2020年广西桂林中考数学试卷

这是一份2020年广西桂林中考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
有理数2，1，-1，0中，最小的数是（ ）
A. 2B. 1C. -1D. 0
如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ）
A. 调查一批灯泡的使用寿命B. 调查漓江流域水质情况
C. 调查桂林电视台某栏目的收视率D. 调查全班同学的身高
下面四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A. B. C. D.
若=0，则x的值是（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
因式分解a2-4的结果是（ ）
A. （a+2）（a-2）B. （a-2）2
C. （a+2）2D. a（a-2）
下列计算正确的是（ ）
A. x•x=2xB. x+x=2xC. （x3）3=x6D. （2x）2=2x2
直线y=kx+2过点（-1，4），则k的值是（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
不等式组的整数解共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O=130°，则∠BAC的度数是（ ）
A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°
参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A. x（x+1）=110B. x（x-1）=110
C. x（x+1）=110D. x（x-1）=110
如图，已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ）
A. πB. πC. 2πD. 2π
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
2020的相反数是______．
计算：ab•（a+1）=______．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则csA的值是______．
一个正方体的平面展开图如图所示，任选该正方体的一面出现“我”字的概率是______．
反比例函数y=（x＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③该函数图象关于直线y=-x对称；④若点（-2，3）在该反比例函数图象上，则点（-1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有______个．
如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
计算：（π+）0+（-2）2+|-|-sin30°．
解二元一次方程组：．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（______，______）中心对称．
阅读下列材料，完成解答：
材料1：国家统计局2月28日发布了2019年国民经济和社会发展统计公报，该公报中的如图发布的是全国“2015-2019年快递业务量及其增长速度”统计图（如图1）．
材料2：6月28日，国家邮政局发布的数据显示：受新冠疫情影响，快递业务量快速增长，5月份快递业务量同比增长41%（如图2）．某快递业务部门负责人据此估计，2020年全国快递业务量将比2019年增长50%．
（1）2018年，全国快递业务量是______亿件，比2017年增长了______%；
（2）2015-2019年，全国快递业务量增长速度的中位数是______%；
（3）统计公报发布后，有人认为，图1中表示2016-2019年增长速度的折线逐年下降，说明2016-2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，所以快递业务量也逐年减少．你赞同这种说法吗？为什么？
（4）若2020年全国快递业务量比2019年增长50%，请列式计算2020年的快递业务量．
如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE=，∠C=60°，求菱形ABCD的面积．
某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．
（1）求每副围棋和象棋各是多少元？
（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？
如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB=30°，∠DAB=45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2=EF•BF．
如图，已知抛物线y=a（x+6）（x-2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．
（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得
-1＜0＜1＜2，
∴在2，1，-1，0这四个数中，最小的数是-1．
故选：C．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】B
【解析】解：∵a∥b，
∴∠1=∠2，
∵∠1=50°，
∴∠2=50°，
故选：B．
根据平行线的性质和∠1的度数，可以得到∠2的度数，本题得以解决．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3.【答案】D
【解析】解：A、调查一批灯泡的使用寿命，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故本选项不合题意；
B、调查漓江流域水质情况，应当采用抽样调查的方式，故本选项不合题意；
C、调查桂林电视台某栏目的收视率，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项不合题意．
D、调查全班同学的身高，应当采用全面调查，故本选项符合题意．
故选：D．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4.【答案】D
【解析】解：下面四个几何体中，
A的左视图为矩形；
B的左视图为三角形；
C的左视图为矩形；
D的左视图为圆．
故选：D．
根据四个几何体的左视图进行判断即可．
本题考查了简单几何体的三视图，解决本题的关键是掌握几何体的三视图．
5.【答案】C
【解析】解：∵=0，
∴x-1=0，
解得：x=1，
则x的值是1．
故选：C．
利用算术平方根性质确定出x的值即可．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：原式=（a+2）（a-2），
故选：A．
利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）．
7.【答案】B
【解析】解：A．x•x=x2，故本选项不合题意；
B．x+x=2x，故本选项符合题意；
C．（x3）3=x9，故本选项不合题意；
D．（2x）2=4x2，故本选项不合题意．
故选：B．
分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵直线y=kx+2过点（-1，4），
∴4=-k+2，
∴k=-2．
故选：A．
由直线y=kx+2过点（-1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：解不等式x-1＞0，得：x＞1，
解不等式5-x≥1，得：x≤4，
则不等式组的解集为1＜x≤4，
所以不等式组的整数解有2、3、4这3个，
故选：C．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵∠O=130°，
∴∠OAB==25°，
∴∠BAC=∠OAC-∠OAB=90°-25°=65°．
故选：B．
利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11.【答案】D
【解析】解：设有x个队参赛，则
x（x-1）=110．
故选：D．
设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
12.【答案】B
【解析】解：如图，设的圆心为O，
∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，
根据垂径定理，得
AC=AB=4，PO⊥AB，
OC==3，
∴PC=OP-OC=5-3=2，
∴AP==2，
∵将绕点A逆时针旋转90°后得到，
∴∠PAP′=∠BAB′=90°，
∴LPP′==π．
则在该旋转过程中，点P的运动路径长是π．
故选：B．
根据已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，利用垂径定理可得AC=4，PO⊥AB，再根据勾股定理可得AP的长，利用弧长公式即可求出点P的运动路径长．
本题考查了轨迹、垂径定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、弧长计算、旋转的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
13.【答案】-2020
【解析】解：2020的相反数是：-2020．
故答案为：-2020．
直接利用相反数的定义得出答案．
本题考查相反数．熟练掌握相反数的求法是解题的关键．
14.【答案】a2b+ab
【解析】解：原式=a2b+ab，
故答案为：a2b+ab．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
15.【答案】
【解析】解：在Rt△ABC中，csA==，
故答案为：．
根据余弦的定义解答即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：∵共有六个字，“我”字有2个，
∴P（“我”）==．
故答案为：．
根据概率公式解答就可求出任选该正方体的一面出现“我”字的概率．
此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】3
【解析】解：观察反比例函数y=（x＜0）的图象可知：
图象过第二象限，
∴k＜0，
所以①错误；
因为当x＜0时，y随x的增大而增大；
所以②正确；
因为该函数图象关于直线y=-x对称；
所以③正确；
因为点（-2，3）在该反比例函数图象上，
所以k=-6，
则点（-1，6）也在该函数的图象上．
所以④正确．
所以其中正确结论的个数为3个．
故答案为3．
观察反比例函数y=（x＜0）的图象可得，图象过第二象限，然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、轴对称的性质，解决本题的关键是掌握反比例函数的性质．
18.【答案】
【解析】解：在AB上取一点T，使得AT=1，连接PT，PA，CT．
∵PA=2．AT=1，AB=4，
∴PA2=AT•AB，
∴=，
∵∠PAT=∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
∴==，
∴PT=PB，
∴PB+CP=CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT=90°，AT=1，AC=4，
∴CT==，
∴PB+PC≥，
∴PB+PC的最小值为．
故答案为．
在AB上取一点T，使得AT=1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出==，推出PT=PB，推出PB+CP=CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
本题考查胡不归问题，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：原式=1+4+-
=5．
【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：①+②得：6x=6，
解得：x=1，
把x=1代入①得：y=-1，
则方程组的解为．
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21.【答案】-2 0
【解析】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（-2，0）中心对称．
故答案为：-2，0．
（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1；
（2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2；
（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确根据题意得出对应点位置是解题关键．
22.【答案】507.1 26.6 28
【解析】解：（1）由材料1中的统计图可得：2018年，全国快递业务量是507.1亿件，比2017年增长了26.6%；
（2）由材料1中的统计图可得：2015-2019年，全国快递业务量增长速度的中位数是28%；
（3）不赞同，理由：由图1中的信息可得，2016-2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，但是快递业务量却逐年增加；
（4）635.2×（1+50%）=852.82，
答：2020年的快递业务量为852.82亿件．
故答案为：507.1，26.6，28．
（1）由材料1中的统计图中的信息即可得到结论；
（2）由材料1中的统计图的信息即可得到结论；
（3）根据统计图中的信息即可得到结论；
（4）根据题意列式计算即可．
本题考查了条形统计图，中位数的定义，正确的理解题意是解题的关键．
23.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AF=AE，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：连接BD，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠A=∠C=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是边AD的中点，
∴BE⊥AD，
∴∠ABE=30°，
∴AE=BE=1，AB=2AE=2，
∴AD=AB=2，
∴菱形ABCD的面积=AD×BE=2×=2．
【解析】（1）由SAS证明△ABE≌△ADF即可；
（2）证△ABD是等边三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
24.【答案】解：（1）设每副围棋x元，则每副象棋（x-8）元，
根据题意，得=．
解得x=18．
经检验x=18是所列方程的根．
所以x-8=10．
答：每副围棋18元，则每副象棋10元；
（2）设购买围棋m副，则购买象棋（40-m）副，
根据题意，得18m+10（40-m）≤600．
解得m≤25．
故m最大值是25．
答：该校最多可再购买25副围棋．
【解析】（1）设每副围棋x元，则每副象棋（x-8）元，根据420元购买象棋数量=756元购买围棋数量列出方程并解答；
（2）设购买围棋m副，则购买象棋（40-m）副，根据题意列出不等式并解答．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
25.【答案】证明：（1）如图，连接OD，OC，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AB的中点，
∴OC=OA=OB，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，点O是AB的中点，
∴OD=OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）连接OC，OD，由（1）知，OA=OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠BOC=60°，
在Rt△ABD中，∠DAB=45°，
∴∠ABD=45°=∠DAB，
∴AD=BD，
∵点O是AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴∠BOD=90°，∠ODB=∠ADB=45°，
∴∠COD=150°，
∴∠OCD=∠ODC=15°，
∴∠BDC=∠ODB-∠ODC=30°，
∵∠CBD=∠ABC+∠ABD=105°，
∴∠BCD=180°-∠CBD-∠BDC=45°，
∴∠ACD=90°-∠BCD=45°=∠BCD，
∴CD平分∠ACB；
（3）由（2）知，∠BCD=45°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BEC=75°，
∴∠AED=75°，
∵DF∥BC，
∴∠BFD=∠ABC=60°，
∵∠ABD=45°，
∴∠BDF=180°-∠BFD-∠ABD=75°=∠AED，
∵∠DFE=∠BFD，
∴△DEF∽△BDF，
∴，
∴DF2=BF•EF，
连接OD，则∠BOD=90°，OB=OD，
在Rt△DOF中，根据勾股定理得，OD2+OF2=DF2，
∴OB2+OF2=BF•EF，
即BO2+OF2=EF•BF．
【解析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，判断出OA=OB=OC=OD，即可得出结论；
（2）先求出∠COD=150°，利用等腰三角形的性质得出∠ODC=15°，进而求出∠BDC=30°，进而求出∠BCD=45°，即可得出结论；
（3）先判断出△DEF∽△BDF，得出DF2=BF•EF，再利用勾股定理得出OD2+OF2=DF2，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了四点共圆的判断方法，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，判断出∠BDF=∠AED是解本题的关键．
26.【答案】解：（1）∵抛物线y=a（x+6）（x-2）过点C（0，2），
∴2=a（0+6）（0-2），
∴a=-，
∴抛物线的解析式为y=-（x+6）（x-2）=-（x+2）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x=-2；
（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x=-2，
∴E（-2，0），
∵C（0，2），
∴OC=OE=2，
∴CE=OC=2，∠CED=45°，
∵△CME是等腰三角形，
∴①当ME=MC时，
∴∠ECM=∠CED=45°，
∴∠CME=90°，
∴M（-2，2），
②当CE=CM时，
∴MM1=CM=2，
∴EM1=4，
∴M1（-2，4），
③当EM=CE时，
∴EM2=EM3=2，
∴M2（-2，-2），M3（-2，2），
即满足条件的点M的坐标为（-2，-2）或（-2，4）或（-2，2）或（-2，-2）；
（3）如图2，
由（1）知，抛物线的解析式为y=-（x+6）（x-2）=-（x+2）2+，
∴D（-2，），
令y=0，则（x+6）（x-2）=0，
∴x=-6或x=2，
∴点A（-6，0），
∴直线AD的解析式为y=x+4，
过点P作PQ⊥x轴于Q，过点P'作P'Q'⊥DE于Q'，
∴∠EQ'P'=∠EQP=90°，
由（2）知，∠CED=∠CEB=45°，
由折叠知，EP'=EP，∠CEP'=∠CEP，
∴△PQE≌△P'Q'E（AAS），
∴PQ=P'Q'，EQ=EQ'，
设点P（m，n），
∴OQ=m，PQ=n，
∴P'Q'=n，EQ'=QE=m+2，
∴点P'（n-2，2+m），
∵点P'在直线AD上，
∴2+m=（n-2）+4①，
∵点P在抛物线上，
∴n=-（m+6）（m-2）②，
联立①②解得，m=（舍）或m=，
即点P的横坐标为．
【解析】（1）将点C坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（2）分三种情况：直接利用等腰三角形的性质，即可得出结论；
（3）先判断出△PQE≌△P'Q'E（AAS），得出PQ=P'Q'，EQ=EQ'，进而得出P'Q'=n，EQ'=QE=m+2，确定出点P'（n-2，2+m），将点P'的坐标代入直线AD的解析式中，和点P代入抛物线解析式中，联立方程组，求解即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
题号
一
二
三
总分
得分