2023年广西中考数学试卷

这是一份2023年广西中考数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广西中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共12小题，每小小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂上。）
1．（3分）若零下2摄氏度记为﹣2℃，则零上2摄氏度记为（　　）
A．﹣2℃ B．0℃ C．+2℃ D．+4℃
2．（3分）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2
4．（3分）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（3分）x≤2在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是（　　）

A．160° B．150° C．140° D．130°
8．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a4＝a7 B．a3•a4＝a7 C．a4÷a3＝a7 D．（a3）4＝a7
9．（3分）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4
10．（3分）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　）

A．20m B．28m C．35m D．40m
11．（3分）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.2
12．（3分）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）
13．（2分）＝　 　．
14．（2分）分解因式：a2+5a＝　 　．
15．（2分）函数y＝kx+3的图象经过点（2，5），则k＝　 　．
16．（2分）某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会，第一小组有2位男同学和3位女同学，现从中随机抽取1位同学分享个人感悟，则抽到男同学的概率是 　 　．
17．（2分）如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 　 　m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

18．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（6分）计算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）．
20．（6分）解分式方程：．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°．
（1）在斜边AC上求作线段AO，使AO＝BC，连接OB；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）若OB＝2，求AB的长．

22．（10分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表：

学生成绩统计表

七年级
八年级
平均数
7.55
7.55
中位数
8
c
众数
a
7
合格率
b
85%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出统计表中a，b，c的值；
（2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
（3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
23．（10分）如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．

24．（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD＝BE＝CF．
（1）求证：△ADF≌△BED；
（2）设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．

25．（10分）【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）•l＝M•（a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤组与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．

26．（10分）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF：折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B′，E′展平纸片，连接AB′，BB′，BE′．请完成：
（1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
（2）证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B′，P′，展平纸片，连接BB′，P′B′．请完成：
（3）证明BB′是∠NBC的一条三等分线．


2023年广西中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共12小题，每小小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂上。）
1．（3分）若零下2摄氏度记为﹣2℃，则零上2摄氏度记为（　　）
A．﹣2℃ B．0℃ C．+2℃ D．+4℃
【分析】根据数的正负意义即可得出结论．
【解答】解：由零下2摄氏度记为﹣2℃可知，零下记为“﹣“，零上记为“+”，
∴零上2摄氏度记为：+2℃．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的正负意义，是比较基础的题型．
2．（3分）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．
3．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
4．（3分）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】由圆周角定理即可得到答案．
【解答】解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理．
5．（3分）x≤2在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先在数轴上找到点2，再确定实心点还是空心点，根据大于往右画，小于往左画得结论．
【解答】解：x≤2在数轴上表示为：

故选：C．
【点评】本题考查了数轴上表示解集，掌握表示解集的方法是解决本题的关键．
6．（3分）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵，，，，
∴丁的方差最小，
∴成绩最稳定的是丁，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
7．（3分）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是（　　）

A．160° B．150° C．140° D．130°
【分析】由平行线的性质，即可得到∠B＝∠A＝130°．
【解答】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，
∴AC∥BD，
∴∠B＝∠A＝130°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由题意得到AC∥BD．
8．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a4＝a7 B．a3•a4＝a7 C．a4÷a3＝a7 D．（a3）4＝a7
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、a3与a4不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、a3•a4＝a7，正确，符合题意；
C、a4÷a3＝a，原计算错误，不符合题意；
D、（a3）4＝a12，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
9．（3分）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是
y＝（x﹣3）2+4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟记“左加右减，上加下减”的法则是解决问题的关键．
10．（3分）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　）

A．20m B．28m C．35m D．40m
【分析】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD＝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，
设主桥拱半径为Rm，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝m，
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R＝≈28．
故选：B．

【点评】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R的方程解决问题．
11．（3分）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.2
【分析】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得：3.2（1+x）2＝3.7，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（3分）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】设A（m，），在y＝﹣中，令y＝得x＝﹣，令x＝m得y＝﹣，可得B（﹣，），D（m，﹣），即得C（﹣，﹣），故S2＝S4＝1，S3＝，根据，得1++1＝，解方程并检验可得答案．
【解答】解：设A（m，），
在y＝﹣中，令y＝得x＝﹣，令x＝m得y＝﹣，
∴B（﹣，），D（m，﹣），
∴C（﹣，﹣），
∴S2＝S4＝1，S3＝，
∵，
∴1++1＝，
解得k＝2，
经检验，k＝2是方程的解，符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）
13．（2分）＝　3　．
【分析】根据算术平方根的意义即可得出结论．
【解答】解：∵32＝9，
∴＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了算术平方根的知识，能正确区分算术平方根和平方根是解题的关键．
14．（2分）分解因式：a2+5a＝　a（a+5）　．
【分析】由提公因式am+bm＝m（a+b），可直接得出结论．
【解答】解：∵a2+5a公有因式为a，
∴原式＝a（a+5），
故答案为：a（a+5）．
【点评】本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键．
15．（2分）函数y＝kx+3的图象经过点（2，5），则k＝　1　．
【分析】将点（2，5）代入函数关系式，计算可求解．
【解答】解：将点（2，5）代入y＝kx+3中，得5＝2k+3，
解得k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的特征，将点的坐标代入关系式进行计算是解题的关键．
16．（2分）某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会，第一小组有2位男同学和3位女同学，现从中随机抽取1位同学分享个人感悟，则抽到男同学的概率是 　　．
【分析】根据概率公式即可得到结论．
【解答】解：抽到男同学的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
17．（2分）如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 　21　m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】根据等腰三角形的三线合一性质可得AD＝BD＝AB，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC，AD的长，从而求出AB的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB，
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，
∴AC＝≈＝5（m），AD＝≈＝4（m），
∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），
∴共需钢材约＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），
故答案为：21．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
18．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 　　．

【分析】首先证明出MN是△AEF的中位线，得出 ，然后由正方形的性质和勾股定理得到 ，证明出当BE最大时，AE最大，此时MN最大，进而得到当点E和点 C重合时，BE最大，即BC的长度，最后代入求解即可．
【解答】解：如图所示，连接AE，

∵M，N分别是EF，AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，
∴，
∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大，
∵点E是BC上的动点，
∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，
∴此时 ，
∴，
∴MN的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（6分）计算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）．
【分析】先算括号里面的，再算乘方，乘除，最后算加减即可．
【解答】解：原式＝（﹣1）×（﹣4）+4÷2
＝4+2
＝6．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的顺序是解题的关键．
20．（6分）解分式方程：．
【分析】将分式方程两边同乘x（x﹣1）转化为一元一次方程即可得出结论．
【解答】解：，
方程两边同乘x（x﹣1）得：2x＝x﹣1，
移项解得：x＝﹣1．
将x＝﹣1代入x（x﹣1）≠0，
∴x＝﹣1是原分式方程的解．
【点评】本题考查了分式方程的解法，其中确定最简公分母是解题关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°．
（1）在斜边AC上求作线段AO，使AO＝BC，连接OB；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）若OB＝2，求AB的长．

【分析】（1）以A为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点O，则问题可求解；
（2）根据含30度直角三角形的性质可得AC＝2BC，则有 OC＝AO，进而问题可求解．
【解答】解：（1）所作线段AO如图所示：

（2）∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，
∴AC＝2BC，
∵AO＝BC，
∴AC＝2AO，
∴OC＝AO，即点O为AC的中点，
∵OB＝2，
∴AC＝2OB＝4，
∴BC＝2，
∴AB＝＝2．
【点评】本题主要考查含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．
22．（10分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表：

学生成绩统计表

七年级
八年级
平均数
7.55
7.55
中位数
8
c
众数
a
7
合格率
b
85%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出统计表中a，b，c的值；
（2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
（3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
【分析】（1）根据统计图中的数据，可以写出a的值，计算出b、c的值；
（2）根据八年级抽取的人数的合格率进行求解即可；
（3）根据中位数、众数的意义解答即可．
【解答】解：（1）由扇形统计图可得，
a＝8，b＝1﹣20%＝80%，
由频数分布直方图可得，
八年级成绩中5分有3人，6分有2人，7分有5人，8分有4人，9分有3人，10分有3人，
故中位数是c＝（7+8）÷2＝7.5，
由上可得，a＝8，b＝80%，c＝7.5；
（2）600×85%＝510（人），
答：估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为510人；
（3）根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势一样（答案不唯一）．
【点评】本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提．
23．（10分）如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．

【分析】（1）由切线的性质得PA⊥OA，而PO平分∠APD，OB⊥PD，所以OB＝OA，则点B在⊙O上，即可证明PB是⊙O的切线；
（2）由OA＝OB＝4，OC＝5，得AC＝OA+OC＝9，BC＝＝3，由＝＝tan∠ACP＝，得PA＝AC＝12，所以PA的长是12．
【解答】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，且OA是⊙O的半径，
∴PA⊥OA，
∵PO平分∠APD，OB⊥PD于点B，OA⊥PA于点A，
∴OB＝OA，
∴点B在⊙O上，
∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，
∴AC＝OA+OC＝4+5＝9，
∵∠OBC＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∵∠A＝90°，
∴＝＝tan∠ACP＝，
∴PA＝AC＝×9＝12，
∴PA的长是12．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、角平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，根据角平分线的性质证明OB＝OA是解题的关键．
24．（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD＝BE＝CF．
（1）求证：△ADF≌△BED；
（2）设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．

【分析】（1）由题意易得AF＝BD，∠A＝∠B＝60°，然后根据SAS可进行求证；
（2）分别过点C，F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H、G，根据题意可得S△ABC＝4，AF＝4﹣x，然后可得FG＝（4﹣x），由（1）易得△ADF≌△BED≌△CFE，则有S△ADF＝S△BED＝S△CFE＝x（4﹣x），进而问题可求解；
（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，AB＝AC，
∵AD＝CF，
∴AF＝BD，
在△ADF和△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（SAS）；

（2）解：分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H、G，

在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝4，
∴CH＝AC•sin60°＝2，S△ABC＝AB•CH＝4．
∵AD的长为x，则AD＝BE＝CF＝x，AF＝4﹣x，
∴FG＝AF•sin60°＝（4﹣x），
∴S△ADF＝AD•FG＝x（4﹣x），
由（1）可知△ADF≌△△BED，
同理可证，△BED≌△CFE，
∴S△ADF＝S△BDE＝S△CFE＝x（4﹣x），
∵△DEF的面积为y，
∴y＝S△ABC﹣3S△ADF＝4﹣x（4﹣x）＝x2﹣3x+4；

（3）由（2）可知：y＝x2﹣3x+4，
∵a＝＞0，对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，
即当2＜x＜4时，△DEF的面积随AD的增大而增大，当0＜x＜2时，△DEF的面积随AD的增大而减小．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会利用二次函数的性质解决问题．
25．（10分）【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）•l＝M•（a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤组与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．

【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把m＝0，m＝100，m＝200，m＝300，m＝400，m＝500，m＝600，m＝700，m＝800，m＝900，m＝1000 代入求解，以此即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：m＝0，y＝0，
∵m0＝10，M＝50，
∴10l＝50a，
∴l＝5a；
（2）由题意得：m＝1000，y＝50，
∴（10+1000）l＝50（a+50），
∴101l﹣5a＝250；
（3）由（1）（2）可得：，
解得：；
（4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5，
∴2.5（10+m）＝50（0.5+y），
∴；
（5）由（4）可知：，
∴当m＝0时，则有y＝0；当m＝100时，则有y＝5；当m＝200时，则有y＝10；当m＝300时，则有y＝15；当m＝400时，则有y＝20；当m＝500时，则有y＝25；当m＝600时，则有y＝30；当m＝70时，则有y＝35；当m＝800时，则有y＝40；当m＝90时，则有y＝45；当m＝1000时，则有y＝50；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【点评】本题主要考查一次函数的应用、解二元一次方程组，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键．
26．（10分）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF：折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B′，E′展平纸片，连接AB′，BB′，BE′．请完成：
（1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
（2）证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B′，P′，展平纸片，连接BB′，P′B′．请完成：
（3）证明BB′是∠NBC的一条三等分线．

【分析】（1）猜想∠1＝∠2＝∠3；
（2）可推出点O是等边三角形ABB′的外心，从而得出∠1＝∠2＝30°，进一步得出结论；
（3）同理（2）可得OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′，从而∠P′BO＝∠B′BO，∠OBB′＝∠BB′O，根据EF∥BC得出∠OB′B＝∠B′BC，进一步得出结论．
【解答】（1）解：∠1＝∠2＝∠3；
（2）证明：如图1，

设AM，EF交于点O，
由题意得：EF是AB的垂直平分线，AM是BB′的垂直平分线，AB＝AB′，
∴AB′＝BB′，OA＝OB＝OB′，
∴AB′＝BB′＝AB，O为外心，
∴∠ABB′＝60°，
∴∠1＝∠2＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠3＝90°﹣60°＝30°，
∴∠1＝∠2＝∠3；
（3）证明：如图2，

同理（2）得：OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′，
∴∠P′BO＝∠B′BO，∠OBB′＝∠BB′O，
∵EF∥BC，
∴∠OB′B＝∠B′BC，
∴∠P′BO＝∠B′BO＝∠B′BC，
∴BB′是∠NBC的一条三等分线．
【点评】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
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