF＝2PF，设P（t，﹣t2+t+4），则F（t，﹣t+4），E（t，0），从而得到方程3（﹣t+4）＝2（﹣t2+4t），求出t的值即可求解；
（3）先求出F（1，），设Q（0，n），过点M作MN⊥x轴交于点N，通过证明△BQO≌△MBN（AAS），求出M（3+n，3），再求直线QM的解析式为y＝x+n，将点F代入直线方程可得+n＝，求出n的值即可求Q点坐标．
【解答】解：（1）将点B（3，0），点C（0，4）代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）∵点B（3，0），点C（0，4），
∴OB＝3，OC＝4，
∴tan∠OBC＝，
∴BE＝EF，BF＝EF，
∴△BEF的周长＝3EF，
∵△BEF的周长是线段PF长度的2倍，
∴3EF＝2PF，
设直线BC的解析式为y＝kx+4，
∴3k+4＝0，
解得k＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（t，﹣t2+t+4），则F（t，﹣t+4），E（t，0），
∴EF＝﹣t+4，PF＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+4t，
∴3（﹣t+4）＝2（﹣t2+4t），
解得t＝3（舍）或t＝，
∴P（，5）；
（3）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴P（1，），
∵FP⊥x轴，
∴F（1，），
设Q（0，n），
过点M作MN⊥x轴交于点N，
∵∠QBM＝90°，
∴∠QBO+∠MBN＝90°，
∵∠QBO+∠OQB＝90°，
∴∠MBN＝∠OQB，
∵BQ＝BM，
∴△BQO≌△MBN（AAS），
∴QO＝BN，MN＝OB，
∴M（3+n，3），
设直线QM的解析式为y＝k'x+n，
∴k'（3+n）+n＝3，
解得k'＝，
∴直线QM的解析式为y＝x+n，
将点F代入，+n＝，
解得n＝+或n＝﹣，
∴Q（0，+）或（0，﹣）．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
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